Random Walk

Ein Random Walk (deutsch zufällige (stochastische) Irrfahrt, zufällige Schrittfolge, Zufallsbewegung, Zufallsweg) ist ein mathematisches Modell für eine Verkettung zufälliger Bewegungen. Es handelt sich um einen stochastischen Prozess in diskreter Zeit mit unabhängigen und identisch verteilten Zuwächsen. Random-Walk-Modelle eignen sich für nichtdeterministische Zeitreihen, wie sie beispielsweise in der Finanzmathematik zur Modellierung von Aktienkursen verwendet werden (siehe Random-Walk-Theorie). Mit ihrer Hilfe können auch die Wahrscheinlichkeitsverteilungen von Messwerten physikalischer Größen verstanden werden. Der Begriff geht zurück auf Karl Pearsons Aufsatz The Problem of the Random Walk aus dem Jahr 1905. Die deutsche Bezeichnung Irrfahrt wurde von George Pólya erstmals im Jahr 1919 in der Arbeit Wahrscheinlichkeitstheoretisches über die „Irrfahrt“ verwendet.

Definition

Sei $(Z_{1},Z_{2},\dotsc )$ eine Folge von unabhängigen Zufallsvariablen mit Werten in $\mathbb {R} ^{d}$ , die alle die gleiche Verteilung besitzen. Dann heißt der durch

X_{n}=x_{0}+\sum _{j=1}^{n}Z_{j},\qquad n\in \mathbb {N} _{0}

definierte stochastische Prozess $(X_{n})_{n\in \mathbb {N} _{0}}$ ein Random Walk in $\mathbb {R} ^{d}$ oder ein d-dimensionaler Random Walk. Hierbei ist $x_{0}$ deterministisch, häufig wird $x_{0}=0\in \mathbb {R} ^{d}$ gewählt. Ein Random Walk ist also ein diskreter Prozess mit unabhängigen und stationären Zuwächsen.

Eine Realisierung eines Random walks liefert einen zufälligen Pfad.

Weist der Random Walk Korrelationen auf, so spricht man von einem korrelierten Random Walk.

Man kann Random Walks oder Irrfahrten analog auch in Riemannschen Mannigfaltigkeiten definieren. Bei Irrfahrten auf Graphen spricht man von Zufallspfaden.

Eindimensionaler Fall

Der einfache eindimensionale Random Walk (siehe auch symmetrische einfache Irrfahrt) ist ein grundlegendes Einführungsbeispiel, das auf mehrere Dimensionen erweitert und verallgemeinert werden kann; er hat aber bereits selbst zahlreiche konkrete Anwendungen. Beim eindimensionalen Random Walk bilden die einzelnen Schritte einen Bernoulli-Prozess, das heißt, eine Folge von unabhängigen Bernoulli-Versuchen.

Eine beliebte Veranschaulichung lautet wie folgt (siehe auch Drunkard’s Walk): Ein desorientierter Fußgänger läuft in einer Gasse mit einer Wahrscheinlichkeit $p$ einen Schritt nach vorne und mit einer Wahrscheinlichkeit $1-p$ einen Schritt zurück. Seine zufällige Position nach $n$ Schritten wird mit $X_{n}$ bezeichnet, ohne Einschränkung sei seine Startposition $X_{0}=0$ . Dann ist also $X_{n+1}=X_{n}+1$ oder $X_{n+1}=X_{n}-1$ für alle $n$ .

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit $P(X_{n}=x)$ , dass er sich genau im $n$ -ten Schritt an der Stelle $x$ befindet? Antwort: Der Fußgänger hat insgesamt $n=k+l$ Schritte gemacht, davon $k$ Schritte nach vorne und $l$ Schritte zurück. Seine Position nach $n$ Schritten ist also $X_{n}=k-l=k-(n-k)=2k-n$ und die Wahrscheinlichkeit dafür lautet

P(X_{n}=k-l)=P(X_{n}=2k-n)={n \choose k}p^{k}(1-p)^{n-k}={k+l \choose k}p^{k}(1-p)^{l}

,

denn die Anzahl der Schritte nach vorne folgt einer Binomialverteilung.

Oft interessiert man sich speziell für den ungerichteten oder symmetrischen Random Walk mit $p=1-p={\tfrac {1}{2}}$ . Dies ist auch die einzige Parameterwahl, die zu einer rekurrenten Markow-Kette führt, das heißt, dass der Läufer unendlich oft zum Ursprung zurückkehrt. Die aufsummierten Zufallsvariablen sind dann alle Rademacher-verteilt.

