Mathematische Beschreibung

Rossby-Wellen sind subinertiale Bewegungen, die sich nach der geostrophischen Anpassung auf einer rotierenden Kugel in einem quasigeostrophischen Gleichgewicht befinden. Ihre Besonderheit besteht darin, dass durch die räumliche Ausdehnung des dazugehörenden Druckmusters und die räumliche Änderung des Coriolisparameters die Divergenz der quasi-geostrophischen Strömung nicht exakt verschwindet. Dies hat eine langsame zeitliche Änderung des Druckfeldes in Form einer Rossby-Welle zur Folge.

Wir betrachten die Eigenschaften der linearen Rossby-Welle in einem unendlich ausgedehnten, reibungsfreien Ozean mit einem ebenen Boden in der Tiefe ${\displaystyle z=-H}$ auf der mit der Winkelgeschwindigkeit ${\displaystyle {\vec {\Omega }}}$ rotierenden Erde

Die vertikal gemittelten Gleichungen für die horizontalen Geschwindigkeitskomponenten der hydrostatischen Flüssigkeit lauten

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}-fv=-g{\frac {\partial \eta }{\partial x}}}$,

${\displaystyle {\frac {\partial v}{\partial t}}+fu=-g{\frac {\partial \eta }{\partial y}}}$.

In den Gleichungen sind:

• ${\displaystyle t\,}$: die Zeit
• ${\displaystyle x,y,z\,}$: die Koordinaten eines rechtwinkligen Koordinatensystems mit dem Nullpunkt im Meeresspiegel auf der geographischen Referenzbreite ${\displaystyle \varphi _{0}}$, z. B. positiv nach Osten, positiv nach Norden und positiv entgegen der Schwerkraft gerichtet.
• ${\displaystyle u,v\,}$: die horizontalen Komponenten des Geschwindigkeitsvektors in Richtung der x- und y-Achse.
• ${\displaystyle \eta }$: die Auslenkung der Meeresoberfläche aus der Ruhelage.
• ${\displaystyle f=2\Omega \sin \varphi }$, der Coriolisparameter.

Um die räumliche Änderung des Coriolisparameters zu berücksichtigen, muss er bei Verwendung eines kartesischen Koordinatensystems in eine Taylorreihe um die Bezugsbreite ${\displaystyle \varphi _{0}}$ entwickelt werden, die nach dem linearen Glied abgebrochen wird

${\displaystyle f(y)=f(\varphi _{0})+{\frac {2\Omega \cos \varphi _{0}}{R}}y=f(\varphi _{0})+\beta y}$.

Hier ist ${\displaystyle R\,}$ der Radius der Kugel und ${\displaystyle \beta ={\frac {2\Omega \cos \varphi _{0}}{R}}}$ der Betaparameter, der gleich dem meridionalen Gradienten des Coriolisparameters in der Bezugsbreite ist. Bei den folgenden Ableitungen wird immer die lineare Abhängigkeit des Coriolisparameters von der y-Koordinate zugrunde gelegt.

Für die Kontinuitätsgleichung der als inkompressibel angesehenen Flüssigkeit erhalten wir

${\displaystyle {\frac {\partial \eta }{\partial t}}+H\left({\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial v}{\partial y}}\right)=0}$,

Um eine Gleichung für die Auslenkung der Meeresoberfläche zu erhalten, wird die Divergenz der horizontalen Komponenten des Impulses unter Berücksichtigung der meridionalen Variation von ${\displaystyle f(y)}$ gebildet und die Kontinuitätsgleichung eingesetzt

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\eta }{\partial t^{2}}}-c^{2}\left({\frac {\partial ^{2}\eta }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\eta }{\partial y^{2}}}\right)+fH\zeta -\beta Hu=0}$,

wobei ${\displaystyle c^{2}=gH}$ die Phasengeschwindigkeit einer langen Welle auf der nichtrotierenden Erde ist und

${\displaystyle \zeta ={\frac {\partial v}{\partial x}}-{\frac {\partial u}{\partial y}}}$,

die vertikale Komponente der Rotation des Geschwindigkeitsfeldes.

