In der Stochastik bezeichnet der Begriff der Stoppzeit eine spezielle Art von Zufallsvariablen, die auf filtrierten Wahrscheinlichkeitsräumen definiert werden. Stoppzeiten sind nicht nur von Bedeutung für die Theorie der stochastischen Prozesse (beispielsweise bei der Lokalisierung von Prozessklassen oder Untersuchungen von gestoppten Prozessen), sondern auch von praktischer Relevanz, etwa für das Problem des optimalen Ausübungszeitpunkts für amerikanische Optionen.

In der aus dem Russischen in das Englische übersetzten Fachliteratur finden sich auch die Bezeichnungen Markov moment (dt. Markow-Moment) oder Markov time (dt. Markow-Zeit).

Definition

Gegeben sei ein Wahrscheinlichkeitsraum ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},P)}$.

Interpretation

Eine Stoppzeit kann man als die Wartezeit interpretieren, die vergeht, bis ein bestimmtes zufälliges Ereignis eintritt. Wenn wie üblich die Filtrierung die vorhandene Information zu verschiedenen Zeitpunkten angibt, bedeutet die obige Bedingung also, dass zu jeder Zeit bekannt sein soll, ob dieses Ereignis bereits eingetreten ist oder nicht.

Beispiele

• Ein Glücksspieler beginnt zum Zeitpunkt ${\displaystyle t=0}$ mit einem Startkapital von 10 € zu spielen; dabei absolviert er jede Minute ein Spiel (das der Einfachheit halber selbst keine Zeit in Anspruch nimmt), bei dem er mit 50-prozentiger Wahrscheinlichkeit einen Euro gewinnt und ansonsten einen Euro verliert (der Kontostand des Spielers ist dann ein Martingal). Die Wartezeit, bis der Spieler sein gesamtes Geld verspielt hat, ist dann ein Beispiel für eine Stoppzeit bezüglich der natürlichen Filtrierung des Experiments: Zu jedem Zeitpunkt weiß der Spieler, ob er bereits pleite ist oder nicht. Dagegen wäre die Wartezeit bis zum Augenblick seines vorletzten Spiels keine Stoppzeit: In dem Moment, da man sein vorletztes Spiel absolviert, weiß man noch nicht, dass das nächste Spiel das letzte sein wird.

• Die Trefferzeit (hitting-time) eines Wiener-Prozesses ${\displaystyle (W_{t})_{t\geq 0}}$ mit Drift ${\displaystyle \mu }$ zum Level ${\displaystyle a>0}$ ist definiert als ${\displaystyle \tau _{a}(\omega )=\inf\{t\geq 0:W_{t}(\omega )=a\}}$.

${\displaystyle \tau _{a}}$ ist eine Stoppzeit. Sie ist nach einer inversen Gauß-Verteilung verteilt, die Dichte ist

${\displaystyle f_{IG}(t)={\frac {a\exp(a\mu )}{\sqrt {2\pi }}}t^{-3/2}\exp \left(-{\frac {1}{2}}(a^{2}t^{-1}+\mu ^{2}t)\right),\quad t>0}$.

• Ist allgemeiner ${\displaystyle (X_{t})_{t\geq 0}}$ ein reellwertiger, adaptierter Càdlàg-Prozess, also ein stochastischer Prozess, dessen Pfade alle rechtsseitig stetig sind und Grenzwerte von links besitzen, und ist ${\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} }$ eine abgeschlossene Menge, so ist die Treffzeit von ${\displaystyle X}$ in ${\displaystyle A}$, definiert als

${\displaystyle \tau _{A}(\omega ):=\inf\{t\geq 0:\;X_{t}(\omega )\in A\}}$

eine Stoppzeit. ${\displaystyle \tau _{A}}$ gibt also den infimalen Zeitpunkt an, an dem ${\displaystyle X}$ zum ersten Mal die Menge ${\displaystyle A}$ betritt. Dabei ist es essentiell, dass ${\displaystyle A}$ abgeschlossen ist: Zum Zeitpunkt ${\displaystyle t}$ könnte ${\displaystyle X}$ bereits auf dem Rand von ${\displaystyle A}$, aber noch nicht in ${\displaystyle A}$ sein und die Menge direkt im Anschluss betreten. Dann wäre zwar ${\displaystyle \tau _{A}=t}$ (man beachte das Infimum), jedoch ist in ${\displaystyle t}$ noch nicht bekannt, ob ${\displaystyle A}$ gleich betreten wird oder nicht.

