Wichtige Wahrscheinlichkeiten für Verbesserung nach dem Flop/Turn

Aktuelle Hand	Outs	Wahrscheinlichkeit Turn + River Faustregel	Wahrscheinlichkeit Turn + River mathematisch exakt	Wahrscheinlichkeit River Faustregel	Wahrscheinlichkeit River mathematisch exakt
Flush Draw z. B.A♥ K♥ Flop:3♠ 5♥ 7♥	9 2♥ 3♥4♥6♥8♥ 9♥ 10♥B♥D♥	${\displaystyle (4\cdot 9)\,\%=36\,\%}$	34,97 %	${\displaystyle (2\cdot 9+1)\%=19\,\%}$	19,57 %
Open Ended Straight Draw z. B.10♥ B♣ Flop:8♠ 9♦ 2♥	8 7♦7♥7♠7♣ D♦D♥D♠D♣	${\displaystyle (4\cdot 8)\,\%=32\,\%}$	31,45 %	${\displaystyle (2\cdot 8+1)\,\%=17\,\%}$	17,39 %
Doppelter Gutshot z. B.10♥ D♣ Flop:6♠ 8♦ 9♥	8 7♦7♥7♠7♣ B♦B♥B♠B♣	${\displaystyle (4\cdot 8)\,\%=32\,\%}$	31,45 %	${\displaystyle (2\cdot 8+1)\,\%=17\,\%}$	17,39 %
Gutshot z. B.10♥ D♣ Flop:5♠ 8♦ 9♥	4 B♦B♥B♠B♣	${\displaystyle (4\cdot 4)\,\%=16\,\%}$	16,47 %	${\displaystyle (2\cdot 4+1)\,\%=9\,\%}$	8,70 %
Flush Draw + Open Ended Straight Draw z. B.10♥ B♥ Flop:8♠ 9♥ 4♥	15 = 9 + 8 − 2 2♥3♥5♥6♥7♥8♥ D♥ K♥A♥ 7♦7♠7♣ D♦D♠D♣	${\displaystyle (4\cdot 15)\,\%=60\,\%}$	54,12 %	${\displaystyle (2\cdot 15+1)\,\%=31\,\%}$	32,61 %

Bei kombinierten Karten wie einem Flush Draw und einem Open Ended Straight Draw darf man die Karten, die beide Draws verbessern, nur einfach zählen. In unserem Beispiel verbessert die 7♥ und die D♥ sowohl den Flush als auch den Open Ended Straight Draw. Man hat also nicht 17 Outs, die man erhält, wenn man die neun vom Flush Draw plus acht vom Open Ended Straight Draw addiert. Bei vielen Outs erhält man mit der Faustregel für den Turn oder River (eine Karte) eine zu hohe (kleine) Prozentzahl.

Die Wahrscheinlichkeit für eine Verbesserung durch die Turn- oder River-Karte erhält man über das Gegenereignis. Man berechnet also die Wahrscheinlichkeit, dass sowohl am Turn als auch am River keine der Outs (wir bezeichnen sie hier mit O) zu sehen sind:

${\displaystyle {\begin{aligned}P({\text{Verbesserung nach dem Flop}})&=1-P({\text{keine Verbesserung nach dem Flop}})\\&=1-\left({\frac {47-O}{47}}\cdot {\frac {46-O}{46}}\right)\end{aligned}}}$

47 Karten sind nach dem Flop noch unbekannt, ${\displaystyle 47-O}$ Karten verbessern die Hand nicht. Nach dem Turn sind nur noch 46 Karten unbekannt, davon verbessern ${\displaystyle 46-O}$ Karten die Hand nicht. Die Wahrscheinlichkeit, seine Karten am Turn oder River zu verbessern, ist also:

${\displaystyle {\begin{aligned}P({\text{Verbesserung nach dem Flop}})&=1-{\frac {47\cdot 46-(46+47)\cdot O+O^{2}}{47\cdot 46}}\\&={\frac {(46+47)\cdot O-O^{2}}{47\cdot 46}}\\&=4\cdot O{\frac {1}{100}}-{\frac {O\cdot (O-6{,}52)}{47\cdot 46}}\\&\approx 4\cdot O{\frac {1}{100}}\end{aligned}}}$

Nachdem man die Wahrscheinlichkeit bestimmt hat, gegen eine beim Gegner vermutete Hand wie etwa Top Pair Top Kicker zu gewinnen, muss man dies noch gegen den zu zahlenden Einsatz, relativ zum zu erzielenden Gewinn, setzen, um zu bestimmen, ob sich der Einsatz lohnt.

