Sonderfall: Sinusförmige Signale

In vielen Fällen der Wechselstromtechnik und der klassischen Nachrichtentechnik reicht es praktisch aus, die Spannung und den Strom sowohl als rein sinusförmig (harmonisch) als auch Einschalt- und Einschwingvorgang als abgeschlossen zu betrachten. Dann treten auch auf einer Leitung nur (stationäre) sinusförmige Signale auf. In diesem besonderen Fall kann die komplexe Wechselstromrechnung angewendet werden und weil die Zeitabhängigkeit entfällt, reduzieren sich die Leitungsgleichungen auf ein System gewöhnlicher Differentialgleichungen für die auf der Leitung vorhandenen vom Ort x abhängigen komplexen Amplituden U(x) und I(x):

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} U(x)}{\mathrm {d} x}}=-(R'+\mathrm {j} \omega L')\cdot I(x)}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} I(x)}{\mathrm {d} x}}=-(G'+\mathrm {j} \omega C')\cdot U(x)}$

Sie werden in der Literatur oft als „komplexe Leitungsgleichungen“ bezeichnet. Bei linearer Beschaltung der beiden Leitungsenden kann in diesem Fall eine geschlossene Lösung der Leitungsgleichungen angegeben werden.

Sonderfall: Verlustlose Leitungen

Bei kurzen und/oder bei Hochfrequenzleitungen kann man praktisch die Verluste durch Widerstands- und Ableitungsbelag vernachlässigen. Dadurch vereinfachen sich die Leitungsgleichungen wie folgt:

${\displaystyle {\frac {\partial u(x,t)}{\partial x}}=-L'\cdot {\frac {\partial i(x,t)}{\partial t}}}$

${\displaystyle {\frac {\partial i(x,t)}{\partial x}}=-C'\cdot {\frac {\partial u(x,t)}{\partial t}}}$

Wenn man dieses DGL-System zu einer einzigen partiellen Differentialgleichung umformt, dann erhält man die klassische eindimensionale Wellengleichung.

Weil dann auf der Leitung weder Dämpfung noch Verzerrung auftreten (die Heaviside-Bedingung ist „automatisch“ erfüllt), lassen sich die Gleichungen in vielen Fällen einfach lösen und die erhaltenen Lösungen lassen sich besonders anschaulich deuten. Die Ergebnisse dieser Idealisierung stellen trotzdem das wesentliche Verhalten einer Leitung richtig dar und sind außerdem für den „Einstieg in die Leitungstheorie“ von didaktischer Bedeutung.

Sonderfall: Sinusförmige Signale auf der verlustlosen Leitung

Durch die Kombination dieser beiden Sonderfälle erhält man die folgende besonders einfache Form der „komplexen Leitungsgleichungen“:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} U(x)}{\mathrm {d} x}}=-j\omega L'\cdot I(x)}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} I(x)}{\mathrm {d} x}}=-j\omega C'\cdot U(x)}$

Da ihre hauptsächliche Bedeutung in der Hochfrequenztechnik liegt, sind sie der Ausgangspunkt für die Theorie der Hochfrequenzleitungen, dem „didaktischen Paradebeispiel“ der Leitungstheorie.

Sonderfall: Verlustlose Leitungen

Mit den Definitionen für den (reellen) Wellenwiderstand der verlustlosen Leitung

${\displaystyle Z_{0}={\sqrt {\frac {L'}{C'}}}}$

und die (konstante) Phasengeschwindigkeit der verlustlosen Leitung

${\displaystyle v_{0}={\frac {1}{\sqrt {L'\cdot C'}}}}$

erhält man die allgemeine (sogenannte d'Alembertsche) Lösung

${\displaystyle u(x,t)=u_{h}\left(t-{\frac {x}{v_{0}}}\right)+u_{r}\left(t+{\frac {x}{v_{0}}}\right)}$

${\displaystyle i(x,t)={\frac {1}{Z_{0}}}\cdot u_{h}\left(t-{\frac {x}{v_{0}}}\right)-{\frac {1}{Z_{0}}}\cdot u_{r}\left(t+{\frac {x}{v_{0}}}\right)}$

Dabei sind u_h(t) und u_r(t) zwei Zeitfunktionen, die noch durch die Randbedingungen festgelegt werden müssen. Der Nachweis der Richtigkeit kann durch Einsetzen in die „verlustlosen“ Leitungsgleichungen erbracht werden.

Diese allgemeine Lösung kann wie folgt interpretiert werden:

• Der linke Term der Lösung stellt eine vom Anfang zum Ende der Leitung hinlaufende (beliebig geformte) Welle dar.
• Der rechte Term stellt eine vom Ende zum Anfang der Leitung zurücklaufende Welle dar.
• Beide Wellen haben die Geschwindigkeit v₀.
• Sie werden auf der Leitung weder gedämpft noch in ihrer Form verzerrt.
• Der Wellenwiderstand Z₀ stellt das Verhältnis von Spannung und Strom der jeweiligen Welle dar.

Sonderfall: Sinusförmige Signale

Mit den Definitionen für den komplexen Wellenwiderstand (Wellenimpedanz)

${\displaystyle Z_{Ltg}={\sqrt {\frac {R'+j\omega L'}{G'+j\omega C'}}}}$

und die komplexe Ausbreitungskonstante (Fortpflanzungskonstante)

${\displaystyle \gamma ={\sqrt {(R'+j\omega L')\cdot (G'+j\omega C')}}=\alpha +j\beta }$

erhält man entsprechend den Lösungsverfahren (z. B. Exponentialansatz) für lineare Differentialgleichungen die allgemeine Lösung

${\displaystyle U(x)=U_{h0}\cdot e^{-\gamma x}+U_{r0}\cdot e^{+\gamma x}}$

${\displaystyle I(x)={\frac {U_{h0}}{Z_{Ltg}}}\cdot e^{-\gamma x}-{\frac {U_{r0}}{Z_{Ltg}}}\cdot e^{+\gamma x}}$

Dabei sind U_h0 und U_r0 die beiden noch unbestimmten komplexen Integrationskonstanten, welche durch die Randbedingungen festgelegt werden müssen. Der Nachweis der Richtigkeit kann durch Einsetzen in die „komplexen Leitungsgleichungen“ erbracht werden.

Diese allgemeine Lösung kann wie folgt interpretiert werden:

• Der linke Term der Lösung stellt eine vom Anfang zum Ende der Leitung hinlaufende sinusförmige Welle (Wanderwelle) dar.
• Der rechte Term stellt eine vom Ende zum Anfang der Leitung zurücklaufende sinusförmige Welle dar.
• Diese Wellen werden aufgrund der (im Allgemeinen frequenzabhängigen) Dämpfungskonstante α gedämpft und entsprechend der (immer) frequenzabhängigen Phasenkonstante β in der Phase gedreht. Wegen der im Allgemeinen nichtlinearen Frequenzabhängigkeit der Phasenkonstante muss man zwischen Phasengeschwindigkeit und Gruppengeschwindigkeit unterscheiden.
• Der komplexe Wellenwiderstand Z_Ltg stellt jeweils das Verhältnis der komplexen Amplituden von Spannung und Strom der jeweiligen Welle dar. Demgegenüber ist durch die Interferenz von hin- und rücklaufender Welle das Verhältnis von Gesamtspannung U(x) zu Gesamtstrom I(x) nicht konstant, es entstehen stehende Wellen, die durch ihr Stehwellenverhältnis charakterisiert werden.

