Elektrischer und magnetischer Kreis

Die nebenstehende Abbildung wird anschaulich in folgendem Schaltplan abgebildet:

Dieser Schaltplan beinhaltet zwei elektrische Kreise und einen Magnetischen. Die Spulenwicklungen N₁ und N₂ fungieren als Kopplung zwischen elektrischem und magnetischem Kreis.

Die Streuflüsse werden im Ersatzschaltplan als magnetische Widerstände R_m,σ1 und R_m,σ2 dargestellt. Ein Strom I₁ erzeugt im magnetischen Kreis an N₁ eine Durchflutung ${\displaystyle \Theta _{1}=N_{1}\cdot I_{1}}$, sodass ${\textstyle \Phi _{\sigma 1}={\frac {\Theta _{1}}{R_{m,\sigma 1}}}}$. Der magnetische Widerstand R_m,h, den der Hauptfluss Φ_h erfährt, ist hier aus Symmetriegründen geteilt. In sehr guter Näherung ist R_m,h der magnetische Widerstand des Eisenjochs. Die Widerstände R₁ und R₂ repräsentieren den Widerstand der Spulenwicklungen.

Symmetrisches Ersatzschaltbild

Im nächsten Schritt wird der magnetische Kreis in die elektrischen Kreise transformiert:

Die Spulenwicklungen N₁ und N₂ verschmelzen zu einem idealen Transformator mit Übersetzungsverhältnis ${\textstyle {\ddot {u}}={\frac {N_{1}}{N_{2}}}}$. Bei der Transformation durch die gyratorischen Spulenkopplungen werden parallel geschaltete, magnetische Widerstände zu in Reihe geschalteten Induktivitäten: ${\textstyle L_{\sigma 1}={\frac {N_{1}^{2}}{R_{m,\sigma 1}}}}$, ${\textstyle L_{\sigma 2}={\frac {N_{2}^{2}}{R_{m,\sigma 2}}}}$, ${\textstyle L_{h,1}={\frac {N_{1}^{2}}{R_{m,h}/2}}}$ und ${\textstyle L_{h,2}={\frac {N_{2}^{2}}{R_{m,h}/2}}}$.

Anmerkung: Oftmals ist auch von primärer- und sekundärer Hauptinduktivität die Rede, welche aber die Transformation beider Spulenhälften auf eine Seite meinen und daher nie im gleichen Ersatzschaltbild eingezeichnet werden dürfen! Dies führt oft zu Verwechslungen.

T-Ersatzschaltbild

Jedes lineare Zweitor kann als T-Ersatzschaltbild dargestellt werden. Über die oben gezeigten Schritte bekommen die einzelnen Komponenten dieses Schaltbilds hier einen direkten, realen Bezug. Der ideale Transformator wird dafür aus dem Schaltbild herausgezogen:

Neu hinzugekommen ist hier der Widerstand R_Fe, der die bislang nicht beachteten Hystereseverluste im Kern symbolisiert.

Bei der Transformation durch die transformatorische Kopplung [ü] bleiben Parallel-/Reihenschaltungen erhalten und es gilt: ${\textstyle L'_{\sigma 2}={\ddot {u}}^{2}\cdot L_{\sigma 2}}$ und ${\textstyle R'_{2}={\ddot {u}}^{2}\cdot R_{2}}$ Die beiden Induktivitäten L_h,1 und L_h,2 verschmelzen zur (primären) Hauptinduktivität ${\textstyle L_{h}={\frac {L_{h,1}\cdot L'_{h,2}}{L_{h,1}+L'_{h,2}}}={\frac {N_{1}^{2}}{R_{m,h}}}}$.