Beispiel für das Setzverhalten bei steigender Anzahl der Mitspieler:

Sei ${\displaystyle P}$ der Pot für den Flop, ${\displaystyle x}$ der zu callende Bet und ${\displaystyle n}$ die Anzahl der Mitspieler (sich eingeschlossen), die ${\displaystyle x}$ schon bezahlt haben. Man hält As♥ und 9♥ und der Flop ist D♥, 2♥, 8♠. Die Wahrscheinlichkeit, dass man den Draw vervollständigt, liegt bei rund ${\displaystyle {\frac {1}{3}}}$. Wir wollen wissen, bis zu welchen Betrag ${\displaystyle x_{0}}$ gewinnt man langfristig mindestens ${\displaystyle x_{0}}$. Die Funktion des Verhältnisses (Gewinn)/(Bet) in Abhängigkeit von der Investition ${\displaystyle x}$ ist:

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{n}(x)={\frac {P+nx}{3x}}={\frac {P}{3x}}+{\frac {n}{3}}\end{aligned}}}$

Da ${\displaystyle f_{n}}$ streng monoton fallend ist, sind also alle Bets ${\displaystyle x\leq x_{0}}$ mit ${\displaystyle f_{n}(x_{0})=1}$ geeignet, um langfristig einen positiven Gewinn zu erzielen. Für ${\displaystyle n=2}$ ist ${\displaystyle x_{0}=P}$. Man sollte also nicht mehr als den Pot callen. Erstaunlicherweise liegt für ${\displaystyle n=3}$ der maximal zu callende Bet ${\displaystyle x_{0}=\infty }$ schon bei Unendlich. Das heißt: hat jemand einen beliebigen Betrag ${\displaystyle x}$ geboten und wurde dieser Betrag schon gecallt, so sollte man auf jeden Fall auch callen oder reraisen. Für ${\displaystyle n>3}$ verbessert sich die Situation nur noch. Achtung: Diese Betrachtung berücksichtigt natürlich nicht, dass bei Nichtvervollständigung des Draws im Turn erneut geboten wird und ob solche Calls beim Sit and Go ab einer bestimmten Blindhöhe überhaupt sinnvoll sind.

Allgemein gilt für berechnete Wahrscheinlichkeit ${\displaystyle \sigma }$:

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{n}(x)=\sigma {\frac {P+nx}{x}}=\sigma {\frac {P}{x}}+\sigma n\end{aligned}}}$

Will man den maximal zu callenden Betrag ${\displaystyle x_{0}}$ errechnen, so setzt man ${\displaystyle f_{n}=1}$ und stellt nach ${\displaystyle x}$ um.

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{0}={\frac {\sigma P}{1-\sigma n}}\end{aligned}}}$

Sollte ${\displaystyle x_{0}}$ kleiner Null oder unendlich sein kann man immer callen.

Odds-Schreibweise der Gewinnwahrscheinlichkeiten

Es handelt sich dabei lediglich um eine andere Schreibweise für die oben eingeführten Wahrscheinlichkeiten:

Odds = nicht bekannte Karten ohne Verbesserung : hilfreiche Karten.

Ein Open Ended Straight Draw (nach dem Turn) hat folgende Odds: ${\displaystyle (46-8):8=38:8\approx 5:1}$, da von den 46 unbekannten Karten acht hilfreich sind. Der Vorteil dieser Schreibweise liegt darin, dass man leichter bestimmen kann, ob ein Mitgehen sinnvoll ist. Ist der Pot im Verhältnis zum Einsatz, der zu bringen ist, größer als die so dargestellten Odds, so ist die Hand spielbar. Im ersten Beispiel sind 5 € im Pot und man müsste 1 € bringen, um gewinnbringend mitzuspielen. Man hat also Pott Odds von 5:1, was den Odds von 5:1 entspricht. Die Entscheidungsfindung ist so (wenn man sich die Odds in dieser Weise gemerkt hat) in der Praxis leichter anwendbar. Hier eine Übersicht über ein paar interessante Hände: