Bewegungsgleichung

Der homogenen Differentialgleichung für einen linear gedämpften harmonischen Oszillator wird eine externe Kraft ${\displaystyle F(t)}$ hinzugefügt. Die Gleichung wird dadurch inhomogen.

${\displaystyle m{\ddot {x}}+c{\dot {x}}+kx=F(t)}$

Darin bezeichnet ${\displaystyle x(t)}$ die momentane Auslenkung aus der Ruhelage, ${\displaystyle m}$ die Masse des Körpers, ${\displaystyle k}$ die Federkonstante für die rücktreibende Kraft, und ${\displaystyle c}$ die Dämpfungskonstante (s. Abb. 1).

Ohne äußere Kraft und Dämpfung würde das System mit seiner Eigenkreisfrequenz ${\displaystyle \omega _{0}={\sqrt {\tfrac {k}{m}}}}$ frei schwingen. Mit Dämpfung ${\displaystyle c>0}$ führt der komplexe Exponentialansatz ${\displaystyle {\tilde {x}}(t)=Ae^{\lambda t}}$ schnell zu ${\displaystyle \lambda =-\gamma \pm i{\sqrt {\omega _{0}^{2}-\gamma ^{2}}}}$, wobei ${\displaystyle \gamma =c/(2m)}$ ist. Man erhält als Lösung eine freie gedämpfte Schwingung mit der Kreisfrequenz ${\displaystyle {\sqrt {\omega _{0}^{2}-\gamma ^{2}}}}$, deren Amplitude proportional zu ${\displaystyle e^{-\gamma t}}$ abnimmt.

Amplitudenresonanz

Die Abhängigkeit der Amplitude ${\displaystyle A}$ von der Erregerfrequenz ${\displaystyle \omega }$ wird auch als Amplitudengang des Systems bezeichnet. Die Resonanzkurve ist der Graph des Amplitudengangs. Abbildung 2 zeigt das dimensionslose Amplitudenverhältnis ${\displaystyle {\tfrac {A(\omega )}{A_{\text{E}}}}}$ für typische Wertebereiche der Parameter für Erregerfrequenz (ebenso dimensionslos dargestellt als ${\displaystyle \eta =\omega /\omega _{0}}$) und Dämpfung ${\displaystyle D}$.

Bei genügend schwacher Dämpfung, ${\displaystyle D<{\sqrt {1/2}}}$, zeigt sich ein Maximum, die Amplitudenresonanz. Sie liegt bei der Resonanzfrequenz ${\displaystyle \omega _{\text{res}}=\eta _{\text{res}}\,\omega _{0}={\sqrt {1-2\,D^{2}}}\omega _{0}={\sqrt {\omega _{0}^{2}-2\gamma ^{2}}}}$ und zeigt für die maximale Resonanzamplitude den Wert

${\displaystyle A_{\text{res}}={\frac {A_{\text{E}}}{2D{\sqrt {1-D^{2}}}}}}$.

Das Verhältnis ${\displaystyle A_{\text{res}}/A_{\text{E}}}$ ist die Resonanzüberhöhung. Die Resonanzfrequenz liegt unter der Eigenkreisfrequenz ${\displaystyle \omega _{0}}$ des ungedämpften Schwingungssystems und auch unter der Kreisfrequenz ${\displaystyle \omega _{d}={\sqrt {\omega _{0}^{2}-\gamma ^{2}}}}$, mit der die freie gedämpfte Schwingung des Systems abläuft.

Bei geringer (aber nicht verschwindender) Dämpfung ${\displaystyle 0<D\ll {\tfrac {1}{2}}}$ ist die Resonanz ein scharfes Maximum, das fast genau bei der Eigenkreisfrequenz liegt. Die Resonanzamplitude ${\displaystyle A_{\text{res}}\approx {\tfrac {1}{2D}}A_{\text{E}}}$ ist dann umgekehrt proportional zu ${\displaystyle D}$. Die Amplitude kann also im eingeschwungenen Zustand ein Vielfaches der statischen Auslenkung ${\displaystyle A_{\text{E}}}$ erreichen. Während des Einschwingvorgangs aus der Ruhelage heraus kann sie sogar zeitweilig bis auf fast ${\displaystyle 2A_{\text{res}}}$ ansteigen.

