Einfaches Beispiel

Die gleichförmig-geradlinige Bewegung eines kräftefreien Körpers wird von einem rotierenden ${\displaystyle (x',y')}$-Koordinatensystem aus beschrieben. Zur Zeit ${\displaystyle t=0}$ sei der Körper bei ${\displaystyle (x',y')=(0,0)}$, und die ${\displaystyle x'}$-Achse liege gerade in seiner Bewegungsrichtung. Zur Zeit ${\displaystyle t}$, wenn der Körper den Weg ${\displaystyle r=v\,t}$ zurückgelegt hat, hat sich diese Achse um den Winkel ${\displaystyle \omega \,t}$ gedreht, so dass sie nun vom geradeaus fliegenden Körper einen Abstand ${\displaystyle y'=r\sin \omega \,t}$ hat. Für kleine Zeiten gilt ${\displaystyle \sin \omega \,t\approx \omega \,t}$, also wächst der Abstand quadratisch: ${\displaystyle y'\approx v\omega t^{2}}$. Vom rotierenden Bezugssystem aus gesehen bewegt der kräftefreie Körper sich demnach gleichförmig beschleunigt senkrecht zur ursprünglichen Bewegungsrichtung nach dem Gesetz ${\displaystyle y'={\tfrac {1}{2}}at^{2}}$. Die Beschleunigung ${\displaystyle a=2v\omega }$ ist die Coriolisbeschleunigung.

Wenn der Körper sich stattdessen entlang der rotierenden ${\displaystyle x'}$-Achse bewegen soll, kann er demnach nicht kräftefrei sein, sondern muss durch eine äußere Kraft mit der Stärke ${\displaystyle F=2mv\omega }$ in ${\displaystyle y'}$-Richtung beschleunigt werden. Die Corioliskraft ist der Trägheitswiderstand gegen diese Beschleunigung.

Diese einfache Herleitung gilt genau genommen nur für die infinitesimale Umgebung des Mittelpunkts, wo die geometrische Beschreibung durch gerade und auf einander senkrecht stehende kurze Strecken im Grenzfall exakt ist. Sie deckt aber auch schon den allgemeinen Fall ab, dass der Körper seine Bewegung gegenüber dem rotierenden Bezugssystem nicht an dessen Ursprung beginnt, sondern an einem beliebigen Anfangspunkt. Man kann die momentane Bewegung des Bezugssystems nämlich genau so gut dadurch beschreiben, dass man diesen Anfangspunkt zum Mittelpunkt der Rotation wählt und zusätzlich eine Translation des Bezugssystems erlaubt. Die Winkelgeschwindigkeit bleibt nach Betrag und Richtung dabei ungeändert, die Relativgeschwindigkeit auch, und damit auch die Corioliskraft.

Für eine explizite Beschreibung der Verhältnisse an beliebigen Startpunkten auf der Drehscheibe siehe die folgenden Abschnitte. Für die weitere Bewegung des Körpers außerhalb der infinitesimalen Nähe des Startpunkts siehe die Herleitung der Spiralbahn im Abschnitt Scheibenexperiment.

Coriolisbeschleunigung bei radialer Bewegung von der Drehachse weg

Auf einer Scheibe steht eine Person im Abstand ${\displaystyle r}$ vom Zentrum (roter Punkt A), und weiter außen im Abstand ${\displaystyle r+\Delta r}$ steht ein Pfahl (roter Punkt 1). Die Person wirft einen Körper mit der Geschwindigkeit ${\displaystyle v}$ zum Pfahl. Wenn die Scheibe ruhen würde, würde der Körper längs der roten Linie fliegen und den Pfahl nach der Zeit ${\displaystyle \Delta t=\Delta r/v}$ treffen. Wenn die Person von der Drehung (oder von deren Wirkung auf freie Bewegungen) nichts weiß, wird sie immer diese geradlinige Bewegung in der Richtung erwarten, in der sie den Körper losgeworfen hat.