Im Falle einer rotierenden Flüssigkeit weist die obige Gleichung darauf hin, die Änderung der Rotation des horizontalen Geschwindigkeitsfeldes zu berücksichtigen. Zu diesem Zweck bilden wir die Rotation der Impulsgleichungen woraus sich die Gleichung für die zeitliche Änderung der vertikalen Komponente der Rotation der Geschwindigkeit, nämlich

${\displaystyle {\frac {\partial \zeta }{\partial t}}+f\left({\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial v}{\partial y}}\right)+\beta v=0}$,

ergibt. Das bedeutet, dass die zeitliche Änderung von ${\displaystyle {\tfrac {\zeta }{f}}}$ auf der rotierenden Erde gleich der negativen Divergenz der horizontalen Bewegung, erweitert durch einen Anteil proportional zur südwärtigen Bewegung ist. Benutzt man die Kontinuitätsgleichung zur Elimination der horizontalen Divergenz, so ergibt sich

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\left({\frac {\zeta }{f}}-{\frac {\eta }{H}}\right)+{\frac {\beta }{f}}v=0}$.

Diese Gleichung ist die linearisierte Form der Gleichung für die Erhaltung der potentiellen Vortizität einer homogenen Flüssigkeit auf einer sich drehenden Kugel. Sie kann auf die folgende verallgemeinerte Form gebracht werden

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {f+\zeta }{H+\eta }}=0}$

Sie bringt zum Ausdruck, dass die potentielle Vortizität ihren Anfangswert an jedem Punkt zu allen Zeiten behält. Die linearisierte Form der Erhaltung der linearen Vortizität erhält man, wenn ${\displaystyle \eta \ll H}$ und ${\displaystyle \zeta \ll f}$ angenommen wird. Während die erste Annahme fast überall im Ozean gilt, ist die zweite Annahme nur dann gültig, wenn ${\displaystyle {\frac {u}{R_{R}}}\ll f}$ und somit ${\displaystyle {\frac {u}{c}}\ll 1}$ ist, d. h. die geostrophische Geschwindigkeit klein gegen die Phasengeschwindigkeit der langen Welle auf der nicht rotierenden Erde ist. Dies ist für barotrope Rossby-Wellen sicherlich immer der Fall, jedoch nicht für barokline Rossby-Wellen im Bereich von Westrandströmen, wie z. B. dem Golfstrom.

Leitet man die Gleichung für die Auslenkung der Meeresoberfläche noch einmal nach der Zeit ab, ergibt sich

${\displaystyle \left({\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}+f^{2}\right){\frac {\partial \eta }{\partial t}}-c^{2}{\frac {\partial }{\partial t}}\left({\frac {\partial ^{2}\eta }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\eta }{\partial y^{2}}}\right)-H\beta \left(fv+{\frac {\partial u}{\partial t}}\right)=0}$.

Wir betrachten jetzt subinertiale Bewegungen, die unter Abstrahlung von Poincaré-Wellen geostrophisch angepasst sind. Durch die folgenden Vernachlässigungen werden die Poincaré-Wellen aus den Bewegungsgleichungen für die Flüssigkeit des Ozeans herausgefiltert. Es gelten dann die folgende Näherungen:

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\ll f^{2}}$,

${\displaystyle fv=g{\frac {\partial \eta }{\partial x}}}$

O{u} = O{v}.

Damit erhalten wir eine Gleichung für die Auslenkung der Meeresoberfläche durch subinertiale Bewegungen auf der rotierenden Erde, nämlich durch Rossby-Wellen,

${\displaystyle f^{2}{\frac {\partial \eta }{\partial t}}-c^{2}{\frac {\partial }{\partial t}}\left({\frac {\partial ^{2}\eta }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\eta }{\partial y^{2}}}\right)-\beta c^{2}{\frac {\partial \eta }{\partial x}}=0}$.