Sonderfall: Verzerrungsfreie Leitung

Schon Oliver Heaviside hat gezeigt, dass auf einer Leitung, deren Leitungsbeläge die nach ihm benannte Heaviside-Bedingung

${\displaystyle {\frac {R'}{L'}}={\frac {G'}{C'}}}$

erfüllen, die „über die Leitung laufenden Wellen“ in ihrer Form (trotz Dämpfung) nicht verzerrt werden. Das bedeutet gleichzeitig, dass die Phasengeschwindigkeit nicht von der Frequenz abhängt und deshalb keine Dispersion auftritt, also benachbarte Frequenzgruppen nicht „auseinander laufen“. Diese wünschenswerte Eigenschaft wird aber normalerweise von einer realen Leitung aufgrund des überwiegenden Kapazitätsbelages nicht erfüllt. Um trotzdem möglichst lange verzerrungsfreie Fernsprechleitungen zu realisieren, hat man praktisch den Induktivitätsbelag künstlich erhöht (Bespulte Leitung, Krarupkabel).

Sonderfall: Unendlich lange Leitung

In diesem Fall gibt es nur eine hinlaufende Welle (den linken Term der allgemeinen Lösung). Das Verhältnis von Spannung zu Strom auf jeder Stelle der Leitung entspricht dem Wellenwiderstand. Daraus folgt eine wichtige „Deutung“ des Wellenwiderstandes: Der Eingangswiderstand einer unendlich langen Leitung ist gleich ihrem Wellenwiderstand. Der Generatorzweipol wirkt also wie ein Spannungsteiler aus seinem Innenwiderstand und dem Wellenwiderstand.

Dieser theoretische Fall wird in der Praxis dann annähernd erreicht, wenn die Leitung sehr lang und dadurch ihre Dämpfung so groß ist, dass die am Ende reflektierte Welle praktisch am Leitungsanfang „nicht mehr messbar“ ist.

Sonderfall: Mit dem Wellenwiderstand ausgangsseitig abgeschlossene Leitung

Wird eine endlich lange Leitung mit einem passiven Zweipol abgeschlossen, dessen Impedanz gleich dem Wellenwiderstand der Leitung ist, dann wirkt das genauso, als würde sich die Leitung ins Unendliche fortsetzen. Deshalb verhält sich eine mit dem Wellenwiderstand abgeschlossene (angepasste) Leitung genau wie eine unendlich lange Leitung, insbesondere gibt es nur eine hinlaufende Welle und ihr Eingangswiderstand ist ebenfalls gleich dem Wellenwiderstand.

Sonderfall: Mit dem Wellenwiderstand eingangsseitig abgeschlossene Leitung

In diesem Fall bewegt sich ein (gegenüber der Verzögerungszeit der Leitung) kurzer Impuls als „Wellenzug“ vom Eingang zum Ausgang und wird dort teilweise oder total reflektiert. Dabei wird er im Allgemeinen verformt und läuft zum Eingang zurück, wo keine weitere Reflexion auftritt und seine Energie im Generatorinnenwiderstand „verbraucht“ wird. Trotz eingangsseitiger Anpassung können im Fall stationärer sinusförmiger Signale durch die Interferenz von vor- und zurücklaufender Welle stehende Wellen auftreten.

Betriebsverhalten einer beidseitig abgeschlossenen Leitung

Besitzen an einer Leitung der Länge L der Generatorzweipol eine innere (komplexe) Impedanz Z_G und eine Leerlaufspannung U_G sowie der Lastzweipol eine innere (komplexe) Impedanz Z₂, dann erhält man aus der allgemeinen Lösung nach der Ermittlung der beiden Konstanten U_h0 und U_r0 die endgültige Lösung als Überlagerung einer hinlaufenden und einer rücklaufenden Welle

${\displaystyle U(x)=U_{h}(x)+U_{r}(x)=U_{G}\cdot {\frac {Z_{0}}{Z_{G}+Z_{0}}}\cdot {\frac {1}{1-r_{e}r_{a}\cdot e^{-2j\beta L}}}\cdot \left(e^{-j\beta x}+r_{a}\cdot e^{-j\beta (2L-x)}\right)}$

