Der Satz von Ramsey geht auf Frank Plumpton Ramsey und dessen Veröffentlichung aus dem Jahr 1930 zurück. Er zählt zu den klassischen Theoremen der Kombinatorik und stellt eine Verallgemeinerung des dirichletschen Schubfachprinzips dar. Der Satz behandelt die Frage, ob und unter welchen Bedingungen bei Kantenfärbungen von vollständigen Graphen und Hypergraphen mit zwei (oder mehr) Farben einfarbige Teilgraphen auftreten. Es ergibt sich, dass solche Teilgraphen für hinreichend große vollständige Graphen und Hypergraphen stets auftreten müssen. Das derartige Fragestellungen behandelnde Teilgebiet der Kombinatorik wird Ramseytheorie genannt.

Neben der reinen Existenzfrage wird in der Diskreten Mathematik auch ein damit zusammenhängendes Quantifizierungsproblem untersucht. Es handelt sich hier um die Frage, ab welcher Größe ein vollständiger Graph bzw. Hypergraph im genannten Sinne als „hinreichend groß“ zu betrachten ist, und weiter darum, wie die in diesem Sinne zu bestimmenden Ramsey-Zahlen zu berechnen oder wenigstens abzuschätzen sind. Diese Quantifizierungsfrage zu klären oder gar zu lösen, hat sich als außerordentlich schwierig herausgestellt.

Mit dem Satz von Ramsey lassen sich Existenzsätze der Diskreten Mathematik ableiten und insbesondere kombinatorische Probleme der Geometrie und Zahlentheorie lösen. Eine praktische Anwendung findet er auch beim Spiel Sim.

Aussage des Satzes (Version für vollständige Graphen)

Wir betrachten endliche vollständige Graphen ${\displaystyle K_{n}}$ mit ${\displaystyle n}$ Knoten ${\displaystyle (n\in \mathbb {N} )}$ und Kantenfärbungen, bei denen jede Kante von ${\displaystyle K_{n}}$ mit einer von zwei Farben, etwa rot und blau, gefärbt ist. Gibt es hierin ${\displaystyle r}$ Knoten, so dass alle zwischen diesen verlaufenden Kanten rot sind, so sagen wir, der Graph enthalte einen roten ${\displaystyle r}$-Teilgraphen. Eine entsprechende Sprechweise gelte für blaue Teilgraphen.

Mit dieser Sprechweise lässt sich der Satz von Ramsey (in der Version für Graphen) angeben wie folgt:

Zu je zwei natürlichen Zahlen ${\displaystyle r,b}$ gibt es stets eine (von ${\displaystyle r}$ und ${\displaystyle b}$ abhängige) natürliche Zahl ${\displaystyle R}$ dergestalt, dass jeder vollständige Graph ${\displaystyle K_{n}}$ mit ${\displaystyle n\geq R}$ Knoten, dessen Kanten entweder rot oder blau gefärbt sind, mindestens einen roten ${\displaystyle r}$-Teilgraphen oder einen blauen ${\displaystyle b}$-Teilgraphen enthält.

Ramsey-Zahlen für vollständige Graphen

Die kleinste natürliche Zahl, die als ein solches ${\displaystyle R}$ bei gegebenen ${\displaystyle r,b}$ gewählt werden kann, heißt die zu ${\displaystyle r}$ und ${\displaystyle b}$ gehörige Ramsey-Zahl und wird mit ${\displaystyle R(r,b)}$ bezeichnet.

Charakteristisch für die Ramsey-Zahl ${\displaystyle R(r,b)}$ ist die Eigenschaft, dass ${\displaystyle K_{R(r,b)-1}}$ der größte vollständige Graph ist, welcher eine Rot-Blau-Kantenfärbung gestattet, zu der weder ein roter ${\displaystyle r}$-Teilgraph noch ein blauer ${\displaystyle b}$-Teilgraph in ${\displaystyle K_{R(r,b)-1}}$ existiert.

