Maddalas / Cox & Snells Pseudo-R²

${\displaystyle \mathrm {R_{Maddala}^{2}} =1-\left({\frac {L_{0}}{L_{1}}}\right)^{2/n}}$,

mit

${\displaystyle L_{0}}$: Nullmodell,

${\displaystyle L_{1}}$: Modell mit erklärenden Variablen

${\displaystyle \mathrm {R_{Maddala}^{2}} \in [0,1)}$

Vergleicht das Verhältnis der Werte ${\displaystyle L_{0}}$ der Wert der Likelihood-Funktion, in dem die völlige Unabhängigkeit aller Variablen angenommen wird (Nullmodell oder Leermodell) und ${\displaystyle L_{1}}$ der Likelihood-Funktionen unter Kenntnis des Zusammenhanges zwischen ${\displaystyle Y}$ und ${\displaystyle X_{i}}$ (volles Regressionsmodell). Je geringer dieses Verhältnis, desto größer die Verbesserung des ganzen Modells gegenüber dem Nullmodell. Maddalas ${\displaystyle {\text{Pseudo-R}}^{2}}$ kann auch bei perfekter Vorhersage nie den Wert 1 erreichen.

Nagelkerkes / Cragg & Uhlers Pseudo-R²

${\displaystyle \mathrm {R_{Nagelkerke}^{2}} ={\frac {1-\left({\frac {L_{0}}{L_{1}}}\right)^{2/n}}{1-L_{0}^{2/n}}}}$,

mit

${\displaystyle L_{0}}$: Nullmodell,

${\displaystyle L_{1}}$: Modell mit erklärenden Variablen

${\displaystyle \mathrm {R_{Nagelkerke}^{2}} \in [0,1]}$

Nagelkerkes Pseudo-R² erweitert Maddalas Pseudo-R², sodass durch eine Reskalierung ein möglicher Wert von 1 erreicht werden kann, wenn das vollständige Modell eine perfekte Vorhersage mit einer Wahrscheinlichkeit von 1 trifft.

Nagelkerke gab auch allgemeine Bedingungen für ein Pseudo-Bestimmtheitsmaß an:

1. Ein Pseudo-Bestimmtheitsmaß sollte mit dem Bestimmtheitsmaß ${\displaystyle \mathrm {R^{2}} }$ übereinstimmen, wenn beide berechnet werden können.
2. Es sollte ebenfalls mit der Maximum-Likelihood-Schätzung des Modells maximiert werden.
3. Es sollte, zumindest asymptotisch, unabhängig vom Stichprobenumfang sein.
4. Die Interpretation sollte die durch das Modell erklärte Variabilität von ${\displaystyle Y}$ sein.
5. Es sollte zwischen Null und Eins liegen. Bei einem Wert von Null sollte es keine Aussage über die Variabilität von ${\displaystyle Y}$ machen; bei einem Wert von Eins, sollte es die Variabilität von ${\displaystyle Y}$ vollständig erklären.
6. Es sollte keine Maßeinheit besitzen.

McFadden R²

${\displaystyle \mathrm {R_{McFadden}^{2}} =1-{\frac {\ln L_{1}}{\ln L_{0}}}=1-{\frac {D_{1}}{D_{0}}}}$,

mit

${\displaystyle L_{0}}$: Nullmodell,

${\displaystyle L_{1}}$: Modell mit erklärenden Variablen

${\displaystyle D_{i}}$ die Devianz (Statistik) der entsprechenden Modelle

${\displaystyle \mathrm {R_{McFadden}^{2}} \in [0,1)}$

Das Verhältnis der logarithmierten der Werte ${\displaystyle L_{1}}$ und ${\displaystyle L_{0}}$ der Likelihood-Funktion (Wahrscheinlichkeiten) spiegelt den Grad der Verbesserung des vollständigen Modells mit Prädiktoren gegenüber dem Nullmodell wider. Ein Modell mit einem größeren McFaddens hat eine bessere Anpassung gegenüber einem anderen Modell mit einem geringeren Wert.

Daumenregel: Bereits ${\displaystyle 0{,}2<\mathrm {R_{McFadden}^{2}} <0{,}4}$ stellt ein besonders gute Anpassung des Modells dar.

McFaddens korrigiertes R²

${\displaystyle \mathrm {R_{McFadden_{korr.}}^{2}} =1-{\frac {\ln L_{1}-K}{\ln L_{0}}}}$

Das korrigierte McFaddens bewertet die Anzahl der Prädiktoren ${\displaystyle K}$ für die Anpassungsgüte eines Modells. Ähnlich dem korrigierten Bestimmtheitsmaß ${\displaystyle {\bar {\mathrm {R} }}^{2}}$ verringern zu viele Prädiktoren, die dem Modell nicht genügend beitragen, die Effektivität eines Modells und schlagen sich negativ im korrigierten McFaddens ${\displaystyle {\text{Pseudo-R}}^{2}}$ nieder. Somit sind Werte kleiner 0 möglich.

Aldrich / Nelsons R²

${\displaystyle \mathrm {R_{AldrichNelson}^{2}} =1-{\frac {2\cdot (\ln L_{1}-L_{0})}{2\cdot (\ln L_{1}-L_{0})+c\cdot n}}}$, c = 1 (Probit-Modell), 3,29 (Logit-Modell)

${\displaystyle \mathrm {R_{AldrichNelson}^{2}} \in [0,1)}$

Aldrich / Nelsons setzt den Likelihood-Quotienten ins Verhältnis, der die Rate von Nullmodell und Alternativmodell bei eingetretenem Ereignis angibt. Es hat eine obere Grenze von weit unter 1.

Lave / Efrons R²

${\displaystyle \mathrm {R_{Lave}^{2}} =1-{\frac {\displaystyle {\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(Y_{i}-{\hat {P}}_{i})^{2}}{\displaystyle {\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(Y_{i}-{\bar {Y}})^{2}}}}$

Lave / Efrons kann man ähnlich dem normalen Bestimmtheitsmaß als Quadrat der Korrelation und als erklärte Variabilität interpretieren. Es werden die quadrierten Residuen aufsummiert, wobei ${\displaystyle {\hat {P}}_{i}}$ eine vom Modell vorhergesagte Wahrscheinlichkeit für ${\displaystyle Y_{i}=1}$ ist, welche die diskrete abhängige Variable in eine stetige überführt (Hinweis: ${\displaystyle Y_{i}}$ kann nur die Werte 0 und 1 annehmen).

McKelvey & Zavoinas R²

${\displaystyle \mathrm {R_{McKelvey}^{2}} ={\frac {{\widehat {\operatorname {Var} }}({\hat {y}}^{*})}{{\widehat {\operatorname {Var} }}({\hat {y}}^{*})+\operatorname {Var} (e)}}}$

${\displaystyle \mathrm {R_{McKelvey}^{2}} \in [0,1]}$

McKelvey & Zavoinas ist strukturell dem normalen Bestimmtheitsmaß nachempfunden. Es wird die geschätzte erklärte Quadratsumme der Regression mit der geschätzten erklärten und unerklärten Quadratsumme von Regression und Fehler ins Verhältnis gesetzt.