${\displaystyle I(x)={\frac {U_{h}(x)}{Z_{0}}}-{\frac {U_{r}(x)}{Z_{0}}}=U_{G}\cdot {\frac {1}{Z_{G}+Z_{0}}}\cdot {\frac {1}{1-r_{e}r_{a}\cdot e^{-2j\beta L}}}\cdot \left(e^{-j\beta x}-r_{a}\cdot e^{-j\beta (2L-x)}\right)}$

Während der Herleitung dieser Lösung werden der komplexe Reflexionsfaktor am Ausgang definiert als

${\displaystyle r_{a}={\frac {U_{r}(L)}{U_{h}(L)}}={\frac {Z_{2}-Z_{0}}{Z_{2}+Z_{0}}}}$

und der komplexe Reflexionsfaktor am Eingang als

${\displaystyle r_{e}={\frac {Z_{G}-Z_{0}}{Z_{G}+Z_{0}}}}$

Damit können die Signale auf der Leitung an jeder Stelle x für jede konkrete lineare Beschaltung des Aus- und Eingangs ermittelt werden. Es zeigt sich, dass das Verhältnis von hin- und rücklaufender Welle allein von der Beschaltung am Ausgang abhängt und dass es vorteilhaft ist, den verallgemeinerten (komplexen) Reflexionsfaktor für eine beliebige Stelle x der Leitung wie folgt zu definieren:

${\displaystyle r(x)={\frac {U_{r}(x)}{U_{h}(x)}}=r_{a}\cdot e^{-2j\beta \cdot (L-x)}=r_{a}\cdot e^{-4\pi j\cdot {\frac {L-x}{\lambda }}}}$

In der Praxis interessiert oft der leicht messbare Verlauf der Amplitude bzw. des Effektivwertes der meist vorhandenen stehenden Wellen. Er ergibt sich relativ zur hinlaufenden Welle am Ausgang zu

${\displaystyle {\frac {|U(x)|}{|U_{h}(L)|}}=\left|1+r_{a}\cdot e^{-4\pi j\cdot {\frac {L-x}{\lambda }}}\right|}$

Wenn man Maximal- und Minimalwert der stehenden Welle in Beziehung setzt, erhält man daraus als wichtiges Maß für die Fehlanpassung das Stehwellenverhältnis (SWR):

${\displaystyle s={\frac {|U(x)|_{\mathrm {max} }}{|U(x)|_{\mathrm {min} }}}={\frac {1+|r_{a}|}{1-|r_{a}|}}}$

Die Hochfrequenzleitung als Vierpol

Gibt man als Randbedingungen zur Ermittlung einer partikulären Lösung alternativ Spannung U₂ und Strom I₂ am Ende der Leitung vor, dann erhält man für die Spannung U(x) und den Strom I(x) auf der Leitung:

${\displaystyle U(x)=U_{2}\cdot \cos {\beta (L-x)}+I_{2}\cdot jZ_{0}\cdot \sin {\beta (L-x)}}$

${\displaystyle I(x)=U_{2}\cdot {\frac {j}{Z_{0}}}\cdot \sin {\beta (L-x)}+I_{2}\cdot \cos {\beta (L-x)}}$

Für x = 0 errechnet man die Spannung U₁ und den Strom I₁ am Anfang der Leitung und erhält damit die Vierpol-Ketten-Gleichungen der Leitung:

${\displaystyle U_{1}=U_{2}\cdot \cos {\beta L}+I_{2}\cdot jZ_{0}\cdot \sin {\beta L}}$

${\displaystyle I_{1}=U_{2}\cdot {\frac {j}{Z_{0}}}\cdot \sin {\beta L}+I_{2}\cdot \cos {\beta L}}$

Sie sind die Basis zur Nutzung eines Leitungsstückes als hochfrequenztechnisches Bauelement.