Der Satz von Ramsey für vollständige Graphen lässt sich von Kantenfärbungen mit zwei auf solche mit beliebig vielen Farben verallgemeinern. Entsprechend gibt es zu beliebigen Kantenfärbungen mit ${\displaystyle t}$ Farben   ${\displaystyle (t\in \mathbb {N} )}$   und Anzahlen ${\displaystyle q_{1},\ldots ,q_{t}}$ die zugehörige Ramsey-Zahl ${\displaystyle R(q_{1},\ldots ,q_{t})}$.

Veranschaulichung

Zur Veranschaulichung der Bedeutung einer Ramsey-Zahl ${\displaystyle R(r,b)}$ ist es hilfreich, diese in Zusammenhang zu bringen mit der Beantwortung der folgenden Frage:

• Wie viele Gäste müssen zu einer Party zumindest erscheinen, wenn gewährleistet sein soll, dass von ihnen entweder ${\displaystyle r}$ (oder mehr) einander nicht kennen oder ${\displaystyle b}$ (oder mehr) einander kennen.

Setzt man hierbei die Relation des Einander-Kennens, verstanden im Sinne eines zweiseitigen Miteinander-Bekanntseins, gleich mit einer irreflexiven, symmetrischen (aber nicht notwendig transitiven) Relation, so gelangt man zu einem Graphen mit roten und blauen Kanten, indem man in dem Falle, dass sich irgendwelche zwei Gäste nicht kennen, eine rote Kante, jedoch im gegenteiligen Fall, wenn sie sich kennen, eine blaue Kante zeichnet.

Damit lässt sich etwa die Ramsey-Zahl ${\displaystyle R(3,2)=3}$ sehr leicht bestimmen. Hier ist also ${\displaystyle r=3}$ und ${\displaystyle b=2}$.

Haben wir dann drei beliebige Gäste, so können wir den vollständigen Graphen ${\displaystyle K_{3}}$ zeichnen und folgende mögliche Kantenfärbungen erzielen:

• Alle Kanten werden rot gefärbt.
• Alle Kanten werden blau gefärbt.
• Zwei Kanten werden blau gefärbt und eine rot.
• Zwei Kanten werden rot gefärbt und eine blau.

Für die drei Gäste bedeutet dies:

• Keiner der Gäste kennt einen anderen.
• Alle drei Gäste kennen sich untereinander.
• Ein Gast kennt die beiden anderen Gäste, die einander jedoch nicht kennen.
• Zwei Gäste kennen sich, sind aber nicht mit dem dritten Gast bekannt.

Insgesamt heißt dies für die Bestimmung von ${\displaystyle R(3,2)=3}$ :

Für eine Party, bei der von den erschienenen Gästen entweder mindestens drei einander nicht kennen oder mindestens zwei einander kennen, genügt es, wenn drei oder mehr Gäste erscheinen.

Der allgemeine Satz von Ramsey (endliche Version für uniforme Hypergraphen)

In der Version des Satzes von Ramsey für Graphen waren die zwei Farben Rot und Blau vorgegeben. Eine Rot-Blau-Kantenfärbung eines Graphen ist dabei ihrer mathematischen Bedeutung nach eine Abbildung von der Menge der Kanten des Graphen in die Menge ${\displaystyle \{{rot},{blau}\}\,}$. An die Stelle der ${\displaystyle 2}$-Menge ${\displaystyle \{{rot},{blau}\}\,}$ lässt sich auch jede andere aus zwei Elementen bestehende Menge zur Markierung der Kanten wählen und insbesondere die ${\displaystyle 2}$-Menge ${\displaystyle \{1,2\}\subset \mathbb {N} \,}$. An die Stelle der Rot-Blau-Kantenfärbung tritt dann die Markierung der Kanten mit den Zahlen ${\displaystyle 1}$ und ${\displaystyle 2}$. Auf diese Weise wird klar, dass eine Rot-Blau-Kantenfärbung einer Klasseneinteilung der Kanten in zwei Klassen gleichkommt.

Dieser Ansatz ist in mehrfacher Hinsicht verallgemeinerungsfähig. Dabei werden statt zweier Klassen endlich viele Klassen in beliebiger endlicher Anzahl betrachtet (also ${\displaystyle t=1,2,3,\ldots }$ Stück), statt der Kanten (welche nichts weiter sind als ${\displaystyle 2}$-elementige Teilmengen der Knotenmenge von Graphen) beliebige ${\displaystyle k}$-Teilmengen (mit ${\displaystyle k=1,2,3,\ldots }$) von beliebigen endlichen Mengen ${\displaystyle X\,}$ und statt der zwei Zahlen ${\displaystyle r,b\,}$ beliebig vorgelegte natürliche Zahlen ${\displaystyle q_{1},q_{2},\ldots ,q_{t}\,}$.

