Unter Leitungsgleichung oder Leitungsgleichungen (kurz für Telegraphenleitungsgleichung bzw. Telegraphenleitungsgleichungen, alternativ Telegrafengleichung bzw. Telegrafengleichungen) versteht man in der Elektrotechnik ein System gekoppelter partieller Differentialgleichungen erster Ordnung, das die Ausbreitung von Strom und Spannung auf einer langen, geraden, zweiadrigen (zweipoligen) Leitung beschreibt.

Die Leitungstheorie beschäftigt sich mit der Analyse von Leitungen, indem sie diese Leitungsgleichungen mit verschiedenen, den jeweiligen Randbedingungen angepassten mathematischen Methoden löst.

Allgemeines

Bringt man stromführende Leitungen (im Folgenden als „Adern“ bezeichnet) in räumliche Nähe zueinander, fasst sie sogar in einem Kabel zusammen, oder hat eine Leitung einen hinreichend großen Querschnitt, so zeigen sich Effekte, die bei dünnen, räumlich voneinander getrennten Leitungen vernachlässigbar klein sind:

• Die Adern bilden Kapazitäten gegeneinander aus (vgl. die Analogie zum Plattenkondensator).
• Sie zeigen induktive Eigenschaften.
• Sind die Adern nicht ideal gegeneinander isoliert, treten Querleitverluste auf, also ein (i. d. R. unerwünschter) Stromfluss zwischen den Adern.

Mit Hilfe der Telegrafengleichungen lassen sich zweiadrige Leitungen beschreiben, also Kabel, die zwei stromführende „Drähte“ aufweisen. Der einfachste Fall einer solchen Leitung ist die sogenannte Lecher-Leitung. Hierbei handelt es sich um zwei parallele Drähte endlicher Dicke, die – gegeneinander isoliert – in einem Kabel geführt werden und später als Telegrafenleitungen Verwendung fanden. In der Technik finden auch kompliziertere Leitungen als die Lecher-Leitung Verwendung, wie etwa die Koaxialleitung, die bei vielen Hochfrequenzanwendungen und in der modernen Messelektronik eine große Rolle spielen. Eine Ader der Koaxialleitung ist ein Hohlzylinder (die sogenannte äußere Ader), entlang dessen Achse die zweite, ebenfalls zylinderförmige und durch einen Isolator von der äußeren Leitung getrennte innere Ader (auch „Seele“) geführt wird.

Historisch gesehen wurde die Leitungsgleichung maßgeblich von Oliver Heaviside für die Analyse von Problemen mit langen Telegrafenleitungen, die unter Wasser verlegt wurden, entwickelt (vgl. Artikel Seekabel). Es mag zunächst erstaunen, dass diese Leitungen über nur ein stromführendes Kabel, also im Prinzip nur über eine Ader, verfügten. Da als Rückleiter jedoch das Meerwasser diente, lässt sich das System Ozean-Kabel als eine Leitung mit zwei Adern auffassen und mit der hier thematisierten Telegrafenleitungsgleichung beschreiben.

Das Gleichungssystem im Detail

Entkopplung des Systems

Im Falle konstanter Beläge lässt sich das System der Telegrafengleichungen entkoppeln. Dazu ist die erste Gleichung einmal partiell nach dem Ort ${\displaystyle x}$ abzuleiten, die zweite Gleichung nach der Zeit ${\displaystyle t}$. Die dadurch entstandene zweite Gleichung lässt sich wegen der Vertauschbarkeit partieller Ableitungen in die erste einsetzen, und man erhält für Strom und Spannung jeweils eine eigene Differenzialgleichung:

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}U(x,t)}{\partial x^{2}}}-L'C'{\frac {\partial ^{2}U(x,t)}{\partial t^{2}}}=(L'G'+R'C'){\frac {\partial U(x,t)}{\partial t}}+R'G'U(x,t)}$

und

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}I(x,t)}{\partial x^{2}}}-L'C'{\frac {\partial ^{2}I(x,t)}{\partial t^{2}}}=(L'G'+R'C'){\frac {\partial I(x,t)}{\partial t}}+R'G'I(x,t)}$