Kurzgeschlossene Leitung

Für eine am Ende kurzgeschlossene Leitung (Z₂ = 0) vereinfacht sich die Gleichung zu

${\displaystyle Z_{1}=Z_{\mathrm {Ltg} }\mathrm {j} \tan \left(\beta L_{\mathrm {Ltg} }\right)}$

Das Verhältnis L_Ltg/λ = m bestimmt auf Grund der Vorzeichenregeln der Tangensfunktion, ob sich diese U-förmige Leitung wie eine Kapazität, eine Induktivität oder ein Schwingkreis verhält:

• Für 1/4 > m > 0 ist es eine Induktivität
• Für 1/4 = m ist es ein Parallelschwingkreis mit den Resonanzwellenlängen λ; λ/3; λ/5; …
• Für 1/2 > m > 1/4 ist es eine Kapazität.
• Für 1/2 = m ist es ein Reihenschwingkreis mit den Resonanzwellenlängen λ; λ/2; λ/4; …

Dieses Verhalten setzt sich für ungeradzahlige Vielfache periodisch fort.

Anmerkung: L_Ltg ist die tatsächliche geometrische Leitungslänge. Der Einfluss des Verkürzungsfaktors ist in der Wellenlänge ${\displaystyle \lambda }$ enthalten.

In einigen speziellen Funkgeräten für sehr hohe Frequenzen wird bei Stichleitungen bzw. Lecher-Leitungen ein verschiebbarer Kurzschlussbügel verwendet, um die gewünschte Eigenschaft einstellen zu können. Im Regelfall wird keine symmetrische Doppelleitung verwendet, die Energie abstrahlt und deshalb nur einen geringen Gütefaktor besitzt, sondern ein geschlossener, zylindersymmetrischer Topfkreis.

Offene Leitung

Für eine am Ende offene Leitung (Z₂ → ∞) vereinfacht sich die Gleichung zu

${\displaystyle Z_{1}={\frac {Z_{\mathrm {Ltg} }}{\mathrm {j} \tan \left(\beta L_{\mathrm {Ltg} }\right)}}=-\mathrm {j} Z_{\mathrm {Ltg} }\cot \left(\beta L_{\mathrm {Ltg} }\right)}$

Das Verhältnis L_Ltg/λ = m bestimmt, ob sich die leerlaufende Leitung wie eine Kapazität, eine Induktivität oder ein Schwingkreis verhält:

• Für 1/4 > m > 0 ist es eine Kapazität
• Für 1/4 = m ist es ein Reihenschwingkreis mit den Resonanzwellenlängen λ; λ/2; λ/4; …
• Für 1/2 > m > 1/4 ist es eine Induktivität.
• Für 1/2 = m ist es ein Parallelschwingkreis mit den Resonanzwellenlängen λ; λ/3; λ/5; …

Dieses Verhalten setzt sich für ungeradzahlige Vielfache periodisch fort.

λ/4-Leitung

Für die Leitungslänge λ/4 vereinfacht sich die Gleichung zu der Transformationsbeziehung mit der Impedanz am Anfang einer Leitung zu:

${\displaystyle {\frac {Z_{1}}{Z_{\mathrm {Ltg} }}}={\frac {Z_{\mathrm {Ltg} }}{Z_{2}}}\quad \Rightarrow \quad Z_{1}={\frac {Z_{\mathrm {Ltg} }^{2}}{Z_{2}}}}$

Wird die λ/4-lange Leitung am Ende kurzgeschlossen (Z₂ → 0), wirkt diese am Eingang wie ein Leerlauf, ist also hochohmig mit Z₁ → ∞. Umgekehrt wirkt eine am Ende offene λ/4-lange Leitung am Eingang wie ein Kurzschluss. Der Leitungswellenwiderstand Z_Ltg spielt in beiden Fällen keine Rolle.