Während der geworfene Körper in der Luft ist, dreht sich die Scheibe um den Winkel ${\displaystyle \Delta \varphi =\omega \,\Delta t}$, wobei ${\displaystyle \omega }$ die Winkelgeschwindigkeit ist. Die mitbewegte Person legt dabei auf dem Kreisbogen die Strecke ${\displaystyle r\Delta \varphi }$ zurück (blauer Pfeil) und befindet sich dann am roten Punkt B. Der Pfahl legt auf seinem Kreisbogen eine größere Strecke ${\displaystyle (r+\Delta r)\Delta \varphi }$ zurück, weil er weiter außen steht. Er befindet sich dann am roten Punkt 2. Die Differenz der beiden Strecken von Pfahl und Person ist

${\displaystyle \Delta s=\Delta r\Delta \varphi }$.

Der Werfer erwartet den geworfenen Körper an dem Ort, an dem der Pfahl sich jetzt befindet, also am Punkt 2 am Ende der gepunkteten geraden roten Linie. Für ihn ist aber der Körper längs der gebogenen gepunkteten roten Linie im Abstand ${\displaystyle \Delta s}$ am Pfahl vorbeigeflogen.

Das lässt sich von einem „ruhenden“ Beobachter aus, der neben der Drehscheibe steht und keine vom beschleunigten Bezugssystem bedingten Trägheitskräfte zu berücksichtigen hat, so erklären: Der Körper hat sich zunächst mit der werfenden Person auf der rotierenden Scheibe mitbewegt. Er hat also im Moment des Abwurfs eine tangentiale Umlaufgeschwindigkeit ${\displaystyle v_{t}=\omega \,r}$ und erhält senkrecht dazu die radiale Wurfgeschwindigkeit ${\displaystyle v}$ zusätzlich. Nach dem Abwurf bewegt er sich mit der aus ${\displaystyle v}$ und ${\displaystyle v_{t}}$ resultierenden Geschwindigkeit in gerader Linie (rot-blauer Pfeil). In radialer Richtung legt er die Strecke ${\displaystyle v\Delta t}$ zurück, in tangentialer Richtung die Strecke ${\displaystyle v_{t}\,\Delta t}$ und erreicht daher die mit dem grünen Kreuz markierte Stelle. Die Strecke in tangentialer Richtung ist genauso lang wie die Strecke, die die Person währenddessen auf ihrem Kreisbogen zurücklegt, denn ${\displaystyle v_{t}\,\Delta t=r\,\omega \Delta t=r\,\Delta \varphi }$. Wenn der Körper am grünen Kreuz ankommt, fehlt ihm bis zum Pfahl noch das Wegstück ${\displaystyle \Delta s}$.

Nun wächst ${\displaystyle \Delta s}$ mit der Zeit quadratisch an, denn es gilt:

${\displaystyle \Delta s=\Delta \varphi \Delta r=\omega \,\Delta t\,v\,\Delta t=\omega \,v\,(\Delta t)^{2}}$.

Für die mitrotierende Person sieht das aus wie eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung nach dem Weg-Zeit-Gesetz

${\displaystyle \Delta s={\frac {1}{2}}\,a\,(\Delta t)^{2}}$,

wobei ${\displaystyle a}$ die Beschleunigung ist.

Somit kann die mitrotierende Person die Abweichung des Körpers von der beabsichtigten Richtung durch die Beschleunigung

${\displaystyle a_{C}=2\,w\,v}$

erklären. Dies ist die Coriolisbeschleunigung, die in diesem Fall nur tangential gerichtet ist.

Diese Herleitung ist insofern nicht ganz beweiskräftig, als die Stücke auf den Kreisbögen wie Geraden behandelt wurden. Das ist im Grenzfall infinitesimal kleiner Strecken aber exakt. Daher ist die so erhaltene Formel gültig.