Dies führt zum allgemeinen Satz von Ramsey, der für den Fall der vollständigen (k-uniformen) Hypergraphen gilt:

Zu jeder natürlichen Zahl   ${\displaystyle t}$ und je   ${\displaystyle t+1}$   beliebig gegebenen natürliche Zahlen ${\displaystyle k,q_{1},q_{2},\ldots ,q_{t}}$ mit ${\displaystyle k\leq \min(q_{1},q_{2},\ldots ,q_{t})}$ gibt es stets eine von ${\displaystyle k,q_{1},q_{2},\ldots ,q_{t}}$ abhängende natürliche Zahl ${\displaystyle R}$ mit folgender Eigenschaft:

Ist ${\displaystyle n\,}$ eine natürliche Zahl mit ${\displaystyle n\geq R}$ und ${\displaystyle X}$ eine ${\displaystyle n}$-elementige Menge und liegt irgendeine Zerlegung

${\displaystyle {X \choose k}={\mathcal {K}}_{1}{\dot {\cup }}{\mathcal {K}}_{2}{\dot {\cup }}\,\dots {\dot {\cup }}{\mathcal {K}}_{t}\,}$

des Mengensystems aller ${\displaystyle k}$-Teilmengen von   ${\displaystyle X}$   in   ${\displaystyle t}$   Klassen vor,

so gibt es stets mindestens einen Index ${\displaystyle s\in \{1,2,\ldots ,t\}\,}$ und eine Teilmenge   ${\displaystyle T\subseteq X\,}$   dergestalt, dass die Bedingungen:

${\displaystyle |T|=q_{s}\,}$

und

${\displaystyle {T \choose k}\subseteq {\mathcal {K}}_{s}\,}$

erfüllt sind.

Die unendliche Version des Satzes von Ramsey

Die unendliche Version des Satzes von Ramsey ist diejenige, welche im Wesentlichen dem ursprünglich von Frank Plumpton Ramsey in 1930 vorgelegten Theorem entspricht. Sie lautet:

Zu beliebig gegebenen natürlichen Zahlen ${\displaystyle k,t\,}$, zu einer beliebig gegebenen unendlichen Menge ${\displaystyle X}$ und irgendeiner Zerlegung

${\displaystyle {X \choose k}={\mathcal {K}}_{1}{\dot {\cup }}{\mathcal {K}}_{2}{\dot {\cup }}\,\dots {\dot {\cup }}{\mathcal {K}}_{t}\,}$

des Mengensystems aller ${\displaystyle k}$-Teilmengen von ${\displaystyle X\,}$

gibt es stets mindestens einen Index ${\displaystyle s\in \{1,2,\ldots ,t\}\,}$ und eine unendliche Teilmenge ${\displaystyle T\subseteq X\,}$ mit

${\displaystyle {T \choose k}\subseteq {\mathcal {K}}_{s}\,}$   .

Es lässt sich zeigen, dass die unendliche Version des Satzes von Ramsey die endliche Version nach sich zieht.

Folgerungen

Dieser Satz von Ramsey hat bemerkenswerte Konsequenzen, etwa in der Geometrie und in der Zahlentheorie. Unter anderem ergibt sich aus ihm das berühmte Happy Ending theorem von Erdős und Szekeres aus dem Jahre 1935 und eine erweiterte Version des Satzes von Schur.

Verallgemeinerung des Satzes von Ramsey für endliche einfache Graphen

Der ramseysche Satzes behandelt im Fall der Graphen (s. Teil 1) die Frage, ob und wie sich hinreichend große vollständige Graphen ${\displaystyle K_{n}}$ finden lassen, so dass sich in solche   ${\displaystyle K_{n}}$   bei jeder Kantenfärbung mindestens einer von   ${\displaystyle t}$   vorgegebenen vollständigen Graphen ${\displaystyle K_{q_{i}}}$ als einfarbiger Teilgraph einbetten lässt.

Dieses Konzept ist dahingehend verallgemeinert worden, dass man nun von den   ${\displaystyle K_{q_{i}}}$   auf beliebige einfache Graphen   ${\displaystyle {\mathcal {G}}_{i}}$   endlicher Ordnung übergeht. Auf diesem Wege erhält man die folgende Verallgemeinerung des Satzes von Ramsey für Graphen:

Zu jeder natürlichen Zahl   ${\displaystyle t\geq 2}$   und jeder beliebig vorgegebenen ${\displaystyle t}$-Familie   ${\displaystyle ({\mathcal {G}}_{1},{\mathcal {G}}_{2},\ldots ,{\mathcal {G}}_{t})}$   von endlichen einfachen Graphen existiert stets eine natürliche Zahl   ${\displaystyle r}$   mit folgender Eigenschaft:

Ist   ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$   und   ${\displaystyle n\geq r}$   und liegt irgendeine Kantenfärbung von   ${\displaystyle K_{n}}$   mit   ${\displaystyle t}$   Farben vor, so existiert in ${\displaystyle K_{n}}$ ein einfarbiger Teilgraph, welcher das isomorphe Bild zumindest eines der Graphen   ${\displaystyle {\mathcal {G}}_{1},{\mathcal {G}}_{2},\ldots ,{\mathcal {G}}_{t}}$ enthält.

Asymptotische Abschätzungen

Obwohl die klassischen Ramsey-Zahlen wie auch die verallgemeinerten Ramsey-Zahlen für Graphen nur in wenigen Fällen exakt bestimmt sind, lassen sich gewisse asymptotische Abschätzungen angeben. Das folgende Resultat, welches insbesondere auf Arbeiten von Miklós Ajtai, János Komlós und Endre Szemerédi (1980) sowie Jeong Han Kim (1995) zurückgeht, wird häufig genannt:

• Es existieren zwei reelle Konstanten   ${\displaystyle C_{1},C_{2}>0}$   mit

  ${\displaystyle {C_{1}\cdot {\frac {n^{2}}{\ln(n)}}}\leq R(3,n;2)\leq {C_{2}\cdot {\frac {n^{2}}{\ln(n)}}}}$     ${\displaystyle (n\in \mathbb {N} \,,\,n\geq 2)}$   .

Vermutungen

Es gibt zu den klassischen Ramsey-Zahlen ebenso wie zu den verallgemeinerten Ramsey-Zahlen für Graphen eine Reihe von Vermutungen. Diese sind nicht selten mit Namen und Person von Paul Erdős verbunden. Dazu gehören die folgenden:

Siehe auch

• Satz von Ramsey (Mengenlehre)

Literatur

Originalarbeiten

• Miklós Ajtai, János Komlós, Endre Szemerédi: A note on Ramsey numbers. In: J. Combin. Theory Ser. A. Band 29, 1980, S. 354–360 (ac.els-cdn.com [PDF]).  MR0600598
• Stefan A. Burr, John A. Roberts: On Ramsey numbers for stars. In: Utilitas Math. Band 4, 1973, S. 217–220 (onlinelibrary.wiley.com [PDF]).  MR0465920
• V. Chvátal: Tree-complete graph Ramsey numbers. In: J. Graph Theory. Band 1, 1977, S. 93 (onlinelibrary.wiley.com [PDF]).  MR0465920
• Václav Chvátal, Frank Harary: Generalized Ramsey theory for graphs. III. Small off-diagonal numbers. In: Pacific J. Math. Band 41, 1972, S. 335–345 (projecteuclid.org [PDF]).  MR0314696
• E. J. Cockayne: Colour classes for r-graphs. In: Canad. Math. Bull. Band 15, 1972, S. 349–354.  MR0340076
• Paul Erdős, George Szekeres: A combinatorial problem in geometry. In: Compositio Mathematica. Band 2, 1935, S. 463–470. 
• Paul Erdős: Some remarks on the theory of graphs. In: Amer. Math. Soc. Band 2, 1947, S. 292–294 (ams.org [PDF]). 
• Robert E. Greenwood, Andrew M. Gleason: Combinatorial relations and chromatic graphs. In: Canad. J. Math. Band 7, 1955, S. 1–7 (cms.math.ca [PDF]).  MR0067467
• Jeong Han Kim: The Ramsey number R(3,t) has order of magnitude t^2/log t. In: Random Structures Algorithms. Band 7, 1995, S. 173–207 (onlinelibrary.wiley.com [PDF]).  MR1369063
• Brendan D. McKay, Stanisław P. Radziszowski: The first classical Ramsey number for hypergraphs is computed. In: Proceedings of the Second Annual ACM-SIAM Symposium on Discrete Algorithms (San Francisco, CA, 1991). ACM, New York 1991, S. 304–308. 
• F. P. Ramsey: On a problem of formal logic. In: Proc. London Math. Soc. (series 2). Band 30, 1930, S. 264–286. 
• G. Tóth, P. Valtr: Note on the Erdős–Szekeres theorem. In: Discrete Comput. Geom. Band 19, 1998, S. 457–459.  MR1615130

