Reguläre Untergruppen einer Lie-Gruppe sind eine Klasse diskreter Untergruppen der Lie-Gruppe, die eine Reihe von Eigenschaften mit diskreten Untergruppen in Rang-1-Lie-Gruppen gemeinsam haben. (Insbesondere sind alle diskreten Untergruppen von Rang-1-Lie-Gruppen regulär.)

Sie sind von Bedeutung in Darstellungstheorie und Differentialgeometrie, unter anderem wird der Begriff verwendet bei der Untersuchung von Anosov-Darstellungen und Morse-Darstellungen. Insbesondere ist die Regularitätsbedingung Teil der Definition von RCA-Gruppen, welche in der Theorie von Gruppenwirkungen auf symmetrischen Räumen höheren Rangs den aus der Theorie Kleinscher Gruppen bekannten Begriff konvex-kokompakter Gruppen verallgemeinern.

Definition

Es sei ${\displaystyle X=G/K}$ ein symmetrischer Raum von nichtkompaktem Typ. Es sei ${\displaystyle \Delta \subset F}$ eine fest gewählte Weyl-Kammer in einem maximalen Flach ${\displaystyle F\subset X}$. Zu jedem ${\displaystyle x\in X}$ gibt es einen eindeutigen Punkt

${\displaystyle {\overline {x}}\in \Delta }$

im ${\displaystyle G}$-Orbit von ${\displaystyle x}$.

Eine Folge ${\displaystyle x_{n}\in X}$ heißt regulär, wenn

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }d({\overline {x_{n}}},\partial \Delta )=\infty }$

gilt.

Eine diskrete Untergruppe ${\displaystyle \Gamma \subset G}$ heißt regulär, wenn für jede Folge ${\displaystyle (\gamma _{n}\in \Gamma )_{n\in \mathbb {N} }}$ und ein ${\displaystyle x\in X}$ die Folge

${\displaystyle x_{n}:=\gamma _{n}x\in X}$

regulär ist. (Diese Definition ist unabhängig von der Wahl des Basispunktes ${\displaystyle x\in X}$.)

Sie heißt gleichmäßig regulär, wenn es ein ${\displaystyle \epsilon >0}$ mit

${\displaystyle d({\overline {\gamma x}},\partial \Delta )>\epsilon \parallel \gamma x\parallel }$

für alle ${\displaystyle \gamma \in \Gamma }$ gibt. (Auch diese Definition ist unabhängig von der Wahl des Basispunktes ${\displaystyle x\in X}$.)

Lie-Theoretische Formulierung

Algebraisch lässt sich Regularität unter Benutzung der Cartan-Zerlegung ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {k}}\oplus {\mathfrak {p}}}$ und der Exponentialabbildung ${\displaystyle exp_{x}\colon {\mathfrak {p}}\to G/K=X}$ wie folgt definieren.

Wähle eine Basis einfacher Wurzeln ${\displaystyle \left\{\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{r}\right\}\subset {\mathfrak {g}}}$. Eine Folge ${\displaystyle x_{n}\in X}$ ist genau dann regulär, wenn

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\alpha _{i}(x_{n})=\infty }$ für ${\displaystyle i=1,\ldots ,r}$

gilt.

Beispiele

Wenn ${\displaystyle X=G/K}$ ein symmetrischer Raum vom Rang ${\displaystyle rank(G/K)=1}$ ist, dann ist jede diskrete Untergruppe ${\displaystyle \Gamma \subset G}$ regulär; das folgt tautologisch aus ${\displaystyle \partial \Delta =\emptyset }$.

Einfache Beispiele regulärer Untergruppen für symmetrische Räume ${\displaystyle X^{\prime }=G^{\prime }/K^{\prime }}$ vom Rang ${\displaystyle \geq 2}$ erhält man mittels Lie-Gruppen-Homomorphismen ${\displaystyle \phi \colon G\to G^{\prime }}$ einer Lie-Gruppe ${\displaystyle G}$ mit ${\displaystyle rank(G/K)=1}$. Für jede diskrete Untergruppe ${\displaystyle \Gamma \subset G}$ ist ihr Bild ${\displaystyle \Gamma ^{\prime }:=\phi (\Gamma )}$ eine reguläre Untergruppe von ${\displaystyle G^{\prime }}$.

Es gibt zahlreiche weitere Beispiele regulärer Untergruppen. Potrie-Sambarino haben bewiesen, dass die Bilder aller Anosov-Darstellungen (insbesondere aller hyperkonvexen Darstellungen) reguläre Untergruppen von ${\displaystyle PGL(d,\mathbb {R} )}$ sind.

Literatur

M. Kapovich, B. Leeb, J. Porti: Morse actions of discrete groups on symmetric spaces pdf

Einzelnachweise

1. ↑ R. Potrie, A. Sambarino: Eigenvalues and entropy of a Hitchin representation pdf