Arten von Stoppzeiten

Gegeben sei filtrierter Wahrscheinlichkeitsraum ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},\mathbb {F} ,P)}$.

Sei ${\displaystyle \tau }$ eine Stoppzeit.

• ${\displaystyle \tau }$ heißt vorhersehbar oder vorhersagbar, falls eine Folge von Stoppzeiten ${\displaystyle \tau _{n}\uparrow \tau }$ existiert, so dass für alle ${\displaystyle n}$ die Ungleichung ${\displaystyle \tau _{n}<\tau }$ gilt, wenn ${\displaystyle \tau \neq 0}$. Man sagt, ${\displaystyle \tau _{n}}$ sei eine ${\displaystyle \tau }$ ankündigende Folge.
• ${\displaystyle \tau }$ heißt zugänglich, falls eine Folge von vorhersagbaren Stoppzeiten ${\displaystyle \tau _{n}}$ existiert, so dass für alle ${\displaystyle \omega \in \Omega }$ gilt, dass ${\displaystyle \textstyle \tau (\omega )\in \bigcup _{i}\tau _{i}(\omega )}$
• ${\displaystyle \tau }$ heißt völlig unzugänglich, falls für alle vorhersagbaren Stoppzeiten ${\displaystyle T}$ gilt, dass ${\displaystyle P(\tau =T<\infty )=0}$.

Abgeleitete Konzepte

Rechenregeln

Es seien ${\displaystyle \sigma ,\tau }$ und ${\displaystyle \tau _{j}}$ Stoppzeiten bezüglich einer Filtration ${\displaystyle \mathbb {F} =({\mathcal {F}}_{t})_{t\in T}}$ sowie

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}^{+}:=\bigcap _{s>t}{\mathcal {F}}_{s}{\text{ und }}\mathbb {F} ^{+}:=({\mathcal {F}}_{t}^{+})_{t\in T}}$.

Dann gilt

• Das Minimum ${\displaystyle \sigma \wedge \tau }$ ist eine ${\displaystyle \mathbb {F} }$-Stoppzeit.
• Das Maximum ${\displaystyle \sigma \vee \tau }$ ist eine ${\displaystyle \mathbb {F} }$-Stoppzeit.
• ${\displaystyle \sup _{j}\tau _{j}}$ ist eine ${\displaystyle \mathbb {F} }$-Stoppzeit.
• ${\displaystyle \sigma +a}$ ist eine ${\displaystyle \mathbb {F} }$-Stoppzeit, wobei ${\displaystyle a\geq 0}$ eine feste Konstante ist.
• ${\displaystyle \sigma +\tau }$ ist eine ${\displaystyle \mathbb {F} }$-Stoppzeit.
• ${\displaystyle \inf _{j}\tau _{j}}$ ist eine ${\displaystyle \mathbb {F} ^{+}}$-Stoppzeit.
• ${\displaystyle \limsup _{j}\tau _{j}}$ ist eine ${\displaystyle \mathbb {F} ^{+}}$-Stoppzeit.
• ${\displaystyle \liminf _{j}\tau _{j}}$ ist eine ${\displaystyle \mathbb {F} ^{+}}$-Stoppzeit.

Weblinks

• Stopping Time. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, encyclopediaofmath.org). 

Literatur

• Heinz Bauer: Wahrscheinlichkeitstheorie, de Gruyter Lehrbuch, 2002, ISBN 3-11-017236-4
• Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, doi:10.1007/978-3-642-36018-3. 
• Christian Hesse: Angewandte Wahrscheinlichkeitstheorie, Vieweg + Teubner-Verlag, Wiesbaden 2003, ISBN 3-528-03183-2, doi:10.1007/978-3-663-01244-3

Einzelnachweise

1. ↑ A.N. Shiryaev: Markov moment. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, encyclopediaofmath.org). 
2. ↑ Claude Dellacherie und Paul André-Meyer: Probabilities and Potential. In: Elsevier Science Ltd (Hrsg.): Mathematics Studies. Band 29, 1979, S. 134 (englisch).