Monographien

• Béla Bollobás: Modern Graph Theory (= Graduate Texts in Mathematics. Band 184). 3. Auflage. Springer, New York (u. a.) 1998, ISBN 0-387-98488-7 (MR1633290). 
• J. A. Bondy, U. S. R. Murty: Graph Theory with Applications. MacMillan, London 1976, ISBN 0-333-17791-6 (MR0411988). 
• J. A. Bondy, U. S. R. Murty: Graph Theory (= Graduate Texts in Mathematics. Band 244). Springer Verlag, New York 1976, ISBN 978-1-84628-969-9 (MR2368647). 
• Ronald L. Graham, Bruce L. Rothschild, Joel H. Spencer: Ramsey Theory. John Wiley & Sons, New York 1980, ISBN 0-471-05997-8. 
• Heinz-Richard Halder, Werner Heise: Einführung in die Kombinatorik. Hanser Verlag, München (u. a.) 1976, ISBN 3-446-12140-4 (Google Books). 
• Egbert Harzheim: Ordered Sets (= Advances in Mathematics. Band 7). Springer Verlag, New York, NY 2005, ISBN 0-387-24219-8 (MR2127991). 
• Konrad Jacobs, Dieter Jungnickel: Einführung in die Kombinatorik (= de Gruyter Lehrbuch). 2., völlig neu bearbeitete und erweiterte Auflage. de Gruyter, Berlin (u. a.) 2004, ISBN 3-11-016727-1. 
• Stasys Jukna: Extremal Combinatorics (= Texts in Theoretical Computer Science). 2. Auflage. Springer Verlag, Heidelberg (u. a.) 2011, ISBN 978-3-642-17363-9 (MR2865719). 
• Jörg Neunhäuserer: Schöne Sätze der Mathematik. Ein Überblick mit kurzen Beweisen (= Springer-Lehrbuch). Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg 2015, ISBN 978-3-642-54689-1. 
• Lutz Volkmann: Fundamente der Graphentheorie. Springer Spektrum, Wien, New York 1996, ISBN 3-211-82774-9. 

Handbücher

• Jonathan L. Gross, Jay Yellen (Hrsg.): Handbook of Graph Theory (= Discrete Mathematics and its Applications). CRC Press, Boca Raton (u. a.) 2004, ISBN 1-58488-090-2. 
• Kenneth H. Rosen (Hrsg.): Handbook of Discrete and Combinatorial Mathematics (= Discrete Mathematics and its Applications). CRC Press, 2000, ISBN 0-8493-0149-1. 

