Lemma zur Verkettung der Exponentialfunktion mit einer speziellen analytischen Potenzreihe

Als Vorbereitung benötigen wir noch folgendes Lemma (siehe Gohberg et al. und Reed / Simon):

Seien ${\displaystyle f}$ und ${\displaystyle g}$ Funktionen, die in einer Umgebung von ${\displaystyle \lambda =0}$ holomorph sind mit folgenden Taylorentwicklungen:

${\displaystyle f(\lambda )=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n!}}\lambda ^{n},\qquad g(\lambda )=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}b_{n}\lambda ^{n}}$

Sei weiterhin ${\displaystyle f(\lambda )=\operatorname {exp} (g(\lambda ))}$. Dann ist ${\displaystyle a_{0}=1}$ und für ${\displaystyle n\geq 1}$ gilt folgende Darstellung:

${\displaystyle a_{n}=\operatorname {det} {\begin{pmatrix}b_{1}&n-1&0&\cdots &\cdots &0\\b_{2}&b_{1}&n-2&\ddots &&\vdots \\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\b_{n-2}&\cdot &\cdots &b_{1}&2&0\\b_{n-1}&b_{n-2}&\cdots &\cdots &b_{1}&1\\b_{n}&b_{n-1}&b_{n-2}&\cdots &\cdots &b_{1}\end{pmatrix}}}$

Begründung:

Da in einer Umgebung von 0 die Gleichung ${\displaystyle f'(\lambda )=g'(\lambda )f(\lambda )}$ gilt, kann man die Cauchy-Produktformel auf das Produkt der Potenzreihen von ${\displaystyle g'}$ und ${\displaystyle f}$ anwenden:

${\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{(n-1)!}}\lambda ^{n-1}=\sum \limits _{n=1}^{\infty }\lambda ^{n-1}\left(\sum \limits _{k=1}^{n}(-1)^{k+1}b_{k}{\frac {a_{n-k}}{(n-k)!}}\right)}$

Also

${\displaystyle a_{n}=\sum \limits _{k=1}^{n}(-1)^{k+1}b_{k}a_{n-k}{\frac {(n-1)!}{(n-k)!}}\;\;\;\;n=1,2,\ldots }$

Die Aussage des Lemmas zeigt man nun durch Induktion über ${\displaystyle n}$. Mit der Annahme, dass die Aussage des Lemmas für ${\displaystyle a_{j},1\leq j\leq n}$ richtig ist, folgt die Gültigkeit für ${\displaystyle a_{n+1}}$ durch den Laplaceschen Entwicklungssatz, da die Summenformel für ${\displaystyle a_{n+1}}$ gerade der Entwicklung der Determinante für ${\displaystyle a_{n+1}}$ nach der ersten Spalte entspricht.

Beweis für Operatoren mit endlichem Rang

Mit Hilfe des obigen Lemmas können wir nun den Beweis für Operatoren mit endlichem Rang führen (vgl. Gohberg et al. und Reed / Simon):

Sei ${\displaystyle A}$ ein Operator aus der Algebra der beschränkten linearen Operatoren mit endlichem Rang ${\displaystyle {\mathcal {F}}({\mathcal {B}})}$ auf einem Banachraum ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$.

Wenn wir die komplexen Eigenwerte von ${\displaystyle A}$ mit ${\displaystyle \mu _{i}\;(i=1,\ldots ,n)}$ bezeichnen, dann lässt sich die Determinante für ${\displaystyle \lambda <1/{\bigl |}{\underset {i=1,\ldots ,n}{\operatorname {max} }}\mu _{i}{\bigr |}}$ folgendermaßen darstellen:

${\displaystyle {\begin{aligned}\det(I+\lambda A)=\prod _{i=1}^{n}(1+\lambda \mu _{i})=&\operatorname {exp} \left(\sum _{i=1}^{n}\operatorname {log} (1+\lambda \mu _{i})\right)\\=&\operatorname {exp} \left(\sum _{i=1}^{n}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}}{k}}\mu _{i}^{k}\lambda ^{k}\right)\\=&\operatorname {exp} \left(\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}}{k}}\lambda ^{k}\left(\sum _{i=1}^{n}\mu _{i}^{k}\right)\right)\\=&\operatorname {exp} \left(\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}}{k}}\lambda ^{k}\operatorname {tr} (A^{k})\right)\end{aligned}}}$

Durch Anwenden des obigen Lemmas auf die gerade hergeleitete Darstellung von ${\displaystyle \det(I+\lambda A)}$ folgt unmittelbar die Gültigkeit der Plemlj-Smithies Formeln für Operatoren mit endlichem Rang.

Stetige Fortsetzung auf eingebettete Unteralgebren mit der Approximations-Eigenschaft

Wir bezeichnen mit

• ${\displaystyle {\mathcal {L}}({\mathcal {B}})}$ die Algebra aller beschränkten linearen Operatoren
• ${\displaystyle {\mathcal {F}}({\mathcal {B}})}$ die Algebra aller beschränkten linearen Operatoren mit endlichem Rang

auf einem komplexen Banachraum Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „http://localhost:6011/de.wikipedia.org/v1/“:): \mathcal{B}

Eine Unteralgebra ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ von ${\displaystyle {\mathcal {L}}({\mathcal {B}})}$ heißt stetig eingebettet in ${\displaystyle {\mathcal {L}}({\mathcal {B}})}$, falls es eine Norm ${\displaystyle \|\cdot \|_{\mathcal {D}}}$ auf ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ gibt, so dass

${\displaystyle 1.\;\|A\|_{{\mathcal {L}}(B)}\leq C\|A\|_{\mathcal {D}}}$

Zusätzlich fordern wir

${\displaystyle 2.\;\|AB\|_{\mathcal {D}}\leq C\|A\|_{\mathcal {D}}\|B\|_{\mathcal {D}}}$

• Der Einfachheit halber nennen wir eine Unteralgebra ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ eine eingebettete Unteralgebra, wenn die Norm auf ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ die Bedingungen 1. und 2. erfüllt.
• Falls zusätzlich ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\mathcal {D}}={\mathcal {F}}\cap {\mathcal {D}}}$ dicht in ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ bezüglich der Norm ${\displaystyle \|\cdot \|_{\mathcal {D}}}$ liegt, so sagen wir, dass ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ die Approximationseigenschaft hat.

Man kann zunächst allgemein nachweisen, dass sich unter gewissen Voraussetzungen die Funktion ${\displaystyle \operatorname {det} (I+\lambda A)}$ für eingebettete Unteralgebren ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ mit Approximationseigenschaft setig von ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\mathcal {D}}}$ nach ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ fortsetzen lässt (siehe z. B. Gohberg et al.).

Speziell lässt sich nun zeigen, dass

• die Menge ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{1}}$der Operatoren der Spurklasse eine Unteralgebra von ${\displaystyle {\mathcal {L}}({\mathcal {B}})}$ mit der Approximationseigenschaft ist (vgl. Gohberg et al.)
• sich ${\displaystyle \operatorname {det} (I+\lambda A)}$ von ${\displaystyle {\mathcal {F}}\cap {\mathcal {S}}_{1}}$ stetig nach ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{1}}$ fortsetzen lässt vgl. Gohberg et al.