Die Dispersionsbeziehung der Rossby-Wellen

Nimmt man eine Auslenkung der Meeresoberfläche in Form einer horizontal propagierenden Welle

${\displaystyle \eta =\eta _{0}e^{i(\omega t-kx-ly)}}$

an und setzt diese Form in die Bewegungsgleichung für die Rossby-Welle ein, so ergibt sich die Dispersionsbeziehung für die Rossby-Welle zu

${\displaystyle \omega =-\beta R_{R}{\frac {kR_{R}}{1+(k^{2}+l^{2})R_{R}^{2}}}}$

Es gibt einen barotropen und ein ganzzahliges Vielfaches an baroklinen Rossby-Radien ${\displaystyle R_{\mathrm {R} }={\frac {c}{f}}}$, die durch die jeweiligen Phasengeschwindigkeiten der entsprechenden langen Welle auf der nichtrotierenden Erde und den Coriolisparameter gegeben sind. Für die Ozeane ist der barotrope Rossby-Radius ${\displaystyle R_{R0}}$ in der Größenordnung von 2000 km. Aktuelle Karten der globalen Verteilung des ersten baroklinen Rossby-Radius findet man bei Chelton et al. (1998); ${\displaystyle R_{R1}}$ ist einige 10 km in mittleren Breiten. Der barotrope Modus der Rossby-Welle breitet sich viele Meter pro Sekunde aus, so dass er ein typisches Ozeanbecken in wenigen Wochen durchquert. Jedoch die langsameren baroklinen Modi sind für die Dynamik des Ozeans wichtig. Sie breiten sich mit Geschwindigkeiten in der Größenordnung von 1 – 10 cm/s und brauchen entsprechen längere Zeit (Jahre) um ein Ozeanbecken zu durchqueren.

Die Partikelgeschwindigkeit in Rossby-Wellen

Das mit der Rossby-Welle verbundene Geschwindigkeitsfeld ergibt sich in guter Näherung aus den quasigeostrophischen Gleichungen

${\displaystyle u={\frac {gl}{f}}\eta \left(\omega t-kx-ly+{\frac {\pi }{2}}\right)}$

und

${\displaystyle v=-{\frac {gk}{f}}\eta \left(\omega t-kx-ly+{\frac {\pi }{2}}\right)}$.

Auf Grund der geostrophischen Anpassung der Rossby-Wellen ist die Strömung parallel zu den Wellenkämmen und -Tälern gerichtet. Die kleinen ageostrophischen Anteile der Partikelgeschwindigkeiten der Rossby-Wellen ergeben sich aus der Breitenabhängigkeit des Coriolisparameters derart, dass die Geschwindigkeiten äquatorwärts höher als polwärts sind. Dies führt zu einer Konvergenz westlich eines Hochdruckrückens und somit zu einem dortigen Druckanstieg mit der Folge einer westwärtigen Verlagerung des Wellenmusters.

Die planetare Divergenz der Rossby-Wellen

Berechnen wir die Divergenz für eine geostrophisch angepasste Flüssigkeit auf einer rotierenden Kugel und setzten das Ergebnis in die Kontinuitätsgleichung ein, so erhalten wir für die Kontinuitätsgleichung

${\displaystyle {\frac {\partial \eta }{\partial t}}-{\frac {\beta }{f^{2}}}c^{2}{\frac {\partial \eta }{\partial x}}=0}$.

Das bedeutet, dass die Divergenz einer quasi-geostrophische Flüssigkeit auf einer rotierenden Kugel im Allgemeinen nicht verschwindet und somit eine zeitliche Änderung des Drucks zur Folge hat, die eine weitere Wellenbewegung hervorruft, nämlich die planetaren oder Rossby-Wellen. Aus der obigen Gleichung folgt auch, dass es zwei Spezialfälle gibt, für die die Divergenz der quasi-geostrophischen Bewegung auf einer rotierenden Kugel verschwindet. Der eine Fall gilt für die Pole, an denen ${\displaystyle \beta =0}$ ist. Der andere Fall gilt für Druckfelder, die keinen zonalen Gradienten aufweisen.

Die potenzielle und kinetische Energie der Rossby-Wellen

Die potenzielle Energiedichte ${\displaystyle E_{\mathrm {p} }\,}$ der Rossby-Welle ist gegeben durch den entsprechenden Ausdruck für die Flachwasserwelle, nämlich

${\displaystyle E_{\mathrm {p} }={\frac {\rho }{2}}g{\bar {\eta ^{2}}}}$.