Coriolisbeschleunigung bei Kreisbewegung um die Drehachse herum

Ganz allgemein ist zur Beibehaltung einer Kreisbewegung im Abstand ${\displaystyle r}$ mit der beliebigen Geschwindigkeit ${\displaystyle {\tilde {v}}}$ eine Beschleunigung ${\displaystyle {\tilde {a}}_{\text{r}}={\tilde {v}}^{2}/r}$ in Richtung Mittelpunkt erforderlich. Wenn ein rotierender Körper im Inertialsystem die Geschwindigkeit ${\displaystyle {\tilde {v}}=v}$ hat, ergibt sich ${\displaystyle a_{\text{r}}=v^{2}/r}$ als die Zentripetalbeschleunigung, die bei allen Kreisbewegungen auftritt und durch die Zentripetalkraft bewirkt wird.

Bewegt sich ein Körper mit der Geschwindigkeit ${\displaystyle v'}$ (Relativgeschwindigkeit) in einem Bezugssystem, das eine Rotationsbewegung mit der Winkelgeschwindigkeit ${\displaystyle \omega }$ ausführt, dann ist die Geschwindigkeit des Körpers vom Inertialsystem aus gesehen die Summe aus der Umlaufgeschwindigkeit ${\displaystyle v_{\text{Umlauf}}=\omega \cdot r}$ und der Relativgeschwindigkeit ${\displaystyle v'}$:

${\displaystyle v=v_{\text{Umlauf}}+v'}$.

Für die Zentripetalbeschleunigung des Körpers folgt daraus:

${\displaystyle a_{\text{r}}={\frac {(v_{\text{Umlauf}}+v')^{2}}{r}}={\frac {v_{\text{Umlauf}}^{2}}{r}}+{\frac {v{'}^{2}}{r}}+2{\frac {v_{\text{Umlauf}}\,v'}{r}}=a_{\text{Zp}}+a'_{r}+2\,\omega \,v'}$.

Dies ist die Zentripetalbeschleunigung, die im ruhenden Bezugssystem zur betrachteten Bewegung gehört. Sie setzt sich aus drei Termen zusammen. Der erste ist die Zentripetalbeschleunigung die ein Körper erfährt, der mit dem Bezugssystem verbunden ist. Es folgen die Relativbeschleunigung und ein Term, der der Coriolisbeschleunigung entgegengesetzt ist. Das Beispiel zeigt, dass diese Aufteilung vom gewählten Bezugssystem abhängt, also willkürlich ist.

Aufgelöst nach der Radialbeschleunigung im rotierenden Bezugssystem:

${\displaystyle a'_{\text{r}}=a_{\text{r}}-a_{\text{Zp}}-2\,\omega \,v'=a_{\text{r}}+a_{\text{Zf}}+a_{\text{C}}}$.

Der zweite Term ist die Zentrifugalbeschleunigung. Sie ist entgegengesetzt gleich groß wie die Zentripetalbeschleunigung eines Körpers, der mit dem Bezugssystem verbunden ist. Der dritte Term ist die Coriolisbeschleunigung.

Keine Coriolisbeschleunigung bei Bewegung parallel zur Drehachse

Eine Bewegung eines Körpers parallel zur Rotationsachse ruft keine Corioliskraft hervor, denn zu ihrer Erklärung sind keine zusätzlichen Kräfte nötig. Z. B. sei der Fall betrachtet, dass auf einer waagerechten Drehscheibe in gewissem Abstand vom Mittelpunkt eine senkrechte Kletterstange steht, an der eine Person herabgleitet. Für sie bleibt die Zentrifugalkraft konstant, weil der Abstand von der Drehachse konstant bleibt. Die zur Wahrung des konstanten Abstands nötige Haltekraft, die von der Stange aufgebracht wird, bleibt dann auch konstant. Für einen ruhenden Beobachter ist die Abwärtsbewegung parallel zur Achse überlagert mit einer Kreisbewegung um die Achse, zusammen ist das eine Schraubenbewegung. Die für die Kreisbewegung um die Achse erforderliche Zentripetalkraft wird von der Stange ausgeübt und ist unabhängig von der Höhe und vertikalen Bewegung des Körpers.

