Das Bergeron-Verfahren ist eine grafische Methode der Leitungstheorie, um auf verlustlosen Leitungen das Verhalten eines einzelnen Schaltvorgangs bei Reflexionen an nichtlinearen, speicherfreien (resistiven) Generator- und Lastzweipolen qualitativ und soweit es die Genauigkeit zulässt quantitativ zu ermitteln. Als Ergebnis des grafischen Verfahrens entsteht das sogenannte Bergeron-Diagramm.

In der Impulstechnik und der Digitalelektronik müssen kurze Impulse mit steilen Signalflanken über Verbindungsleitungen möglichst ohne Formverfälschung übertragen werden. In solchen Fällen kann das Bergeron-Verfahren zur Analyse der Reflexionen an nichtlinearen Schaltkreisaus- und -eingängen dienen. Ein typischer Anwendungsfall ist die Untersuchung des negativen Überschwingens bei TTL-Schaltkreisen.

Das Verfahren wurde erstmals in den 1930er Jahren von Louis Bergeron (1876–1948) für die Analyse der Ausbreitung von Oberflächenwellen auf Kanälen publiziert.

Grundprinzip

Für rechteckige Signale mit „genügend“ steilen Flanken und „genügend“ langen und flachen Dächern, so dass der Einschwingvorgang innerhalb einer Phase abklingt, kann die Analyse von verlustlosen Leitungen bei speicherfreien Abschlüssen auf einen einfachen Schaltvorgang zurückgeführt werden. Dieser kann sowohl bei linearen als auch bei nichtlinearen Abschlüssen auf die Analyse nichtlinearer Gleichstromnetzwerke zurückgeführt werden. Die schrittweise grafische Lösung ist durch Finden der Arbeitspunkte für die einzelnen Zeitabschnitte von je einer Leitungslaufzeit τ als Schnittpunkt zwischen zwei Kennlinien möglich.

Für nichtlineare Abschlüsse gilt nicht der Überlagerungssatz, welcher auch nicht für die grafische Lösung benötigt wird. Deshalb haben Begriffe aus der linearen Leitungstheorie, wie beispielsweise der Reflexionsfaktor, bei nichtlinearen Abschlüssen keine Bedeutung.

Leitungstheoretischer Ausgangspunkt

Die Leitungstheorie stellt mit den Definitionen für den (reellen) Wellenwiderstand

${\displaystyle Z={\sqrt {\frac {L'}{C'}}}}$

und die (konstante) Phasengeschwindigkeit

${\displaystyle v_{0}={\frac {1}{\sqrt {L'\cdot C'}}}}$

die allgemeine Lösung der Leitungsgleichungen der verlustlosen Leitung bereit:

${\displaystyle u(x,t)=u_{h}\left(t-{\frac {x}{v_{0}}}\right)+u_{r}\left(t+{\frac {x}{v_{0}}}\right)}$

${\displaystyle i(x,t)={\frac {1}{Z}}\cdot \left(u_{h}\left(t-{\frac {x}{v_{0}}}\right)-u_{r}\left(t+{\frac {x}{v_{0}}}\right)\right)}$

Dabei stellen ${\displaystyle u_{h}}$ und ${\displaystyle u_{r}}$ die vorlaufende bzw. zurücklaufende Welle dar. Beide bestehen in unserem Fall aus idealen Schaltflanken, welche die Leitung der Länge L ohne Dämpfung und Verzerrung in der Zeit

${\displaystyle \tau ={\frac {v_{0}}{L}}}$

durchlaufen.

Die dynamischen Kennlinien der Leitung

Gesamtspannung und Gesamtstrom bestimmen sowohl die vor- als auch die rücklaufende (Spannungs-)Welle eindeutig, denn aus der allgemeinen Lösung ergibt sich

${\displaystyle u_{h}\left(t-{\frac {x}{v_{0}}}\right)={\frac {u(x,t)+Z\cdot i(x,t)}{2}}}$

${\displaystyle u_{r}\left(t+{\frac {x}{v_{0}}}\right)={\frac {u(x,t)-Z\cdot i(x,t)}{2}}}$

Direkt nach einem Schaltvorgang am Eingang ist die rücklaufende Welle für mindestens 2·τ stabil, weil die Schaltflanke erst nach der doppelten Laufzeit der Leitung wieder am Eingang wirken kann. Für diese ergibt sich aus vorstehender Gleichung