Man beachte allerdings, dass diese beiden Gleichungen nicht mehr äquivalent zu dem Ausgangssystem sind, da die Bildung der partiellen Ableitung keine Äquivalenzumformung darstellt. Zwar ist jede Lösung der Telegrafengleichung auch Lösung der entkoppelten Gleichungen, aber nicht jede Lösung der entkoppelten Gleichungen muss auch eine Lösung der Telegrafengleichung sein. Dennoch kann man aus den entkoppelten Gleichungen Informationen gewinnen: Bei den entkoppelten Gleichungen handelt es sich um Wellengleichungen. Da sich die Lösungen der Telegrafengleichung aber unter denen der entkoppelten Gleichungen befinden, erwarten wir also wellenförmige Spannungs- und Stromverläufe als Lösungen der Telegrafengleichung.

Lösung der Telegrafengleichung

Im Falle konstanter Beläge und dem Betrieb der Leitung mit stationären sinusförmigen Signalen lässt sich die Telegrafengleichung durch den Ansatz ebener Wellen lösen:

${\displaystyle {\begin{aligned}U(x,t)&=u_{0}e^{j\omega t-\gamma x}\\I(x,t)&=i_{0}e^{j\Omega t-\Gamma x}\end{aligned}}}$

Dabei lassen wir zu, dass ${\displaystyle \gamma }$ und ${\displaystyle \Gamma }$ komplexe Zahlen sind. Setzt man diese ebenen Wellen in die Telegrafengleichung ein sieht man, dass die Lösungen nur dann für beliebige Zeiten ${\displaystyle t}$ gelten können, wenn ${\displaystyle \omega =\Omega }$ gilt. Ebenso kann die Lösung nur dann für beliebige ${\displaystyle x}$ gelten, wenn ${\displaystyle \gamma =\Gamma }$ ist.

Weiterhin findet man durch Einsetzen des Ansatzes in die Telegrafengleichung, dass die Amplituden ${\displaystyle u_{0}}$ und ${\displaystyle i_{0}}$ Lösung des linearen homogenen Gleichungssystems

${\displaystyle {\begin{aligned}-\gamma u_{0}+(L'j\omega +R')i_{0}&=0\\(C'j\omega +G')u_{0}-\gamma i_{0}&=0\end{aligned}}}$

sind. Dieses besitzt aber nur dann nicht-triviale Lösungen, wenn die Determinante der Koeffizientenmatrix verschwindet:

${\displaystyle \det {\begin{pmatrix}-\gamma &L'j\omega +R'\\C'j\omega +G'&-\gamma \end{pmatrix}}=0,}$

was genau dann der Fall ist, wenn ${\displaystyle \gamma }$ der Gleichung

${\displaystyle \gamma ^{2}=(R'+j\omega L')(G'+j\omega C')\Leftrightarrow \gamma =\pm {\sqrt {(R'+j\omega L')(G'+j\omega C')}}}$

genügt. Da die Telegrafengleichung linear ist, ist die Summe zweier Lösungen wieder eine Lösung (Superpositionsprinzip), so dass wir als allgemeinste Lösung, die wir aus dem Ansatz ebener Wellen gewinnen können, festhalten:

${\displaystyle {\begin{aligned}U(x,t)&=u_{1}e^{j\omega t-\gamma x}+u_{2}e^{j\omega t+\gamma x}\\I(x,t)&=i_{1}e^{j\omega t-\gamma x}+i_{2}e^{j\omega t+\gamma x}\end{aligned}}}$

mit ${\displaystyle \gamma ={\sqrt {(R'+j\omega L')(G'+j\omega C')}}}$. ${\displaystyle \gamma }$ heißt auch (komplexe) Übertragungskonstante oder Fortpflanzungskonstante.