Wenn die Schritte mit $d_{1},d_{2},d_{3},\ldots ,d_{n}$ bezeichnet werden, gilt $d_{i}=1$ oder $d_{i}=-1$ für alle $1\leq i\leq n$ und $X_{n}=d_{1}+d_{2}+d_{3}+\ldots +d_{n}=\sum _{i=1}^{n}d_{i}$ . Für den Erwartungswert der Schritte gilt jeweils $\operatorname {E} (d_{i})=1\cdot p+(-1)\cdot (1-p)=1\cdot {\tfrac {1}{2}}+(-1)\cdot (1-{\tfrac {1}{2}})=0$ . Des Weiteren ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung der zurückgelegten Strecke symmetrisch um $x=0$ , und auch der Erwartungswert ist $\operatorname {E} (X_{n})=\operatorname {E} \left(\sum _{i=1}^{n}d_{i}\right)=\sum _{i=1}^{n}\operatorname {E} (d_{i})=0$ . Das Vorankommen des Fußgängers kann man dann nur durch den mittleren quadratischen Abstand vom Ausgangspunkt, also durch die Varianz der Binomialverteilung beschreiben: $\operatorname {Var} (X_{n})=\operatorname {E} (X_{n}^{2})-\operatorname {E} (X_{n})^{2}$ . Wegen $\operatorname {E} (X_{n})=0$ , $\operatorname {E} (d_{i})=0$ und $\operatorname {E} (d_{i}^{2})=\operatorname {E} (1)=1$ für alle $1\leq i\leq n$ folgt daraus:

\operatorname {Var} (X_{n})=\operatorname {E} (X_{n}^{2})=\operatorname {E} \left(\left(\sum _{i=1}^{n}d_{i}\right)^{2}\right)=\operatorname {E} \left(\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2}+2\sum _{1\leq i<j\leq n}d_{i}d_{j}\right)=\sum _{i=1}^{n}\operatorname {E} (d_{i}^{2})+\sum _{1\leq i<j\leq n}2\operatorname {E} (d_{i}d_{j})=\sum _{i=1}^{n}1+\sum _{1\leq i<j\leq n}2\cdot 0=n

Die Standardabweichung $\sigma (X_{n})$ ist die Quadratwurzel aus der Varianz, also gilt $\sigma (X_{n})={\sqrt {\operatorname {Var} (X_{n})}}={\sqrt {n}}$ .

Das ist ein wichtiges Ergebnis, mit dem eine charakteristische Eigenschaft von Diffusionsprozessen und brownscher Molekularbewegung wiedergefunden wird: Das mittlere Quadrat des Abstands eines diffundierenden Teilchens von seinem Ausgangsort wächst proportional zur Zeit.

Eine erste Verallgemeinerung besteht darin, dass bei jedem Schritt eine zufällige Schrittlänge zugelassen ist. Die nebenstehende Abbildung zeigt beispielsweise fünf Simulationen für $n=300$ Schritte mit einer Schrittlänge, die im Intervall $[-0{,}5;0{,}5]$ gleichverteilt ist. In diesem Fall beträgt die Standardabweichung für jeden Schritt $\sigma ={\tfrac {1}{\sqrt {12}}}\approx 0{,}28868$ . Die Standardabweichung einer derartigen Zufallsbewegung mit $n$ Schritten beträgt dann ${\tfrac {\sqrt {n}}{\sqrt {12}}}$ Einheiten. Sie ist als rote Linie für positive und negative Entfernungen eingezeichnet. Um diese Strecke wird sich der Fußgänger im Mittel fortbewegen. Die relative Abweichung ${\tfrac {\sqrt {n}}{n}}$ konvergiert gegen 0, die absolute Abweichung ${\sqrt {n}}$ wächst hingegen unbeschränkt.