${\displaystyle u_{r}\left(t\right)={\frac {u(0,t)-Z\cdot i(0,t)}{2}}}$

oder umgeformt

${\displaystyle u(0,t)-Z\cdot i(0,t)=2\cdot u_{r}\left(t\right)}$

Das ist die Gleichung eines aktiver Zweipols, welche die „Leitung von Anfang her gesehen“ beschreibt. Wesentlich ist, dass der Innenwiderstand des Zweipols mit dem Wellenwiderstand der Leitung identisch und unabhängig von deren Abschluss ist.

Ähnliches gilt für einen Schaltvorgang am Ende:

${\displaystyle u_{h}\left(t-{\frac {L}{v_{0}}}\right)={\frac {u(L,t)+Z\cdot i(L,t)}{2}}}$

woraus sich die „dynamische Gleichung der Leitung vom Ende her“ ergibt:

${\displaystyle u(L,t)+Z\cdot i(L,t)=2\cdot u_{h}\left(t-{\frac {L}{v_{0}}}\right)}$

Das ist ebenfalls die Gleichung eines aktiven Zweipols, welche die „Leitung von Ende her gesehen“ beschreibt. Der Innenwiderstand dieses Zweipols ist mit dem (wegen der umgekehrten Stromrichtung) negativen Wellenwiderstand der Leitung identisch.

Diese „linearen dynamischen Kennlinien der Leitung“ sind nicht nur im nachfolgend beschriebenen Verfahren, sondern auch für Berechnungen des Schaltverhaltens von verlustlosen Leitungen bei Abschlüssen mit Speicherverhalten nutzbar.

Das Bergeron-Verfahren

Zeitabläufe

Aus dem fertigen Bergeron-Diagramm lassen sich bei Bedarf die Werte von Spannung und Strom am Anfang und am Ende der Leitung zu geraden bzw. ungeraden Vielfachen der Laufzeit τ entnehmen und als (normierter) zeitlicher Ablauf darstellen.

Beispiel für einen Schaltvorgang zwischen TTL-Schaltkreisen

Ein typischer Anwendungsfall des Bergeron-Verfahrens ist die Untersuchung der Übertragung von Impulsen auf „nicht sauber angepassten“ Leitungen zwischen digitalen Schaltkreisen. In diesem Beispiel wird die high/low-Flanke am Ausgang eines Standard-TTL-Gatters, welches über eine Leitung mit Z = 120 Ω den Eingang eines Standardgatters (ohne „Clampingdiode“) treibt, betrachtet. Die Kennlinien entsprechen näherungsweise den tatsächlichen, die Konstruktion wurde nach den oben dargelegten Schritten ausgeführt und bezeichnet.

Aus dem entstehenden Bergeron-Diagramm lässt sich der Verlauf der Spannung am Eingang und Ausgang der Leitung (also am Ausgang bzw. Eingang des TTL-Gatters) „ablesen“. Man erkennt das starke negative Überschwingen der Spannung am Ausgang der Leitung, was eventuell zum Zerstören des folgenden Schaltkreises führen kann und in der Weiterentwicklung der Schaltkreise durch Einbau einer Clampingdiode vermieden wurde.

Siehe auch

• Wellenfahrplan

Literatur

• Wolfgang Hilberg: Impulse auf Leitungen. R. Oldenbourg Verlag GmbH, München 1981, ISBN 3-486-25491-X. 
• Hans-Georg Unger: Elektromagnetische Wellen auf Leitungen. Dr. Alfred Hüthig Verlag, Heidelberg 1980, ISBN 3-7785-0601-3. 
• Eberhard Kühn, Horst Schmied: Integrierte Schaltkreise. Verlag Technik, Berlin 1974. 

Weblinks

• Texas Instruments: The Bergeron Method – A Graphic Method for Determining Line Reflections in Transient Phenomena (PDF vom Oktober 1996). Abgerufen am 18. Januar 2014.

Einzelnachweise

1. ↑ M. Louis Bergeron: Methode Graphique Generale De Calcul Des Propagations D’ondes Planes. In: Bulletin de juillet-août. Extrait des Mémoires de la Société des Ingénieurs Civils de France, 1937.