Herleitung

In der inkompressiblen Navier-Stokes Gleichung wird die Geschwindigkeit ${\displaystyle \mathbf {u} }$ mit ${\displaystyle V}$ dimensionslos gemacht, die räumlichen Ableitungen ${\displaystyle \nabla }$ mit ${\displaystyle L}$ und folglich die zeitliche Ableitung mit ${\displaystyle V/L}$ und der Druck mit ${\displaystyle V^{2}/\rho _{0}}$. Damit wird aus der dimensionsbehafteten Gleichung

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} =\nu \,\nabla ^{2}\mathbf {u} -\nabla {\frac {p}{\rho _{0}}}}$

die dimensionslose Form:

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} ={\frac {1}{\mathit {Re}}}\,\nabla ^{2}\mathbf {u} -\nabla p.}$

Alternativ – im allgemeinen Fall – können dimensionslose Kennzahlen über das Buckinghamsche Π-Theorem gebildet werden.

Rohrströmung

Überschreitet die Reynolds-Zahl einen problemabhängigen kritischen Wert ${\displaystyle {\mathit {Re}}_{\mathrm {krit} }}$, wird eine bis dahin laminare Strömung anfällig gegen kleine Störungen. Entsprechend ist für ${\displaystyle {\mathit {Re}}>{\mathit {Re}}_{\mathrm {krit} }}$ mit einem Umschlag von laminarer in turbulente Strömung zu rechnen. Für die Rohrströmung wurde dies erstmals von Osborne Reynolds beschrieben.

Bei Rohrströmungen werden als charakteristische Größen üblicherweise der Innendurchmesser ${\displaystyle L=d}$, der Betrag der über den Querschnitt gemittelten Geschwindigkeit ${\displaystyle v=v_{\mathrm {m} }}$ und die Viskosität des Fluids ${\displaystyle \nu }$ verwendet.

${\displaystyle {\mathit {Re}}={\frac {v_{\mathrm {m} }\cdot d}{\nu }}}$.

In der Literatur wird häufig ein Wert von ${\displaystyle {\mathit {Re}}_{\mathrm {krit} }=2300}$ zitiert. Er geht auf Messungen von Julius Rotta zurück.

Die kritische Reynolds-Zahl ${\displaystyle {\mathit {Re}}_{\mathrm {krit} }}$ charakterisiert nicht exakt den Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung. Vielmehr zerfallen Turbulenzen unterhalb der kritischen Reynolds-Zahl, und zwar umso schneller, je kleiner die Reynolds-Zahl ist. Es ist in Experimenten gelungen, laminare Rohrströmungen mit Reynolds-Zahlen um 50.000 zu erzeugen, ohne dass die Strömung turbulent geworden ist. Der Rekord liegt derzeit bei Re = 100.000. Wenn Störungen den Umschlag in eine turbulente Strömung erzeugen, bleibt die Strömung bei überkritischer Reynolds-Zahl turbulent.

Die kritische Reynolds-Zahl ${\displaystyle {\mathit {Re}}_{\mathrm {krit} }}$, die den Übergang zwischen turbulenter und laminarer Strömung markiert, ist nicht nur abhängig von der Geometrie des Anwendungsfalles, sondern auch von der Wahl der charakteristischen Länge. Wird zum Beispiel der Rohrradius statt des Durchmessers der Strömung als charakteristisches Längenmaß einer Rohrströmung gewählt, halbiert sich der Zahlenwert ${\displaystyle {\mathit {Re}}_{\mathrm {krit} }}$, der dasselbe aussagt. Da die kritische Reynolds-Zahl ein Wert ist, der keine scharfe Grenze, sondern einen breiten Übergangsbereich der Strömungsverhältnisse markiert, ist der üblicherweise verwendete Zahlenwert nicht ${\displaystyle {\frac {2300}{2}}=1150}$, sondern wird auf ${\displaystyle {\mathit {Re}}_{\mathrm {krit} }\approx 1200}$ gerundet.

Flugobjekte

Die Reynolds-Zahl ist eine wichtige Größe innerhalb der Ähnlichkeitstheorie. Will man zum Beispiel ein verkleinertes Modell eines Flugzeuges in einem Windkanal untersuchen, so muss der Wert der Reynolds-Zahl von Original und Modell gleich sein, um ein ähnliches Strömungsfeld zu erhalten. Entsprechend muss bei einem um einen Faktor ${\displaystyle f}$ verkleinerten Modell das Verhältnis ${\displaystyle {\tfrac {v}{\nu }}}$ um den Faktor ${\displaystyle f}$ erhöht werden.

Das Diagramm rechts vergleicht Geschwindigkeiten und zugehörige Reynolds-Zahlen der Strömungen um einige Flugobjekte. Beispielsweise sind die Reynolds-Zahlen von Luftschiffen höher als die von Flugzeugen. Sie bewegen sich zwar mit geringerer Geschwindigkeit, sind aber deutlich größer.

Damit in einem skalierten Modellversuch die gleichen Ergebnisse erhalten werden, müssen ggf. auch weitere dimensionslose Kennzahlen, die in den entdimensionalisierten Strömungsgleichungen auftreten, gleich bleiben. Wenn beispielsweise bei hohen Fluggeschwindigkeiten Änderungen in der Dichte relevant werden, ändert sich die auch Machzahl. Wenn im Versuch diese Änderung nicht berücksichtigt wird, kann es zu abweichenden Ergebnissen kommen.

Bei der Auslegung von Windkraftanlagen spielt die Reynolds-Zahl ebenfalls eine Rolle. Durch sie lässt sich der Strömungsabriss an deren Flügeln bestimmen und somit die Anlage für gewünschte Windgeschwindigkeiten auslegen.

Gerinneströmung

Bei Gerinneströmungen werden als charakteristische Größen der hydraulische Durchmesser ${\displaystyle d_{\mathrm {h} }}$, der Betrag der mittleren Fließgeschwindigkeit über den durchflossenen Querschnitt ${\displaystyle v_{\mathrm {m} }}$ und die Viskosität des Fluids ${\displaystyle \nu }$ verwendet.

${\displaystyle Re={\frac {v_{\mathrm {m} }\,d_{\mathrm {h} }}{\nu }}}$

Rührerströmung

Bei einem Rührer wird die Reynolds-Zahl durch den Durchmesser ${\displaystyle D}$ des Rührers, dessen Drehzahl ${\displaystyle N}$ in 1/s, sowie die Dichte ${\displaystyle \rho }$ und die dynamische Viskosität ${\displaystyle \eta }$ der Flüssigkeit bestimmt:

${\displaystyle {\mathit {Re}}={\frac {\rho \,N\,D^{2}}{\eta }}}$

Bei ${\displaystyle {\mathit {Re}}>10\,000}$ gilt die Strömung am Rührer als turbulent.