Anders scheint es zunächst auszusehen, wenn man auf der Drehscheibe senkrecht in die Höhe hüpft oder einen Gegenstand parallel zur Drehachse hochwirft. Beim Herabfallen wird nämlich nicht der Ausgangspunkt wieder erreicht – weder in Bezug zu der Scheibe noch in Bezug zum festen Erdboden. Aber auch bei dieser Ablenkung tritt keine Corioliskraft in Erscheinung, sondern nur das zeitweise Fehlen der Haltekraft bzw. Zentripetalkraft, die im vorigen Beispiel die ganze Zeit von der Stange ausgeübt wurde. Der Körper wird dann für den rotierenden Beobachter durch die Zentrifugalkraft nach außen beschleunigt, für den ruhenden Beobachter bewegt er sich einfach geradlinig weiter mit seiner anfänglichen Momentangeschwindigkeit. Beide Beschreibungen führen zum selben Ergebnis.

Unzureichende Herleitung

Des Öfteren (sogar in manchen Lehrbüchern) wird die Corioliskraft allein mit dem Umstand veranschaulicht oder sogar begründet, dass ein Körper auf der Drehscheibe bei zunehmender Entfernung von der Drehachse eine höhere Umfangsgeschwindigkeit erhalten müsse, um sich mit der Scheibe mitzudrehen. Das ist aber keine richtige Begründung, denn sie erklärt nur die halbe Größe der Corioliskraft, wie schon die einfache Berechnung mit den Beträgen der Vektoren zeigt: Wenn der Körper bei einer konstanten radialen Geschwindigkeit ${\displaystyle v_{r}}$ in der Zeit ${\displaystyle \Delta t}$ seinen Abstand um ${\displaystyle \Delta r=v_{r}\Delta t}$ vergrößert, nimmt seine tangentiale Geschwindigkeit um ${\displaystyle \Delta v_{t}=\omega \Delta r}$ zu. Daraus ergibt sich die erforderliche Beschleunigung zu ${\displaystyle {\tfrac {\Delta v_{t}}{\Delta t}}={\tfrac {\omega \Delta r}{\Delta t}}=\omega v_{r}}$. Das ist nur halb so groß wie die wirkliche Coriolisbeschleunigung.

Der Fehler dieser ungenügenden Herleitung liegt in der inkonsistenten Behandlung der Geschwindigkeit desselben Objekts in zwei Bezugssystemen. Wenn ein Punkt im Raum am Ort ${\displaystyle {\vec {r}}}$ sich im ruhenden Bezugssystem mit der Geschwindigkeit ${\displaystyle {\vec {v}}}$ bewegt, z. B. längs der x-Achse, dann ist er im rotierenden Bezugssystem auch am Ort ${\displaystyle {\vec {r}}}$ (der Vektor hat nur andere Komponenten, damit er denselben Ort bezeichnet). Doch ist seine im rotierenden Bezugssystem zu beobachtende Geschwindigkeit ${\displaystyle {\vec {v}}'}$ nicht gleich ${\displaystyle {\vec {v}}}$, sondern ${\displaystyle {\vec {v}}'={\vec {v}}-{\vec {\omega }}\times {\vec {r}}}$, damit er auf der x-Achse bleibt, die sich selber (entgegen der Rotationsrichtung) im rotierenden Bezugssystem bewegt.

Für die Rechnung ist die Vorschrift maßgeblich, wie die zeitliche Ableitung einer Variablen relativ zu den Achsen eines rotierenden Bezugssystems zu bilden ist. Wie in der Herleitung dieser Vorschrift ersichtlich, ist für das Ableiten die Produktregel der Differentialrechnung anzuwenden, aus der sich ein zusätzlicher Summand für die zeitliche Ableitung der bewegten Basisvektoren des rotierenden Koordinatensystems ergibt. Da die Beschleunigung sich durch zweimaliges Differenzieren des Orts ergibt, ist die Produktregel zweimal anzuwenden. Der Fehler in der obigen Begründung der Corioliskraft besteht darin, dass nur die erste Ableitung richtig durchgeführt wird, bei der zweiten aber die Bewegung des Koordinatensystems unbeachtet bleibt. In Formeln lautet die Vorschrift fürs Ableiten (wobei ${\displaystyle \bullet }$ für einen beliebigen Vektor steht):

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \bullet }{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} '\bullet }{\mathrm {d} t}}+{\vec {\omega }}\times \bullet }$.