Bei starker Dämpfung ${\displaystyle D\geq {\sqrt {1/2}}}$ hingegen gibt es keine Resonanz mit erhöhter Amplitude. Die maximale Amplitude der eingeschwungenen Schwingung liegt mit dem Wert ${\displaystyle A_{\text{E}}}$ fest beim statischen Fall ${\displaystyle \omega =0}$.

Phasenresonanz und Energiefluss

Bei ${\displaystyle \omega =\omega _{0}}$ eilt die eingeschwungene Schwingung ${\displaystyle x(t)}$ der erregenden Kraft um genau 1/4 Periode hinterher (Phasengang −90°, auch als Phasenresonanz bezeichnet). Daher sind Geschwindigkeit ${\displaystyle {\dot {x}}(t)}$ und Kraft ${\displaystyle F(t)}$ genau in Phase, sodass die Kraft stets in Richtung der momentanen Geschwindigkeit wirkt. Die Energie fließt dann ständig in das System hinein, während sie bei anderen Frequenzen zweimal pro Periode die Richtung wechselt, weil die Phasendifferenz bei ${\displaystyle \omega <\omega _{0}}$ kleiner als 90° und bei höherer Frequenz größer als 90° (und bis 180°) ist. Die kinetische Energie des eingeschwungenen Zustands erreicht in der Phasenresonanz ihr Maximum. Sie ist dann so groß wie der gesamte Energieeintrag während der letzten ${\displaystyle Q/(2\pi )}$ Schwingungen.

Energieresonanz

Die größte potentielle Energie einer Schwingung mit Amplitude ${\displaystyle A}$ ist ${\displaystyle E_{\text{pot}}={\tfrac {1}{2}}\!kA^{2}}$. Die entsprechende Resonanzkurve ist durch das Quadrat des Amplitudengangs gegeben und hat ihr Maximum bei der Frequenz der Amplitudenresonanz ${\displaystyle \omega ={\sqrt {\omega _{0}^{2}-2\gamma ^{2}}}}$.

Die größte kinetische Energie in einer Schwingung mit Amplitude ${\displaystyle A}$ ist ${\displaystyle E_{\text{kin}}={\tfrac {1}{2}}m\omega ^{2}A^{2}}$. Diese Funktion hat ihr Maximum genau bei ${\displaystyle \omega =\omega _{0}}$.

Bei der für die Optik wichtigen Anwendung auf die Emission und Absorption elektromagnetischer Wellen durch schwingende Dipole ist die Strahlungsleistung ${\displaystyle P}$ proportional zu ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\omega ^{4}A^{2}}$. Das Maximum dieser Funktion liegt etwas oberhalb ${\displaystyle \omega _{0}}$.

Bei scharfen Resonanzen, also geringer Dämpfung, werden die Unterschiede dieser drei Resonanzfrequenzen meist vernachlässigt und für den Bereich der Resonanz eine um die Eigenfrequenz ${\displaystyle \omega _{0}}$ symmetrische Näherungsformel benutzt, die als Lorentzkurve bezeichnet wird:

${\displaystyle A^{2}\approx {\frac {4D^{2}}{(\eta ^{2}-1)^{2}+4D^{2}}}A_{\text{res}}^{2}\equiv {\frac {4\gamma ^{2}\omega _{0}^{2}}{(\omega ^{2}-\omega _{0}^{2})^{2}+4\gamma ^{2}\omega _{0}^{2}}}A_{\text{res}}^{2}}$.

Diese Formel zeigt neben der Resonanz auch den für die erzwungene Schwingung charakteristischen langen Ausläufer und ist daher auch für hohe Frequenzen ${\displaystyle \eta \gg 1}$ bzw. ${\displaystyle \omega \gg \omega _{0}}$ brauchbar.

Die im Schwingungssystem gespeicherte Energie stammt von der Beschleunigungsarbeit durch die anregende Kraft. Die Schwingungsenergie wird erhöht, wenn die Kraft in Richtung der Geschwindigkeit wirkt. Andernfalls entzieht die Kraft dem System Energie, wirkt also bremsend. Im eingeschwungenen Zustand gleicht der Energieeintrag gerade den Energieverlust aufgrund der Dämpfung aus.