Die λ/4-Transformation setzt sich periodisch für ungeradzahlige Vielfache fort.

λ/2-Leitung

Eine λ/2-lange Leitung transformiert nicht die Ausgangsimpedanz und es gilt für die Impedanz am Eingang unabhängig vom Leitungswellenwiderstand der λ/2-Leitung:

${\displaystyle Z_{\mathrm {1} }=Z_{\mathrm {2} }}$

Wird eine λ/2-lange Leitung am Ende kurzgeschlossen (Z₂ = 0), wirkt sie auch am Eingang wie ein Kurzschluss. Umgekehrt wirkt eine am Ende offene λ/2-lange Leitung auch am Eingang wie ein Leerlauf.

Leitungen in komplexen Strukturen

Die Lösung der Leitungsgleichungen in Vierpolparameterform (z. B. als S-, Z- oder Y-Parameter) lässt sich für fortgeschrittene Betrachtungen als Matrix entweder zahlenmäßig oder formelmäßig in numerische bzw. symbolisch rechnende CAD-Systeme einspiegeln, die ihrerseits lineare Baugruppen mit n-Tor-Matrizen vernetzen. Auf der Basis der Kirchhoffschen Gesetze ergeben sich dann sofort die von Standard-CAD-Systemen bekannten, über 30 Ausgabegrößen der Hochfrequenzelektronik wie Spannungs- und Stromverstärkung, Eingangs- und Ausgangsimpedanz, verallgemeinerte Streuparameter, verschiedene Gewinnbegriffe etc., und zwar entweder als Zahlen oder als vollautomatisch hergeleitete Formelausdrücke. In der Praxis wird man insbesondere bei komplizierteren Strukturen aus vielen Leitungen und anderen linearen Baugruppen (R, L, C, Trafos, linearisierte Transistoren etc.) alle Formeln automatisch herleiten.

Übertragung der Leitungstheorie auf akustische Wellen und Wärmewellen

Besonders angenehm ist, dass die gesamte elektrische Leitungstheorie mit der kompletten Begriffswelt der CAD-Systeme mit ganz einfachen Substitutionen auf viele andere Fragestellungen übertragbar ist, z. B. auf ebene akustische Wellen und ebene Wärmewellen, so dass derartige Probleme hervorragend mit den CAD-Systemen der Hochfrequenzelektronik analysierbar sind. Die Optimierungsalgorithmen und alle Bequemlichkeiten der Systeme stehen somit zur Verfügung. Da die Differentialgleichungen bis auf Substitutionen gleich sind, entsteht kein neues Problem.

Ebene akustische Wellen, die sich mit Druck p_x = U und Teilchengeschwindigkeit v_x= I in x-Richtung ausbreiten, werden in der Leitungstheorie wegen der analogen Differentialgleichungen bei verlustlosem Stoff beschrieben durch R’=0, G’=0, L’ = ρ (Stoffdichte) und C’ als Elastizitätsmodul bzw. Kompressibilität (bei Gasen abhängig vom Adiabatenkoeffizient). Die Berechnung z. B. der Schallgeschwindigkeit v=1/(L’C’)^1/2 fiele dabei als triviales Nebenergebnis ab. Eine immer noch sehr leicht zu lösende Aufgabe wäre die Frage nach der frequenzabhängigen Schalldämmung einer 3-fach verglasten Fensterscheibe. Man würde sie anhand der Kettenschaltung von 5 Leitungsvierpolen aus Glas-Luft-Glas-Luft-Glas berechnen, wobei als Generator- und Lastimpedanz jeweils der akustische Wellenwiderstand (L’/C’)^1/2 von Luft zu nehmen wäre. Die Berechnung des Problems unterscheidet sich in nichts von den Schaltungsberechnungen in der Hochfrequenzelektronik. Der schwammige Begriff „Dämmung“ präzisiert sich dann zu dem aus der Elektronik wohlbekannten Standardbegriff „Gewinn“ G =|s_21G|² mit s_21G als verallgemeinerter (generalized) Streuparameter, wie er in jedem CAD-System implementiert ist. Wäre bei f=1 kHz z. B. G = 1,5E-3, hätte man 28,2 dB Dämpfung (Dämmung).