Links steht, wie schnell sich der Vektor ${\displaystyle \bullet }$ im ruhenden System ändert, rechts im ersten Term, wie diese Änderung im rotierenden System wahrgenommen wird.

Setzt man für die Leerstelle ${\displaystyle \bullet }$ den Ort ${\displaystyle {\vec {r}}(t)\ [={\vec {r}}'(t)]}$ ein, ergibt die Formel richtig (denn ${\displaystyle {\tfrac {\mathrm {d} '{\vec {r}}}{\mathrm {d} t}}={\vec {v}}'}$)

${\displaystyle {\vec {v}}={\vec {v}}'+{\vec {\omega }}\times {\vec {r}}'}$.

Leitet man diese Gleichung so, wie sie da steht, noch einmal nach der Zeit ab (für konstantes ${\displaystyle v'}$ und ${\displaystyle {\vec {\omega }}}$), ohne zu berücksichtigen, dass die besondere Vorschrift bei rotierenden Systemen erneut anzuwenden ist, erhält man für die Beschleunigung (falsch)

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} {\vec {v}}}{\mathrm {d} t}}={\vec {\omega }}\times {\frac {\mathrm {d} {\vec {r}}'}{\mathrm {d} t}}={\vec {\omega }}\times {\vec {v}}'}$.

Das ist nur die halbe Coriolisbeschleunigung.

Nur wenn man die Ableitung von ${\displaystyle {\vec {v}}}$ richtig so bildet, indem man ${\displaystyle {\vec {v}}}$ erneut in die Operatorgleichung einsetzt, erhält man den Zusatzterm mit dem Kreuzprodukt ein zweites Mal:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} {\vec {v}}}{\mathrm {d} t}}\,=\,{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\vec {v}}'\,+\,{\vec {\omega }}\times {\vec {r}}'\right)\,=\underbrace {\frac {\mathrm {d} {\vec {v}}'}{\mathrm {d} t}} _{{\vec {a}}\,'+\,{\vec {\omega }}\times {\vec {v}}\,'}\,+\,{\vec {\omega }}\times \underbrace {\left({\frac {\mathrm {d} {\vec {r}}\,'}{\mathrm {d} t}}\right)} _{{\vec {v}}\,'+\,{\vec {\omega }}\times {\vec {r}}\,'}}$

(Der zweite Summand ergibt nach dem Ausmultiplizieren zusätzlich auch die Zentrifugalbeschleunigung ${\displaystyle {\vec {\omega }}\times ({\vec {\omega }}\times {\vec {r}}')}$.)

Herleitung durch Transformation aus einem Inertialsystem

Für die Herleitung der Corioliskraft im Rahmen der Newtonschen Mechanik betrachte man ein Bezugssystem ${\displaystyle K'}$, das sich in einem Inertialsystem ${\displaystyle K}$ befindet und mit der konstanten Winkelgeschwindigkeit ${\displaystyle {\vec {\omega }}}$ rotiert. Der Koordinatenursprung des Systems ${\displaystyle K'}$ sei fest im Inertialsystem verankert, außer der Rotation trete also keine Relativbewegung auf.

Gemäß dem Zweiten Newtonschen Gesetz ist das Produkt aus Masse ${\displaystyle m}$ und Beschleunigung ${\displaystyle {\vec {a}}}$ im Inertialsystem gleich der äußeren Kraft ${\displaystyle {\vec {F}}}$ :