Halbwertsbreite und Gütefaktor

Als Halbwertsbreite ${\displaystyle \Delta f_{\text{FWHM}}}$ (engl. full width at half maximum) der Resonanz wird der Bereich von Frequenzen ${\displaystyle f=\omega /2\pi }$ um die Resonanzfrequenz ${\displaystyle f_{\text{res}}=\omega _{0}/2\pi }$ bezeichnet, in dem für die Amplitude gilt: ${\displaystyle A^{2}\geq {\tfrac {1}{2}}A_{\text{res}}^{2}}$. Im interessierenden Bereich geringer Dämpfung liegen nach der Näherungsformel für die Lorentzkurve diese Grenzen bei ${\displaystyle \eta =1\pm D}$. Umgerechnet auf die Frequenzachse ergibt sich die Halbwertsbreite

${\displaystyle \Delta f_{\text{FWHM}}=2D{\frac {\omega _{0}}{2\pi }}\equiv {\frac {\gamma }{\pi }}}$.

Die Schärfe der Resonanz kann mit der Dämpfung oder mit dem Gütefaktor

${\displaystyle {\frac {\Delta f_{\text{FWHM}}}{f_{\text{res}}}}=2D={\frac {1}{Q}}}$

angegeben werden.

Nach der oben angegebenen Bedeutung des Gütefaktors kann man einen Zeitraum von ${\displaystyle Q}$ Perioden der Eigenfrequenz als charakteristisch für das Abklingen einer gedämpften Eigenschwingung ansehen, also auch charakteristisch für die Dauer des Einschwingvorgangs oder im übertragenen Sinn für das „Gedächtnis des Oszillators“. Analysiert man eine Schwingung mit Frequenz ${\displaystyle f_{0}}$ mithilfe einer Reihe von Resonatoren zu verschiedenen Resonanzfrequenzen ${\displaystyle f}$, dann erfordert die Bestimmung der Resonanzamplitude also die Zeit ${\displaystyle \Delta t=Q/f_{0}}$ und liefert die Resonanzfrequenz mit der Genauigkeit ${\displaystyle \Delta f_{\text{FWHM}}}$. Unterscheiden sich zwei Oszillatoren in der Frequenz um ${\displaystyle \Delta f_{\text{FWHM}}}$, dann macht in diesem Zeitraum ${\displaystyle \Delta t}$ der schnellere gerade eine Schwingung mehr als der langsamere. Es folgt ${\displaystyle \Delta t\cdot \Delta f_{\text{FWHM}}=1}$: je genauer die Frequenz einer Schwingung bestimmt werden soll, desto länger muss man sie auf einen Resonator einwirken lassen. Das ist eine frühe Form der Frequenz-Zeit-Unschärferelation.

Resonanz bei Dämpfung Null

Verschwindende Dämpfung ist zwar ein nur theoretischer Grenzfall; reale Systeme mit sehr geringer Dämpfung kommen ihm aber nahe, wenn man sie für einen nicht zu langen Zeitraum ${\displaystyle t<1/\gamma }$ betrachtet, der jedoch eine große Anzahl ${\displaystyle \omega _{0}/(2\pi \gamma )}$ von Schwingungen umfassen kann.

Im dämpfungsfreien Fall gibt es keinen Einschwingvorgang, der unabhängig von den Anfangsbedingungen zu einer bestimmten stationären Schwingung führen würde. Eine eventuell mitangeregte Eigenschwingung klingt hier nicht ab, sondern bleibt unvermindert präsent. Bei resonanter Anregung, ${\displaystyle \omega =\omega _{0}}$, gibt es keine stationäre Lösung der Bewegungsgleichung, vielmehr variiert die Amplitude linear mit der Zeit. Ausgehend vom Zustand ruhend in der Ruhelage steigt die Amplitude z. B. proportional zur verstrichenen Zeit an:

${\displaystyle A(t)={\frac {F_{0}}{2\,m\,\omega _{0}}}\cdot t}$

Theoretisch kommt es hier also in jedem Fall zur Resonanzkatastrophe. Praktisch ist diese vermeidbar durch eine anderweitig bewirkte Amplitudenbegrenzung, also eine Änderung des Kraftgesetzes (siehe Anharmonischer Oszillator).