Ebene Wärmewellen sind ebenfalls leicht mit dem Rüstzeug der Leitungstheorie analysierbar. Hier korrespondiert U mit der Temperatur und I mit dem Wärmestrom durch eine Fläche A. Es gilt G’=0 und L’=0. Die Größen R’ und C’ bestimmen sich aus Wärmeleitfähigkeit, spezifischer Wärme und Stoffdichte. Eine Wärmeleitung ist dabei eine stark dämpfende Leitung mit α=β. Da meist αL ≫1 ist, gibt es keine rücklaufende Welle, und die Eingangsimpedanz der Leitung ist gleich dem Wellenwiderstand (R’/jωC’)^1/2. Temperatur und Wärmestrom (Spannung und Strom) sind dann bei x=0 um 45° gegeneinander phasenverschoben.

Elektrisch kurze Leitungen

Eine für die Praxis wichtige Anwendung der Leitungstheorie sind die oben erwähnten Ersatzschaltungen für kurze Leitungen, für die sich die Lösungen der Leitungsgleichungen näherungsweise zum ohmschen Gesetz vereinfachen, falls Kapazitäts- und Ableitungsbelag der Leitungen vernachlässigbar sind.

Hierbei heißt eine Leitung der Länge ${\displaystyle l}$ elektrisch kurz, wenn sie kurz bezüglich der Wellenlänge der elektromagnetischen Welle auf der Leitung ist, d. h. falls ${\displaystyle l\ll \lambda ={\frac {2\pi }{\beta }}}$. Daher wird für elektrisch kurze Leitungen die Annahme ${\displaystyle \beta l\ll 1}$ getroffen.

Bezeichnen ${\displaystyle U_{1}}$ und ${\displaystyle U_{2}}$ die komplexen Spannungen am Anfang und am Ende einer elektrisch kurzen Leitung der Länge ${\displaystyle l}$, so gilt für die Leitung mit Impedanz ${\displaystyle Z=(R'+j\omega L')l}$ näherungsweise

${\displaystyle U_{1}\approx U_{2}+ZI_{2}.\quad \quad \;(*)}$

Anmerkung: Man beachte, dass die komplexen Stromstärken am Anfang und Ende der Leitung i. Allg. nicht übereinstimmen, d. h. ${\displaystyle I_{1}\neq I_{2}}$. Sind Kapazitäts- und Ableitungsbelag jedoch vernachlässigbar, dann ist ${\displaystyle I:=I_{1}\approx I_{2}}$ und mit ${\displaystyle U_{Z}:=U_{1}-U_{2}}$ näherungsweise das ohmsche Gesetz in der Form ${\displaystyle U_{Z}\approx ZI}$ erfüllt (siehe Ersatzschaltbilder).

Herleitung: Die Beziehung ${\displaystyle (*)}$ ergibt sich, indem zunächst die partikuläre Lösung der Leitungsgleichungen für die Spannung im Sonderfall sinusförmiger Signale bei vorgegebener Spannung ${\displaystyle U_{2}}$ und vorgegebenen Strom ${\displaystyle I_{2}}$ am Ende der Leitung

${\displaystyle U(x)={\frac {1}{2}}(U_{2}+Z_{Ltg}I_{2})\cdot \mathrm {e} ^{\gamma (l-x)}+{\frac {1}{2}}(U_{2}-Z_{Ltg}I_{2})\cdot \mathrm {e} ^{-\gamma (l-x)}}$

unter Verwendung von ${\displaystyle \cosh y={\frac {1}{2}}(\mathrm {e} ^{y}+\mathrm {e} ^{-y})}$ und ${\displaystyle \sinh y={\frac {1}{2}}(\mathrm {e} ^{y}-\mathrm {e} ^{-y})}$ umgeformt wird zu

