Posterior predictive distribution

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In der Bayesschen Statistik ist die posterior predictive distribution eines statistischen Modells die bedingte Wahrscheinlichkeitsdichte neuer, unbeobachteter Werte ${\tilde {x}}$ , gegeben aller bisherigen Beobachtungen $\mathbf {x}$ . Man erhält sie durch Parameter-Integration der bedingten Dichte $p({\tilde {x}}|\theta )$ mit der Posterior-Dichte $p(\theta |\mathbf {x} )$ .

Definition

Die posterior predictive distribution ist definiert als

p({\tilde {x}}|\mathbf {x} )=\int _{\Theta }p({\tilde {x}}|\theta )\,p(\theta |\mathbf {x} )\operatorname {d} \!\theta =\mathbb {E} _{\theta |\mathbf {x} }[p({\tilde {x}}|\theta )],

wobei $\Theta$ der Parameterraum und $p(\theta |\mathbf {x} )$ die Posterior-Dichte ist. Die Gleichheit lässt sich mit dem Gesetz der totalen Wahrscheinlichkeit direkt sehen.

Die posterior predictive distribution spielt zum Beispiel im Rahmen der Gauß-Prozess-Regression eine wichtige Rolle.

Abgrenzung prior predictive distribution

Die prior predictive distribution lässt die beobachteten Daten außer Acht: $p({\tilde {x}})=\int _{\Theta }p({\tilde {x}}|\theta )\,p(\theta )\operatorname {d} \!\theta .$

Bootstrap predictive distribution

Die posterior predictive distribution kann Anwendung der Bootstrap predictive distribution $p_{B}({\bar {x}}\mid X)=\int p({\bar {x}}\mid \theta _{MLE}({\tilde {X}})){\hat {p}}({\tilde {X}})d{\tilde {X}}$ genähert werden, wobei ${\tilde {X}}$ per Bootstrapping-Verfahren aus der empirischen Verteilungsfunktion gezogene Stichproben sind.

Siehe auch

Gibbs-Sampling

Einzelnachweise

↑ Gaussian Process Regression Analysis for Functional Data, ISBN 978-1-4398-3774-0
↑ "The bootstrap predictive distribution is considered to be an approximation of the Bayesian predictive distribution". Bayesian bootstrap prediction, Tadayoshi Fushiki, http://dx.doi.org/10.1016/j.jspi.2009.06.007
↑ Nonparametric bootstrap prediction Tadayoshi Fushiki, Fumiyasu Komaki, Kazuyuki Aihara, 2005 https://doi.org/10.3150/bj/1116340296

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[1] Gaussian Process Regression Analysis for Functional Data, ISBN 978-1-4398-3774-0

[2] "The bootstrap predictive distribution is considered to be an approximation of the Bayesian predictive distribution". Bayesian bootstrap prediction, Tadayoshi Fushiki, http://dx.doi.org/10.1016/j.jspi.2009.06.007

[3] Nonparametric bootstrap prediction Tadayoshi Fushiki, Fumiyasu Komaki, Kazuyuki Aihara, 2005 https://doi.org/10.3150/bj/1116340296