Außerhalb der exakten Resonanzfrequenz hingegen existiert zu geeigneten Anfangsbedingungen eine stationäre Schwingung. Sie ergibt sich aus den obigen Gleichungen für ${\displaystyle D=0{\text{ bzw. }}\gamma =0}$. Das Amplitudenverhältnis ${\displaystyle A(\omega )/A_{\text{E}}}$ ist bei jeder Anregungsfrequenz größer als im Fall mit Dämpfung. Bei Resonanz ${\displaystyle \omega =\omega _{0}}$ divergiert die Formel für die Amplitude und es gibt keinen Zustand der stationären Schwingung. Die Phasenverzögerung ist ${\displaystyle \varphi =0^{\circ }}$ für Frequenzen unterhalb der Resonanz, ${\displaystyle \varphi =180^{\circ }}$ oberhalb, wie aus der obigen Formel durch den Grenzübergang ${\displaystyle \gamma \rightarrow 0}$ hervorgeht. (Für weitere Formeln und Erläuterungen siehe Erzwungene Schwingung#Grenzfall verschwindender Dämpfung.)

Mechanik

• Bei einem Zungenfrequenzmesser wird derjenige von vielen Biegeschwingern, der mit der Erregerfrequenz in Resonanz ist, zu besonders großer Schwingungsamplitude angeregt.
• Kommt eine Brücke in Resonanz mit der Schrittfrequenz von marschierenden Fußgängermassen, kann sich die Konstruktion gefährlich aufschaukeln, Beispiel Millennium Bridge (London)
• Fahrzeugkarosserien neigen bei bestimmten Motordrehzahlen zu starken Vibrationen (Dröhnen)
• Bahnresonanz kann bei Planeten dafür sorgen, dass ein Himmelskörper auf Kollisionskurs mit einem anderen gerät. An Lagrange-Punkten kann diese Resonanz stabilisierend wirken, beispielsweise bleibt der Sonnenbeobachtungssatellit SOHO seit 1995 immer in der Nähe des inneren Lagrange-Punktes L₁.
• Zur Erzeugung von Ultraschall für medizinische oder technische Anwendungen werden elektromechanische, meist piezoelektrische, Wandler zu resonanten Schwingungen angeregt.
• Ein Ultraschallbohrer bringt das zu bohrende Gestein in Resonanz, wodurch das Gestein zerbröselt.

Hydromechanik

• Tideresonanz
• Wellenresonanz

Akustik

• die Tonerzeugung bei Musikinstrumenten (Streich- und Blasinstrumenten), siehe z. B. Holzblasinstrument, Resonanzboden
• das Mitschwingen einer nicht gespielten Saite, wenn ein gleichgestimmtes Instrument ertönt (z. B. Resonanzsaite)
• In geschlossenen Räumen kann es bei bestimmten Frequenzen zu störender Raumresonanz kommen.
• Ein Resonanzauspuff ermöglicht bei Zweitakt-Motoren bei einer ganz bestimmten Drehzahl eine gewisse Leistungssteigerung.

Akustische Resonanz spielt beispielsweise bei fast allen Musikinstrumenten eine Rolle, oft durch Bildung einer stehenden Welle.

Misst man am Ende eines beiderseits offenen, zylindrischen Rohres mit geeigneten Mikrophonen Schalldruck und Schallschnelle, kann man bei Kenntnis des Rohrquerschnitts die akustische Flussimpedanz berechnen. Diese zeigt Mehrfachresonanzen, wie man sie auch bei der Ausbreitung elektromagnetischer Wellen entlang Drähten als Sonderfall λ/2 kennt. Das Messergebnis im Bild zeigt mehrere scharfe Minima der Flussimpedanz bei Vielfachen der Frequenz 500 Hz. Eine Überprüfung mit der Rohrlänge von 325 mm und der Schallgeschwindigkeit in Luft ergibt den Sollwert 528 Hz.