Das oben gezeigte T-Ersatzschaltbild erweitert also den idealen Transformator [ü] um die realen Effekte. Das Übertragungsverhalten des realen Transformators ergibt sich durch die Verkettung des idealen- und des realen Transformators in Kettenparametern (Stromrichtung I₂ von Zweitor weg!) somit zu:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}U_{1}\\I_{1}\end{pmatrix}}=T_{\text{real}}\cdot {\begin{pmatrix}U_{2}\\I_{2}\end{pmatrix}}}$ wobei ${\displaystyle T_{\text{real}}={\begin{pmatrix}1+{\frac {Z_{1}}{Z_{h}}}&Z_{1}+Z_{2}+{\frac {Z_{1}\cdot Z_{2}}{Z_{h}}}\\{\frac {1}{Z_{h}}}&1+{\frac {Z_{2}}{Z_{h}}}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}{\ddot {u}}&0\\0&{\frac {1}{\ddot {u}}}\end{pmatrix}}}$ mit ${\displaystyle {\begin{aligned}&Z_{1}=R_{1}+i\omega L_{\sigma 1}\\&Z_{2}=R'_{2}+i\omega L'_{\sigma 2}\\&Z_{h}={\frac {R_{\text{Fe}}\cdot i\omega L_{h}}{R_{\text{Fe}}+i\omega L_{h}}}\end{aligned}}}$

Für Schaltungsanalysen wird in aller Regel das T-Ersatzschaltbild verwendet.

Selbstinduktivität

Die Selbstinduktivitäten eines Transformators berechnen sich wie folgt:

${\displaystyle L_{1}={\frac {N_{1}\cdot \Phi _{11}}{I_{1}}}={\frac {N_{1}\cdot (\Lambda _{h}+\Lambda _{\sigma 1})\cdot \Theta _{1}}{I_{1}}}=N_{1}^{2}\cdot (\Lambda _{h}+\Lambda _{\sigma 1})=L_{h}+L_{\sigma 1}}$

${\displaystyle L_{2}={\frac {N_{2}\cdot \Phi _{22}}{I_{2}}}={\frac {L_{h}}{{\ddot {u}}^{2}}}+L_{\sigma 2}}$

wobei ${\displaystyle \Lambda ={\frac {1}{R_{m}}}}$ der magnetische Leitwert und Φ₁₁ der Anteil des magnetischen Flusses ist, der vom Strom I₁ hervorgerufen wird (Superposition) und durch die Spulenwicklungen N₁ verläuft (Φ₂₂ äquivalent).

Die Selbstinduktivitäten können an den Transformatorklemmen gemessen werden, wenn die andere Seite des Transformators offen (im Leerlauf) ist. Anmerkung: Im magnetischen Kreis aus dem ersten Schaltplan wirkt N₂ wie ein Kurzschluss, wenn die Klemmen im elektrischen Kreis offen sind (gyratorische Kopplung).

Gegeninduktivität

Die Gegeninduktivitäten sind definiert als:

${\displaystyle M_{12}={\frac {N_{1}\cdot \Phi _{12}}{I_{2}}}={\frac {N_{1}\cdot k_{2}\cdot \Phi _{22}}{I_{2}}}={\frac {N_{1}}{I_{2}}}\cdot {\frac {\Lambda _{h}}{\Lambda _{h}+\Lambda _{\sigma 2}}}\cdot (\Lambda _{h}+\Lambda _{\sigma 2})\cdot \Theta _{2}=N_{1}\cdot N_{2}\cdot \Lambda _{h}}$

${\displaystyle M_{21}={\frac {N_{2}\cdot \Phi _{21}}{I_{1}}}={\frac {N_{2}\cdot k_{1}\cdot \Phi _{11}}{I_{1}}}=N_{1}\cdot N_{2}\cdot \Lambda _{h}}$

Wie oben gezeigt, sind die beiden Gegeninduktivitäten ${\displaystyle M_{12}=M_{21}:=M}$ im Falle linearer Materialien (wie bisher angenommen) gleich. Somit wird die Größe ${\displaystyle M}$ als Gegeninduktivität bezeichnet.