Ist $P(x,t)$ die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen an der Stelle $x$ zum Zeitpunkt $t$ zu finden und $\Gamma$ die Anzahl der Schritte pro Zeitintervall. Die zeitliche Entwicklung von $P(x,t)$ kann wie folgt beschrieben werden: Es ergibt sich ein Zuwachs der Wahrscheinlichkeit durch Schritte, die mit der Wahrscheinlichkeit $w(x_{1}\rightarrow \ x_{2})$ für ein Schritt von $x_{1}$ nach $x_{2}$ vorkommen, von einem der benachbarten Orte $x_{1}+1$ und $x_{1}-1$ und einen Abfluss durch Schritte vom Ort $x_{1}$ zu einem der Nachbarn $x_{1}+1$ und $x_{1}-1$ . Daraus ergibt sich die sogenannte Mastergleichung

{\partial  \over \partial t}P(x,t)=P(x+1,t)W(x+1\rightarrow \ x)+P(x-1,t)W(x-1\rightarrow \ x)-P(x,t)W(x\rightarrow \ x+1)-P(x,t)W(x\rightarrow \ x-1)

wobei $W(x\rightarrow \ x+1)=W(x\rightarrow \ x-1)=W(x+1\rightarrow \ x)=W(x-1\rightarrow \ x)={\frac {\Gamma }{2}}$ .

Rückkehr zum Start

Die Wahrscheinlichkeit, dass sich der Fußgänger bei einem symmetrischen Random Walk mit $p=1-p={\tfrac {1}{2}}$ im $2n$ -ten Schritt wieder am Start befindet, ist gleich der Wahrscheinlichkeit, dass der Fußgänger $n$ Schritte nach vorne und $n$ Schritte zurück gemacht hat:

P(X_{2n}=n-n)=P(X_{2n}=0)={2n \choose n}\left({\tfrac {1}{2}}\right)^{n}\left(1-{\tfrac {1}{2}}\right)^{2n-n}={2n \choose n}\cdot {\frac {1}{2^{2n}}}={\frac {(2n)!}{(n!)^{2}\cdot 2^{2n}}}

Für große $n$ ergibt sich mit der Stirlingformel der Grenzwert

\lim _{n\to \infty }P(X_{2n}=0)=\lim _{n\to \infty }{\frac {(2n)!}{(n!)^{2}\cdot 2^{2n}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {{\sqrt {2\pi \cdot 2n}}\;\left({\frac {2n}{\mathcal {e}}}\right)^{2n}}{\left({\sqrt {2\pi n}}\;\left({\frac {n}{\mathcal {e}}}\right)^{n}\right)^{2}\cdot 2^{2n}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {2{\sqrt {\pi n}}\;\left({\frac {2n}{\mathcal {e}}}\right)^{2n}}{{2\pi n}\;\left({\frac {n}{\mathcal {e}}}\right)^{2n}\cdot 2^{2n}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{\sqrt {\pi n}}}=0

Der Fußgänger kehrt immer irgendwann zum Startpunkt zurück, d. h. die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten für alle $n$ ist gleich 1:

\sum _{n=1}^{\infty }P(X_{2n}=0)=1

Allgemeiner Fall

Satz von Pólya

Dimension $D$	Rückkehrwahrscheinlichkeit zum Start
1	1
2	1
3	0.340537
4	0.193206
5	0.135178
6	0.104715
7	0.0858449
8	0.0729126

Nach dem Satz von Pólya ist die Rückkehrwahrscheinlichkeit zum Start für einen vorgegebenen Startpunkt $x$ für 1 Dimension und für 2 Dimensionen gleich 1 und für 3 oder mehr Dimensionen kleiner als 1. Ist die Wahrscheinlichkeit für eine Rückkehr zum Startpunkt eines Gitters mit D Dimensionen definiert als $P(x):=P(\{{\text{ Es gibt ein }}n\geq 1\;{\text{ so dass }}X_{n}=x\}\;|\;X_{0}=x)$ , dann gilt:

Für $D=1$ und $D=2$ ist $X^{D}$ rekurrent, es ist also $P(x)=1$ für alle $x$ . Die symmetrische einfache Irrfahrt kehrt also fast sicher zu ihrem Startpunkt zurück und tut dies damit auch unendlich oft.
Für $D\geq 3$ ist $X^{D}$ transient, es ist also $P(x)<1$ für alle $x$ . Somit kehrt die symmetrische einfache Irrfahrt fast sicher nur endlich oft zu ihrem Startpunkt zurück.