${\displaystyle U(x)=U_{2}\cdot \cosh \gamma (l-x)+Z_{Ltg}I_{2}\cdot \sinh \gamma (l-x).\quad \quad \;(**)}$

Nun verwendet man noch Folgendes:

• ${\displaystyle U(x=0)=U_{1}}$.
• Da die Leitung elektrisch kurz ist, darf man die Dämpfung (${\displaystyle \alpha \approx 0}$) vernachlässigen, sodass ${\displaystyle \gamma \approx j\beta }$.
• Wegen ${\displaystyle \beta l\ll 1}$ gilt ${\displaystyle \cosh {j\beta l}\approx 1}$ und ${\displaystyle \sinh {j\beta l}\approx j\beta l}$.
• Es gilt ${\displaystyle Z_{Ltg}\gamma l=Z}$.

Setzt man dies in ${\displaystyle (**)}$ ein, so folgt wie gewünscht ${\displaystyle (*)}$.

Andere Anwendungen der Leitungstheorie

Generell ist bei allen Problemen, deren Differentialgleichungen formal auf die Struktur obiger Leitungsgleichungen zurückgeführt werden können, nach Feststellung der Analogiegrößen für U, I sowie R’, L’, G’ und C’ das Problem vollständig gelöst.

Zu dieser Klasse physikalischer Probleme gehören neben ebenen Wärmewellen und akustischen Wellen auch ebene elektromagnetische Wellen, die unter einem Winkel auf eine verlustfreie Schichtenfolge mit unterschiedlichen Werten für Permeabilität, Permittivität und Dicke L einfallen. Die Lösung der Maxwellschen Gleichungen eines Abschnitts lässt sich dann für die Komponenten des elektrischen und magnetischen Feldes noch in eine Vierpolform mit Wellenwiderstand und Ausbreitungsmaß umschreiben, die jeweils von den Materialwerten, Schichtdicken und Winkeln abhängen. Die verallgemeinerten Streuparameter s_11G und s_21G geben dann wie in der Hochfrequenzelektronik üblich mit |s_21G|² den transmittierten und mit |s_11G|² den reflektierten Leistungsbruchteil an.

Der idealste Verstärker ist stets ein Wanderwellenverstärker, bei dem eine Welle in eine Leitung reflexionsfrei hineinfliegt, mit negativem α verstärkt wird, dispersionsfrei wandert und am Ende reflexionsfrei in die Last transmittiert. In IC-Bauform realisiert man sie im Mikrowellenbereich näherungsweise als Leitung aus einigen Kettenleiterabschnitten jeweils aus Ls und Cs, wobei statt G’ ein FET genommen wird, der mit seiner Stromquelle für α < 0 und somit für eine Verstärkung der hinlaufenden Welle sorgt. Bei Lichtwellenleitern hat man das Analogon als erbiumdotierten Faserverstärker. Im Medizinbereich lassen sich Blutbahnen mit Leitungsgleichungen modellieren.

Grenzen der Leitungstheorie

Die Leitungstheorie ist spätestens dann nicht mehr anwendbar, wenn die Wellen beginnen, sich im Zick-Zack auszubreiten, aber auch dann, wenn komplexere Strukturen zu analysieren sind. Wenn z. B. zwei 75 Ohm-Leitungen miteinander verbunden werden, von denen die eine ein TV-Koaxialkabel ist und die andere eine mikroskopisch kleine Mikrostreifenleitung, ist der Steckerübergang nach der Leitungstheorie reflexionsfrei, in der Realität aber keinesfalls. Hier endet die Leitungstheorie und die Maxwellschen Gleichungen sind zu lösen (vergl. Hochfrequenztechnik).