Weblinks

• Ramsey@Home ist ein „BOINC“-Projekt, das durch Verteiltes Rechnen versucht, neue untere Schranken für Ramsey-Zahlen zu finden.
• Ramsey-Theorie
• Radziszowski’s survey of small Ramsey numbers (PDF; 109 kB, englisch)
• Survey of directed-graph Ramsey numbers (englisch)

Einzelnachweise und Fußnoten

1. ↑ Die Wahl der Farben ist unwesentlich.
2. ↑ Handbook of Discrete and Combinatorial Mathematics. S. 150 ff. 
3. ↑ Die oben gemachten Überlegungen zur Bestimmung von R(3,3) deuten bereits einige der wesentlichen Ideen an, die zu der genannten rekursiven Abschätzung der Ramsey-Zahlen und dann auch zu einem Beweis des Satzes führen. Diese Abschätzung ist jedoch für eine exakte Bestimmung der Ramsey-Zahlen bei weitem nicht ausreichend.
4. ↑ Die Ungleichungen gehen zurück auf die klassische Arbeit von Paul Erdős und George Szekeres aus dem Jahre 1935, mit welchem die beiden Autoren als erste den Satz von Ramsey mit Fragestellungen der Graphentheorie und Geometrie verknüpften. (Vgl. 1) Erdős-Szekeres: A combinatorial problem in geometry. In: Proc. London Math. Soc. 1935, S. 463 ff.  2) Graham-Rothschild-Spencer: S. 24 ff. 3) Handbook of Graph Theory. S. 838 ff. 
5. ↑ Volkmann: S. 359.
6. ↑ Diese Ungleichung geht gemäß Lutz Volkmann auf eine Arbeit von E. J. Cockayne aus dem Jahr 1972 zurück. Vgl. Volkmann: S. 363.
7. ↑ Erdős: Some remarks on the theory of graphs. In: Bull. Amer. Math. Soc. 1947, S. 292 ff. 
8. ↑ Graham-Rothschild-Spencer: S. 75.
9. ↑ Handbook of Discrete and Combinatorial Mathematics. S. 151, 592 ff. 
10. ↑ Handbook of Graph Theory. S. 840. 
11. ↑ Die untere Schranke von ${\displaystyle R(5,5)}$ ergibt sich daraus, dass ein vollständiger zweigefärbter Graph mit ${\displaystyle 42}$ Knoten gefunden wurde, welcher keinen vollständigen einfarbigen Untergraphen mit ${\displaystyle 5}$ Knoten enthält. Vgl. Neunhäuserer: S. 31–32, 182–183. Weitere aktuelle Abschätzungen zu Kantenfärbungen mit zwei Farben sind im Artikel Ramsey's theorem des englischsprachigen Wikipedia nachzulesen.
12. ↑ Greenwood-Gleason: Combinatorial relations and chromatic graphs. In: Canad. J. Math. 1955, S. 1 ff. 
13. ↑ Bondy-Murty: S. 249.
14. ↑ Jacobs-Jungnickel: S. 105.
15. ↑ Halder-Heise: S. 141–142.
16. ↑ Harzheim: S. 299–301.
17. 1 2 Handbook of Discrete and Combinatorial Mathematics. S. 150. 
18. ↑ Graham-Rothschild-Spencer: S. 90.
19. ↑ Es gibt einige Bezeichnungsvarianten. Insbesondere ist die Wahl des bezeichnenden Buchstabens nicht einheitlich und zugleich kann auch die Position des   ${\displaystyle k}$   im Verhältnis zu den   ${\displaystyle q_{i}}$   wechseln. Statt des Großbuchstabens   ${\displaystyle R}$   findet man des Öfteren auch den Kleinbuchstaben   ${\displaystyle r}$   vor, dies vor allem in der Graphentheorie. Hier etwa tritt die Zahl   ${\displaystyle k}$   auch als Index auf. In diesem Sinne gilt also (vgl. Handbook of Graph Theory):
    • ${\displaystyle r(q_{1},q_{2})={r_{2}}(q_{1},q_{2})=R(q_{1},q_{2})=R(q_{1},q_{2};2)}$
    • ${\displaystyle r(q_{1},q_{2},\ldots ,q_{t})={r_{2}}(q_{1},q_{2},\ldots ,q_{t})=R(q_{1},q_{2},\ldots ,q_{t})=R(q_{1},q_{2},\ldots ,q_{t};2)}$
    • ${\displaystyle {r_{k}}(q_{1},q_{2},\ldots ,q_{t})=R(q_{1},q_{2},\ldots ,q_{t};k)}$   .