Ungleichungen

Eindimensionaler Random Walk

Es sei $\sum _{k=a}^{b-1}P(0,k)$ die Wahrscheinlichkeit, dass sich das Teilchen im Zeitintervall $[a,b-1]$ am Ausgangspunkt befindet. Dann existieren zwei Konstanten $c_{1}$ und $c_{2}$ , sodass für genügend große $a$ und $b$ mit $0<a<b$ folgende Ungleichung gilt:

c_{1}{\sqrt {\frac {b-a}{b}}}\leq \sum _{k=a}^{b-1}P(0,k)\leq c_{2}{\sqrt {\frac {b-a}{b}}}

Zweidimensionaler Random Walk

Es sei $\sum _{k=a}^{b-1}P(0,k)$ die Wahrscheinlichkeit, dass sich das Teilchen im Zeitintervall $[a,b-1]$ am Ausgangspunkt befindet. Dann existiert eine Konstante $c_{1}$ , sodass für genügend große $a$ und $b$ mit $0<a<b$ folgende Ungleichung gilt:

c_{1}{\frac {\log \left({\frac {b}{a}}\right)}{\log(b)}}\leq \sum _{k=a}^{b-1}P(0,k)

Außerdem existiert eine Konstante $c_{2}$ , sodass für genügend große $a$ und $b$ mit $0<2a<b$ folgende Ungleichung gilt:

\sum _{k=a}^{b-1}P(0,k)\leq c_{2}{\frac {\log \left({\frac {b}{a}}\right)}{\log(b)}}

Literatur

Rick Durrett: Probability: Theory and Examples. 4. Auflage. Cambridge University Press, Cambridge u. a. 2010, ISBN 978-0-521-76539-8, Kapitel 4. Random Walks.
Norbert Henze: Irrfahrten und verwandte Zufälle. Springer Spektrum, Wiesbaden 2013, ISBN 978-3-658-01850-4.
Barry D. Hughes: Random Walks and Random Environments: Volume 1: Random Walks. Oxford University Press, USA 1995. ISBN 0-19-853788-3.
Frank Spitzer: Principles of Random Walk. 2. Auflage. Springer-Verlag, New York u. a. 1976, ISBN 0-387-95154-7.

Siehe auch

Einzelnachweise

↑ Ralf Sube: Physik: N-Z, S. 1345.
↑ Karl Pearson: The Problem of the Random Walk. In: Nature. Band 72, Nr. 1865, Juli 1905, S. 294, doi:10.1038/072294b0.
↑ Georg Pólya: Wahrscheinlichkeitstheoretisches über die „Irrfahrt“. In: Mitteilungen der Physikalischen Gesellschaft Zürich. Band 19, 1919, S. 75–86.
↑ Bert Fristedt, Lawrence Gray: A modern approach to probability theory. Birkhäuser, Boston/Basel/Berlin 1997, ISBN 978-0-8176-3807-8, S. 165 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
↑ Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 2012, ISBN 978-3-642-36017-6, S. 445.
↑ Franz Embacher, Universität Wien: Random Walk in einer Dimension
↑ Prof. Heermann, Universität Heidelberg: Ein Beispiel: Der Random Walk
↑ The University of Chicago: Simple Random Walk
↑ Elizabeth G. Ombrellaro, The University of Chicago: Random walks and the probabality of returning home
1 2 Eric W. Weisstein: Pólya's Random Walk Constants. In: MathWorld (englisch).
1 2 Itai Benjamini, Robin Pemantle, Yuval Peres, University of Pennsylvania: RANDOM WALKS IN VARYING DIMENSIONS

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[1] Ralf Sube: Physik: N-Z, S. 1345.

[2] Karl Pearson: The Problem of the Random Walk. In: Nature. Band 72, Nr. 1865, Juli 1905, S. 294, doi:10.1038/072294b0.

[3] Georg Pólya: Wahrscheinlichkeitstheoretisches über die „Irrfahrt“. In: Mitteilungen der Physikalischen Gesellschaft Zürich. Band 19, 1919, S. 75–86.

[4] Bert Fristedt, Lawrence Gray: A modern approach to probability theory. Birkhäuser, Boston/Basel/Berlin 1997, ISBN 978-0-8176-3807-8, S. 165 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).

[5] Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 2012, ISBN 978-3-642-36017-6, S. 445.

[6] Franz Embacher, Universität Wien: Random Walk in einer Dimension

[7] Prof. Heermann, Universität Heidelberg: Ein Beispiel: Der Random Walk

[8] The University of Chicago: Simple Random Walk

[9] Elizabeth G. Ombrellaro, The University of Chicago: Random walks and the probabality of returning home

[:1-10] 1 2 Eric W. Weisstein: Pólya's Random Walk Constants. In: MathWorld (englisch).

[:0-11] 1 2 Itai Benjamini, Robin Pemantle, Yuval Peres, University of Pennsylvania: RANDOM WALKS IN VARYING DIMENSIONS