Wellenwiderstand und Reflektivität

Im Falle konstanter Beläge und einer verlustfreien Leitung (d. h. ${\displaystyle R'=0}$, ${\displaystyle G'=0}$) lässt sich durch Einsetzen zeigen, dass eine Spannung der Form

${\displaystyle U(x,t)=u_{1}e^{j\omega t-\gamma x}+u_{2}e^{j\omega t+\gamma x}}$

stets einen Strom der Form

${\displaystyle I(x,t)={\frac {u_{1}}{Z_{0}}}e^{j\omega t-\gamma x}-{\frac {u_{2}}{Z_{0}}}e^{j\omega t+\gamma x}}$

mit

${\displaystyle Z_{0}={\sqrt {\frac {L'}{C'}}}.}$

zur Folge hat. Da der Scheitelwert des Stroms ${\displaystyle i_{0}}$ und der der Spannung ${\displaystyle u_{0}}$, gegeben durch

${\displaystyle {\begin{aligned}u_{0}&={\sqrt {u_{1}^{2}+u_{2}^{2}}}\\i_{0}&={\sqrt {\left({\frac {u_{1}}{Z_{0}}}\right)^{2}+\left({\frac {u_{2}}{Z_{0}}}\right)^{2}}},\end{aligned}}}$

über die Beziehung

${\displaystyle {\frac {u_{0}}{i_{0}}}=Z_{0}}$

verbunden sind, die sehr an das ohmsche Gesetz erinnert, nennt man ${\displaystyle Z_{0}}$ den Wellenwiderstand der Leitung. Um den Begriff der Reflektivität zu verstehen, betrachten wir noch einmal die obige Darstellung des Spannungsverlaufs. Da die Leitung verlustfrei ist, vereinfacht sich die komplexe Übertragungskonstante zu ${\displaystyle \gamma =j\omega {\sqrt {L'C'}}}$, der

Spannungsverlauf ist also eine Überlagerung zweier ebener Wellen, und zwar einer Welle mit Wellenvektor ${\displaystyle k_{1}=+\omega {\sqrt {L'C'}}}$ (im Folgenden „hinlaufende Welle“ genannt) und einer Welle mit Wellenvektor ${\displaystyle k_{2}=-\omega {\sqrt {L'C'}}}$ („rücklaufende Welle“). Die erste dieser beiden Wellen läuft in ${\displaystyle x}$-Richtung, die zweite Welle gegen die ${\displaystyle x}$-Richtung. Führt man den Anteil der rücklaufenden Welle in der Gesamtwelle auf die Reflexion eines Teiles der hinlaufenden Welle am Ende der Leitung zurück, so gibt das Verhältnis

${\displaystyle r={\frac {u_{2}}{u_{1}}}}$

gerade den Bruchteil der einlaufenden Welle an, der am Ende der Leitung reflektiert wurde. Man nennt ${\displaystyle r}$ daher die Reflektivität der Leitung. Man beachte dabei, dass ${\displaystyle u_{1}}$ die Amplitude der Welle mit Wellenvektor ${\displaystyle +\omega {\sqrt {L'C'}}}$, also die Amplitude der hinlaufenden Welle ist und ${\displaystyle u_{2}}$ die Amplitude der Welle mit Wellenvektor ${\displaystyle -\omega {\sqrt {L'C'}}}$, also der rücklaufenden Welle darstellt. Man kann nun zeigen, dass die Reflektivität einer mit einem komplexen Widerstand ${\displaystyle Z}$ abgeschlossenen Leitung (Abbildung 2) über

${\displaystyle r={\frac {Z-Z_{0}}{Z+Z_{0}}}}$

berechnet werden kann. Den Grenzfall einer offenen Leitung erhalten wir aus der Auswertung des Grenzwertes von ${\displaystyle r}$ für ${\displaystyle \left|Z\right|\rightarrow \infty }$: Es ergibt sich ${\displaystyle r=1}$, die gesamte Welle wird also (ohne Phasensprung) reflektiert. Die kurzgeschlossene Leitung entspricht dem Fall ${\displaystyle Z=0}$. Hier ergibt sich eine Reflektivität von −1, die gesamte Welle wird also reflektiert, es findet aber ein Phasensprung um 180° statt.

Weblinks

• Klaus Wille: Telegrafengleichung (Memento vom 24. Januar 2014 im Internet Archive) (PDF; 1,6 MB), Skript zur Vorlesung „ELEKTRONIK 2013“, Technische Universität Dortmund, 15. April 2013, S. 58–60.

Einzelnachweise

1. ↑ Ernst Weber and Frederik Nebeker, The Evolution of Electrical Engineering, IEEE Press, Piscataway, New Jersey USA, 1994 ISBN 0-7803-1066-7