Der Querstrich bezeichnet hier den Mittelwert über eine Wellenlänge. Die kinetische Energiedichte ${\displaystyle E_{\mathrm {k} }}$ der Welle ergibt sich aus der Integration der lokalen kinetischen Energie über die gesamte Wassersäule, also

${\displaystyle E_{\mathrm {k} }={\frac {\rho }{2}}H\left({\bar {u^{2}}}+{\bar {v^{2}}}\right)={\frac {\rho }{2f^{2}}}g^{2}H\left(k^{2}+l^{2}\right){\bar {\eta ^{2}}}}$.

Das Verhältnis von kinetischer zu potenzieller Energiedichte ist

${\displaystyle {\frac {E_{k}}{E_{p}}}={\frac {gH}{f^{2}}}\left(k^{2}+l^{2}\right)=\kappa _{H}^{2}R_{R}^{2}}$.

Hier ist ${\displaystyle \kappa _{H}}$ die horizontale Wellenzahl. Hieraus folgt, dass die potenzielle Energiedichte wesentlich größer als die kinetische für lange Rossby-Wellen ist, deren Wellenlängen sehr viel größer als der Rossbyradius sind. Beide Energiedichten sind gleich für Rossby-Wellen mit der maximalen Frequenz und die kinetische Energiedichte ist höher als die potenzielle für Rossby-Wellen mit wesentlich kleineren Wellenlängen als der Rossbyradius.

Der Frequenzbereich der Rossby-Wellen

Aus der Dispersionsbeziehung der Rossby-Wellen folgt, dass sie im Allgemeinen dispersiv sind. Aus ihr lässt sich eine Vielzahl ihrer Eigenschaften ableiten.

Da die Frequenz in der Dispersionsbeziehung vom Quadrat der meridionalen Wellenzahl l abhängt ist eine Phasenpropagation der Rossby-Wellen sowohl nach Norden als auch nach Süden möglich. Die lineare Abhängigkeit der Frequenz von der zonalen Wellenzahl k der Rossby-Welle erlaubt dagegen nur eine Phasenpropagation in westliche Richtung. Allgemein gesagt ist somit eine Phasenpropagation nur in den westlichen Halbraum möglich.

Die Dispersionsrelation sagt darüber hinaus aus, dass Rossby-Wellen eine maximale Frequenz für den Wellenzahlvektor ${\displaystyle l_{\mathrm {max} }=0}$ und ${\displaystyle k_{\mathrm {max} }=-{\frac {1}{R_{R}}}}$ haben. Die maximale Frequenz der Rossby-Welle beträgt für diesen Wellenzahlvektor

${\displaystyle \omega _{\mathrm {max} }={\frac {1}{2}}\beta R_{\mathrm {R} }={\frac {1}{2}}\beta {\frac {c}{f}}}$.

Sie sinkt mit zunehmender Breite in Richtung der Pole. Die spektrale Lücke zwischen Poincaré-Wellen und Rossby-Wellen wird also in Richtung der Pole größer. Man kann auch alternativ sagen, dass eine Rossby-Welle mit einer gegebenen Frequenz bzw. Periode eine Umkehrbreite zugeordnet ist, so dass sie polwärts dieser Breite nicht mehr existieren kann. Die nebenstehende Abbildung zeigt, dass eine gegebene Periode nur äquatorwärts einer maximalen Breite existieren kann. So kann eine barokline Rossby-Welle mit der Periode von einem Jahr nur äquatorwärts von annähernd 45° Breite existieren.