Weil der Messwert des tiefsten Minimums mit etwa 40000 Pa·s/m³ von der Schallkennimpedanz der umgebenden Luft (413,5 Pa·s/m³) erheblich abweicht, liegt eine Fehlanpassung vor und die schwingende Luftsäule im Rohr ist nur leise hörbar. Dieser geringe Energieverlust drückt sich in einem hohen Gütefaktor des Resonators aus.

Elektrotechnik

Ohne Resonanz gäbe es keine Funktechnik mit den bekannten Teilgebieten Fernsehen, Mobiltelefon, Radar, Funkfernsteuerung und Radioastronomie, weil es ohne die Möglichkeit, Sendefrequenzen voneinander zu trennen, weltweit nur wenige vereinzelte Sender mit ausreichenden Abständen geben könnte. Im überwiegenden Teil aller Oszillatorschaltungen und elektrischen Filter werden Schwingkreise verwendet, denen die Thomsonsche Schwingungsgleichung zur Resonanzfrequenz

${\displaystyle \omega _{0}={\frac {1}{\sqrt {LC}}}}$

zu Grunde liegt. Der Wirkungsgrad von Antennen und Tesla-Transformatoren wird durch Resonanz drastisch gesteigert.

Die Sicherheit im Eisenbahnnetz wird durch die induktive Zugbeeinflussung verbessert. Dabei tritt ein am Fahrzeug angebrachter Schwingkreis in resonante Wechselwirkung mit einem am Gleis angebrachten Schwingkreis, dessen Frequenz je nach Stellung des nächsten Bahnsignals verschieden ist; bei Signalstellung „Halt“ wird eine Zwangsbremsung ausgelöst.

Die großen Teilchenbeschleuniger der Elementarteilchenphysik beruhen auf Resonanzeffekten, ebenso die Kernspinresonanzspektroskopie in der Chemie und die Magnetresonanztomographie in der Medizin.

RFIDs, umgangssprachlich auch Funketiketten genannt, ermöglicht die automatische Identifizierung und Lokalisierung von Gegenständen und Lebewesen. Dabei wird die Betriebsenergie durch Resonanz auf das RFID übertragen und dieses sendet seine Information auf gleichem Weg zurück.

Ein Absorptionsfrequenzmesser wirkt bei Resonanz wie ein selektives Voltmeter.

Ein Magnetron erzeugt nur dann Schwingungen, wenn die Umlaufgeschwindigkeit mit der Eigenfrequenz der Hohlraumresonatoren übereinstimmt.

Atom- und Molekülphysik

In der Atom- und Molekülphysik spricht man von Resonanz, wenn ein Photon der Energie ${\displaystyle E_{\gamma }=h\cdot \nu }$ (h: Plancksches Wirkungsquantum, ν: Frequenz des Lichtes) in der Hülle des Atoms absorbiert wird. Dies ist nur möglich, wenn ${\displaystyle E_{\gamma }}$ gerade gleich der Energiedifferenz ${\displaystyle \Delta E_{\mathrm {GA} }=E_{\mathrm {A} }-E_{\mathrm {G} }}$ zwischen zwei Zuständen G und A der Elektronenhülle ist. Ein Elektron wird dann vom Zustand G in den Zustand A angehoben. Die Anregungswahrscheinlichkeit ${\displaystyle p_{\mathrm {GA} }(E_{\gamma })}$ eines solchen Überganges wird durch eine Lorentzkurve beschrieben:

${\displaystyle p_{\mathrm {GA} }(E_{\gamma })\propto {\frac {1}{\left|(1+(E_{\gamma }/\Delta E_{\mathrm {GA} })^{2})\right|}}}$

Der Vorgang heißt Resonanzabsorption. Er erklärt beispielsweise die Fraunhoferlinien im Spektrum des Sonnenlichts.

Meist fällt nun das Elektron aus dem angeregten Zustand zurück in den Grundzustand, wobei wieder ein Photon der Energie ${\displaystyle E_{\gamma }=E_{\mathrm {GA} }}$ ausgesandt wird. Dies geschieht entweder spontan (spontane Emission, Fluoreszenz, Phosphoreszenz) oder durch Stoß eines zweiten eingestrahlten Photons der gleichen Energie (stimulierte Emission, ausgenutzt beim Laser).