    Bei manchen Autoren – zumindest denen der älteren Literatur, etwa bei Halder-Heise – ist als Funktionsbezeichner sogar der griechische Kleinbuchstabe   ${\displaystyle \rho }$   zu finden und es kommen noch weitere Bezeichnungsvarianten vor. Die hiesige Bezeichnung folgt im Wesentlichen der allgemeinen (nicht allein auf die Graphentheorie ausgerichteten) Bezeichnung bei Jacobs-Jungnickel bzw. der des Handbook of Discrete and Combinatorial Mathematics.
20. ↑ Handbook of Graph Theory. S. 853. 
21. ↑ Jacobs-Jungnickel: S. 108.
22. ↑ McKay-Radziszowski: The first classical Ramsey number for hypergraphs is computed. In: Proceedings of the Second Annual ACM-SIAM Symposium on Discrete Algorithms. 1991, S. 304 ff. 
23. ↑ Dies stellt die Verbindung zwischen allgemeinen Ramsey-Zahlen und Ramsey-Zahlen für Graphen her.
24. ↑ Halder-Heise: S. 138.
25. ↑ Die letzten beiden Ungleichungen sind von oben übernommen.
26. ↑ Jacobs-Jungnickel: S. 109–110.
27. ↑ Jacobs-Jungnickel: S. 110.
28. ↑ Jacobs-Jungnickel: S. 108–109.
29. ↑ Siehe auch im englischsprachigen WIKIPEDIA unter: Happy Ending problem!
30. ↑ Halder-Heise: S. 142–143.
31. ↑ Halder-Heise: S. 140–141.
32. ↑ Handbook of Discrete and Combinatorial Mathematics. S. 832. 
33. ↑ Tóth-Valtr: Note on the Erdős–Szekeres theorem. In: Discrete Comput. Geom. Band 19, 1998, S. 457 ff. 
34. ↑ Halder-Heise: S. 143.
35. 1 2 Volkmann: S. 362 ff.
36. ↑ Handbook of Discrete and Combinatorial Mathematics. S. 592 ff. 
37. ↑ Handbook of Graph Theory. S. 838 ff. 
38. ↑ Diese Bezeichnung mit dem Kleinbuchstaben ${\displaystyle r}$ statt mit dem Großbuchstaben ${\displaystyle R}$ entspricht der üblichen Konvention der Graphentheorie (s. frühere Fußnote) und wird daher an dieser Stelle benutzt.
39. ↑ Handbook of Graph Theory. S. 842 ff. 
40. ↑ Diese Gleichung stellt die Verbindung zu den klassischen Ramsey-Zahlen für vollständige Graphen her und belegt zugleich, dass es sich bei den verallgemeinerten Ramsey-Zahlen für endliche einfache Graphen in der Tat um einer Verallgemeinerung handelt.
41. ↑ Dabei bezeichnet man mit   ${\displaystyle n({\mathcal {G}})}$   für eine Graphen   ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$   seine Ordnung, also die Anzahl seiner Knoten.
42. ↑ ${\displaystyle C_{n}}$   ist der Kreisgraph mit   ${\displaystyle n}$   Knoten und   ${\displaystyle n}$   Kanten.
43. ↑ Chvátal: Tree-complete graph Ramsey numbers. In: J. Graph Theory. Band 1, 1977, S. 93. 
44. ↑ Burr-Roberts: On Ramsey numbers for stars. In: Utilitas Math. Band 4, 1973, S. 217 ff. 
45. ↑ Jukna: S. 67.
46. ↑ Handbook of Graph Theory. S. 841 ff. 
47. ↑ Weitere Abschätzungen dieser Art finden sich im Artikel des englischsprachigen Wikipedia. Siehe hier!
48. ↑ Bondy-Murty: Graph Theory with Applications. S. 250. 
49. ↑ Ob diese Vermutung von Erdős immer offen ist, kann derzeit (Stand Dezember 2014) nicht mit letzter Sicherheit gesagt werden. In ihrer erweiterten Monographie Graph Theory von 2008 haben Bondy und Murty diese Vermutung jedenfalls nicht mehr in die Liste der Unsolved Problems (S. 583 ff) aufgenommen.
50. 1 2 Handbook of Graph Theory. S. 843. 
51. ↑ Handbook of Graph Theory. S. 842. 
52. ↑ Bollobás: S. 135.
53. ↑ Neunhäuserer: S. 182–183.