Die Gruppengeschwindigkeit der Rossby-Wellen

Im Gegensatz zur Phasengeschwindigkeit, also der Geschwindigkeit eines Wellenberges, der an der Wasseroberfläche nur einige Zentimeter hoch ist, in der Thermoklinen jedoch i. d. R. mehrere Meter aufweist, ist die Gruppengeschwindigkeit, also die Ausbreitungsrichtung von Wellenpaketen und damit des Energietransports, in jede Richtung möglich. Typische Geschwindigkeiten liegen in der Größenordnung von wenigen Zentimetern pro Sekunde. Die Meridionalkomponenten von Gruppen- und Phasengeschwindigkeit sind stets entgegengesetzt. Ob ein Paket aus Rossby-Wellen ost- oder westwärts propagiert, hängt von ihren Wellenlängen ab. Kurze Wellenlängen, d. h. ${\displaystyle k^{2}+l^{2}>R_{\mathrm {R} }^{-2}}$ breiten sich gen Osten aus, wohingegen große Wellenlängen, d. h. ${\displaystyle k^{2}+l^{2}<R_{R}^{-2}}$ einen westwärtigen Energietransport aufweisen. Die Gruppengeschwindigkeit weist für eine gegebene meridionale Wellenzahl ${\displaystyle l\,}$ zwei Maxima auf. Für ${\displaystyle l=0\,}$ liegt eines der Maxima bei ${\displaystyle k=0\,}$ und beträgt ${\displaystyle c_{\mathrm {gr,max,1} }=-\beta R_{\mathrm {R} }^{2}}$. Da die Dispersionsbeziehung für diese Wellenzahlkombination dispersionsfrei ist, breiten sich lange Rossby-Wellen dispersionsfrei mit der maximalen Gruppengeschwindigkeit nach Westen aus. Das zweite Maximum der Gruppengeschwindigkeit liegt bei der Wellenzahl ${\displaystyle l=0\,}$ und ${\displaystyle k^{2}R_{\mathrm {R} }^{2}=3}$ und beträgt ${\displaystyle c_{\mathrm {gr,max,2} }={\frac {\beta }{8}}R_{\mathrm {R} }^{2}}$. Von einem räumlich isolierten quasigeostrophischen Druckstörung in Form eines Wellenpaketes breitet sich also eine Front dispersionsfreier langer Rossby-Wellen mit der maximalen Gruppengeschwindigkeit ${\displaystyle c_{\mathrm {gr,max,1} }=-\beta R_{\mathrm {R} }^{2}}$ nach Westen aus, während sich eine zweite, dispersive Front kurzer Rossby-Wellen mit einem Achtel der Gruppengeschwindigkeit der langen Wellen nach Osten ausbreitet. Zwischen diesen beiden Fronten bleibt eine Rossby-Welle mit verschwindender Gruppengeschwindigkeit zurück, die die oben angegebene Wellenlänge ${\displaystyle k_{\mathrm {max} }}$ und Frequenz ${\displaystyle \omega _{\mathrm {max} }}$ hat.

Wenn eine Druckrinne oder -Rücken mit der charakteristischen Breite eines Rossby-Radius am Ostufer eines Ozeans existiert, wie sie für Kelvinwellen oder Küstenstrahlströme typisch sind, propagiert eine Front langer Rossby-Wellen mit der maximalen Gruppengeschwindigkeit westwärts in den offenen Ozean hinaus. Wenn die Front über einen Rossbyradius hinaus in den Ozean vorgedrungen ist, beginnt sie das Druckmuster nach Westen zu verbreitern, was die geostrophisch angepasste Geschwindigkeit in der Küstengrenzschicht verringert. Die charakteristische Zeit für das Durchlaufen der Küstenzone ist ${\displaystyle T_{R}={\frac {R_{\mathrm {R} }}{c_{\mathrm {gr,max,1} }}}={\frac {1}{\beta R_{\mathrm {R} }}}}$. Die Abhängigkeit dieser charakteristischen Zeit von der geographischen Breite ist in der nebenstehenden Abbildung gezeigt und ist bis auf den Proportionalitätsfaktor ${\displaystyle 4\pi }$ gleich der der minimalen Periode der Rossby-Welle. Während in tropischen Breiten die charakteristische Zeit nur wenige Tage beträgt, liegt sie in subtropischen Breiten bei rund drei Wochen und in subpolaren Breiten bei zwei Monaten.

Eine Druckstörung an einem westlichen Ufer des Ozeans bleibt über eine 8-mal längere Zeit von Rossby-Wellen unbeeinflusst, da die nach Osten gerichtete maximale Gruppengeschwindigkeit entsprechend langsamer ist. Die Rossby-Wellen führen somit zu einer Ost-West-Asymmetrie in den dynamischen Reaktionen eines Ozeans.