Kopplungsfaktor

Die sogenannten Flusskoppelfaktoren sind wie folgt definiert:

${\displaystyle k_{1}={\frac {\Phi _{21}}{\Phi _{11}}}={\frac {\Lambda _{h}}{\Lambda _{h}+\Lambda _{\sigma 1}}}}$

${\displaystyle k_{2}={\frac {\Phi _{12}}{\Phi _{22}}}={\frac {\Lambda _{h}}{\Lambda _{h}+\Lambda _{\sigma 2}}}}$

${\displaystyle \Phi _{12}}$ ist der Anteil des magnetischem Flusses durch ${\displaystyle N_{1}}$, der von Strom ${\displaystyle I_{2}}$ hervorgerufen wird. Demnach gilt: ${\displaystyle \Phi _{h}=\Phi _{12}+\Phi _{21}}$.

Weiter lässt sich schreiben:

${\displaystyle k_{1}\cdot L_{1}=N_{1}^{2}\cdot \Lambda _{h}}$

→ ${\displaystyle \Lambda _{h}={\frac {k_{1}\cdot L_{1}}{N_{1}^{2}}}={\frac {k_{2}\cdot L_{2}}{N_{2}^{2}}}}$

→ ${\displaystyle \Lambda _{h}^{2}=\Lambda _{h}\cdot \Lambda _{h}=\left({\frac {k_{1}\cdot L_{1}}{N_{1}^{2}}}\right)\cdot \left({\frac {k_{2}\cdot L_{2}}{N_{2}^{2}}}\right)}$

→ ${\displaystyle M=N_{1}\cdot N_{2}\cdot \Lambda _{h}=N_{1}\cdot N_{2}\cdot {\sqrt {\left({\frac {k_{1}\cdot L_{1}}{N_{1}^{2}}}\right)\cdot \left({\frac {k_{2}\cdot L_{2}}{N_{2}^{2}}}\right)}}={\sqrt {k_{1}\cdot k_{2}\cdot L_{1}\cdot L_{2}}}:=k\cdot {\sqrt {L_{1}\cdot L_{2}}}}$

mit gemeinsamem Kopplungsfaktor ${\displaystyle k={\sqrt {k_{1}\cdot k_{2}}}={\frac {M}{\sqrt {L_{1}\cdot L_{2}}}}}$ wobei ${\displaystyle 0<k<1}$ ist. Für vollkommene Kopplung ist ${\displaystyle k=1}$.

Streufaktor

Äquivalent zum Kopplungsfaktor lassen sich Streufaktoren wie folgt definieren:

${\displaystyle \sigma _{1}=1-k_{1}={\frac {\Lambda _{\sigma 1}}{\Lambda _{h}+\Lambda _{\sigma 1}}}={\frac {L_{\sigma 1}}{L_{1}}}}$

${\displaystyle \sigma _{2}=1-k_{2}={\frac {\Lambda _{\sigma 2}}{\Lambda _{h}+\Lambda _{\sigma 2}}}={\frac {L_{\sigma 2}}{L_{2}}}}$

Der Faktor ${\displaystyle \sigma =1-k^{2}=\sigma _{1}+\sigma _{2}-\sigma _{1}\cdot \sigma _{2}}$ heißt Blondel-Koeffizient oder einfach Streufaktor.

Im Falle eines symmetrischen, kapazitätsfreien Transformators ( ${\textstyle \Lambda _{\sigma 1}=\Lambda _{\sigma 2}\leftrightarrow L_{\sigma 1}=L'_{\sigma 2}\leftrightarrow \sigma _{1}=\sigma _{2}}$ ) lässt sich der Blondel-Koeffizient z. B. mit einem LCR-Meter durch Induktivitätsmessung leicht bestimmen:

${\displaystyle \sigma =2\sigma _{1}-\sigma _{1}^{2}={\frac {L_{\mathrm {kurz} }}{L_{\mathrm {offen} }}}}$

wobei L_offen = L₁ die messbare Induktivität am Eingang bei offenem Ausgangs ist und L_kurz die messbare Kurzschlussinduktivität am Eingang bei Kurzschluss des Ausgangs ist (Eingang und Ausgang sind hier vertauschbar).