Simpler Punktprozess

Ein Punktprozess wird simple oder einfach genannt, falls jeder Punkt fast sicher distinkt ist.

n-tes Moment-Maß

Das ${\displaystyle n}$-te Moment-Maß ${\displaystyle M^{n}}$ für eine nicht-negative messbare Funktion ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{+}}$ ist definiert durch:

${\displaystyle \mathbb {E} \left[\sum _{(x_{1},\dots ,x_{n})\in \xi }f(x_{1},\dots ,x_{n})\right]=\int _{{\textbf {R}}^{n}}f(x_{1},\dots ,x_{n})M^{n}(dx_{1},\dots ,dx_{n})}$

n-tes faktorielles Moment-Maß

Betrachte des Maß (${\displaystyle \delta }$ bezeichnet das Diracmaß)

${\displaystyle N^{(n)}=\sum \limits _{(x_{1}\neq \cdots \neq x_{n})\in \xi }\delta _{(x_{1}\neq \cdots \neq x_{n})},}$

dann ist das ${\displaystyle n}$-te faktorielle Moment-Maß ${\displaystyle M^{(n)}}$ für Borell-Mengen ${\displaystyle A_{i}}$ in ${\displaystyle \zeta }$ definiert als

${\displaystyle M^{(n)}(A_{1}\times \cdots \times A_{n})=\mathbb {E} [N^{(n)}(A_{1}\times \cdots \times A_{n})].}$

Das heißt für eine nicht-negative messbare Funktion ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{+}}$:

${\displaystyle \mathbb {E} \left[\sum _{(x_{1}\neq \cdots \neq x_{n})\in \xi }f(x_{1},\ldots ,x_{n})\right]=\int _{{\textbf {R}}^{n}}f(x_{1},\ldots ,x_{n})M^{(n)}(dx_{1},\ldots ,dx_{n})}$

Falls das n-te faktorielle Moment-Maß absolut stetig bezüglich eines Referenz-Maßes ${\displaystyle \lambda ^{n}}$ (üblicherweise das Lebesgue-Maß) ist, so nennt man die Radon-Nikodým Dichte

${\displaystyle M^{(n)}(A_{1}\times \cdots \times A_{n})=\int _{A_{1}\times \dots \times A_{n}}\rho ^{(n)}(x_{1},\ldots ,x_{n})\mathrm {d} \lambda (x_{1})\cdots \mathrm {d} \lambda (x_{n})}$

für alle Borell-Mengen ${\displaystyle A_{i}}$ in ${\displaystyle \zeta }$ Korrelationsfunktion (auch multivariate Intensität).

Paar-Korrelationsfunktion

Sei ${\displaystyle \rho ^{(n)}}$ die Radon-Nikodým-Dichte eines absolut stetigen n-ten faktoriellen Moment-Maß. Dann lässt sich die Paar-Korrelationfunktion oder 2-Punkt Korrelationsfunktion wie folgt bilden

${\displaystyle \vartheta (x_{1},x_{2})={\frac {\rho ^{(2)}(x_{1},x_{2})}{\rho ^{(1)}(x_{1})\rho ^{(1)}(x_{2})}}}$

für zwei Punkte ${\displaystyle x_{1},x_{2}\in \mathbb {R} }$.

Poisson-Punktprozess

Hawkes-Prozess

Ein Hawkes-Prozess ${\displaystyle H_{t}}$ ist ein einfacher Punktprozess, der einen Punktprozess modelliert, bei dem das Auftreten eines Ereignisses, einen positiven Einfluss (d. h. erhöhen) auf die Intensität für zukünftige Ereignisse hat.

Die bedingte Intensität ${\displaystyle \lambda (t)}$ folgende Form hat

${\displaystyle {\begin{array}{ll}\lambda (t)&=\mu (t)+\int _{-\infty }^{t}\nu (t-s)dH_{s}\\&=\mu (t)+\sum \limits _{k:T_{k}<t}\nu (t-T_{k})\end{array}}}$

wobei ${\displaystyle \nu$ :\mathbb {R} ^{+}\rightarrow \mathbb {R} ^{+}} ein Integralkern ist, der den positiven Einfluss vergangener Ereignisse ${\displaystyle T_{i}}$ auf die jetzige Intensität ${\displaystyle \lambda (t)}$ modelliert. Dabei ist ${\displaystyle \mu (t)}$ entweder der zu erwartende, vorhersagbare, oder deterministische Teil der Intensität. ${\displaystyle \{T_{i}:T_{i}<T_{i+1}\}\in \mathbb {R} }$ sind Stoppzeiten des i-ten Ereignisses.

Determinantale Punktprozesse

Campbellsche Formel

Die Campbellsche Formel beschreibt eine wichtige Eigenschaft eines Punktprozesses ${\displaystyle \xi }$ zu seiner Intensität ${\displaystyle \gamma }$. Für alle ${\displaystyle \gamma }$-integrierbaren Funktionen ${\displaystyle f(x)}$ gilt

${\displaystyle \mathbb {E} \left(\int f(x)\xi (\mathrm {d} x)\right)=\int f(x)\gamma (\mathrm {d} x)}$

Echte Punktprozesse

Man unterscheidet zwischen echten und unechten Punktprozessen. Ein Punktprozess ${\displaystyle \xi }$ wird dann echt genannt, wenn ein Zufallsvariable ${\displaystyle M}$ mit Werten in ${\displaystyle \mathbb {N} _{0}\cup \{\infty \}}$ und Zufallsvariablen ${\displaystyle (X_{i})_{i\in \mathbb {N} }}$ existieren, so dass fast sicher gilt

${\displaystyle \xi (B)=\sum \limits _{n=1}^{M}\delta _{X_{i}}(B)\quad \forall B\in {\mathcal {X}}}$

Es lässt sich zeigen, dass es für jeden Poisson Punktprozesse einen echten Punktprozess gibt, der die gleiche Verteilung auf demselben Raum besitzt.