Aus dem Grundzustand kann das Atom nun wieder angeregt werden. Es kann also eine Besetzungszahloszillation zwischen den Zuständen G und A ausführen, die als Rabi-Oszillation bezeichnet wird. Die Oszillation tritt, wie erwähnt, nur dann auf, wenn die eingestrahlten Photonen in Resonanz mit den Energieniveaus eines Atoms sind. Solche Resonanzen können z. B. zur Identifizierung von Gasen in der Spektroskopie verwendet werden, da sie das Vermessen der atom- oder molekültypischen Energieniveaus erlauben.

Im menschlichen Auge gibt es drei verschiedene Arten von Zapfen (Farbrezeptoren). Die darin enthaltenen Opsin-Moleküle unterscheiden sich durch ihre spektrale Empfindlichkeit und setzen bei Resonanz mit Photonen geeigneter Wellenlänge intrazelluläre Signalkaskaden in Gang (s. Phototransduktion). Es werden elektrische Signale gebildet, die über die Ganglienzellen an das Gehirn weitergegeben werden. Dort entsteht aus den übermittelten Signalen ein Farbeindruck (s. Farbwahrnehmung).

Weitere Resonanzphänomene treten bei der Kopplung des magnetischen Moments eines Atoms, Atomkerns, Moleküls oder Elektrons (Spin) an ein Magnetfeld auf, zum Beispiel Elektronenspinresonanz und Kernspinresonanz. Dabei regt ein mit passender Frequenz oszillierendes Magnetfeld das Umklappen des Spins zwischen zwei diskreten Zuständen verschiedener Energie an. Auch dieser Effekt kann entsprechend den Rabi-Oszillationen beschrieben werden und wird z. B. in der Medizintechnik und zu Materialuntersuchungen eingesetzt (siehe z. B. Magnetresonanztomographie).

Kernphysik

Resonanz bedeutet in der Kernphysik, dass bei einem Stoßvorgang mit bestimmter kinetischer Energie die beiden Partner sich zu einem kurzzeitig gebundenen System, dem Compoundkern, in einem seiner möglichen Energiezustände vereinigen. Der Wirkungsquerschnitt zeigt bei dieser Stoßenergie ein Maximum von der Form einer Breit-Wigner-Kurve, die der für Resonanzen typischen Lorentzkurve gleicht.

Ein solches System kann nicht stabil sein, sondern zerfällt nach kurzer Zeit wieder, z. B. in die beiden Teilchen, aus denen es gebildet wurde. Doch lässt sich aus der Zerfallsbreite der Kurve entnehmen, dass es wesentlich länger existiert hat, als einer Reaktion der Teilchen im Vorbeiflug entsprechen würde.

Alle größeren Kerne zeigen die Riesenresonanz, einen angeregten Zustand, bei dem die Protonen gemeinsam gegenüber den Neutronen schwingen.

Die Resonanzabsorption von Gammaquanten ermöglicht durch Ausnutzung des Dopplereffekts den Vergleich von Anregungsenergien mit einer Genauigkeit von mehr als 10¹². Atomkerne sind Resonatoren mit z. T. extrem hohen Gütefaktoren von 10¹² und aufwärts (z. B. Gütefaktor von ⁹⁹Tc: 6,8·10²⁴).

Teilchenphysik

Ähnlich wie bei der Compoundkernbildung kann aus zwei Stoßpartnern ein instabiles, aber vergleichsweise langlebiges gebundenes System oder sogar ein einziges, andersartiges Teilchen entstehen, wenn die Stoßenergie im Schwerpunktsystem gerade dazu ausreicht. Dieser Fall wird auch als Resonanzproduktion bezeichnet. Die Anregungsfunktion des Stoßprozesses, also sein Wirkungsquerschnitt aufgetragen als Funktion der Energie, zeigt dann bei dieser Energie ein Maximum mit der für eine Resonanz typischen Kurvenform. So gebildete Systeme werden häufig als Resonanz oder Resonanzteilchen bezeichnet. Aus der Halbwertsbreite der Kurve (siehe Zerfallsbreite) kann die – für eine direkte Messung zu kurze – Lebensdauer des entstandenen Teilchens bestimmt werden.