${\displaystyle m{\vec {a}}={\vec {F}}}$

Möchte man eine analoge Gleichung in einem rotierenden Bezugssystem aufstellen, müssen die Bewegungsgrößen im Inertialsystem durch Größen, wie sie im rotierenden Bezugssystem ${\displaystyle K'}$ zu beobachten sind, ausgedrückt werden. Diese sind der Ortsvektor ${\displaystyle {\vec {r}}'}$, die Relativgeschwindigkeit ${\displaystyle {\vec {v}}'}$ und die Relativbeschleunigung ${\displaystyle {\vec {a}}'}$. Die Geschwindigkeit ${\displaystyle {\vec {v}}}$ im Inertialsystem setzt sich aus der Relativgeschwindigkeit und der Umlaufgeschwindigkeit ${\displaystyle {\vec {\omega }}\times {\vec {r}}'}$ aus der Rotationsbewegung zusammen. Dies ergibt sich aus der zeitlichen Ableitung des Ortsvektors ${\displaystyle {\vec {r}}={\vec {r}}'}$, daher gilt:

${\displaystyle {\vec {v}}={\frac {\mathrm {d} {\vec {r}}}{\mathrm {d} t}}={\vec {v}}'+{\vec {\omega }}\times {\vec {r}}'\,.}$

Da allgemein für die vollständige Ableitung eines Vektors ${\displaystyle {\vec {x}}'}$ in K' gilt (Herleitung im Artikel Beschleunigtes Bezugssystem):

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\vec {x}}'={\frac {\mathrm {d'} }{\mathrm {d} t}}{\vec {x}}'+{\vec {\omega }}\times {\vec {x}}'}$,

ergibt sich die Beschleunigung ${\displaystyle {\vec {a}}}$ im Inertialsystem in gleicher Weise als zeitliche Ableitung der Geschwindigkeit ${\displaystyle {\vec {v}}}$.

${\displaystyle {\vec {a}}=\underbrace {{\vec {a}}'+{\vec {\omega }}\times {\vec {v}}'} +\underbrace {{\vec {\omega }}\times ({\vec {v}}'+{\vec {\omega }}\times {\vec {r}}')} }$

Die Terme über den geschweiften Klammern sind die Ableitungen der beiden Summanden Relativgeschwindigkeit und Umlaufgeschwindigkeit. Ausmultiplizieren, Zusammenfassen und Auflösen nach der Relativbeschleunigung im rotierenden System ${\displaystyle {\vec {a}}'}$ ergibt:

${\displaystyle {\vec {a}}'={\vec {a}}-{\vec {\omega }}\times ({\vec {\omega }}\times {\vec {r}}')-2{\vec {\omega }}\times {\vec {v}}'\,.}$

Multipliziert man die Gleichung mit der Masse und setzt gemäß dem zweiten Newtonschen Gesetz ${\displaystyle m{\vec {a}}}$ gleich der äußeren Kraft ${\displaystyle {\vec {F}}}$, erhält man die Bewegungsgleichung im rotierenden Bezugssystem:

${\displaystyle m{\vec {a}}'={\vec {F}}-m{\vec {\omega }}\times ({\vec {\omega }}\times {\vec {r}}')-2m{\vec {\omega }}\times {\vec {v}}'\,.}$

In dieser Gleichung finden sich die äußere Kraft, die Zentrifugalkraft und als letzter Term die Corioliskraft ${\displaystyle {\vec {F}}_{\mathrm {C} }}$ wieder:

${\displaystyle {\vec {F}}_{\mathrm {C} }=-2m\,{\vec {\omega }}\times {\vec {v}}'}$

Fasst man die äußere Kraft und die Trägheitskräfte zu der im rotierenden Bezugssystem wirksamen Kraft ${\displaystyle {\vec {F}}\,'}$ zusammen, sind in der Bewegungsgleichung formal äußere Kraft und Trägheitskräfte nicht mehr unterscheidbar:

${\displaystyle m{\vec {a}}'={\vec {F}}\,'}$

Die Herleitung im mit konstanter Winkelgeschwindigkeit rotierenden Bezugssystem dient der Vereinfachung. Das Ergebnis ist aber ohne Einschränkung sowohl für die Zentrifugalkraft als auch für die Corioliskraft auf das beschleunigte Bezugssystem übertragbar.

Herleitung mit dem Lagrange-Formalismus

Im Lagrange-Formalismus ist die Lagrangefunktion ${\displaystyle L}$ die Differenz aus kinetischer Energie und potentieller Energie. Unter Vernachlässigung eines Potentials ist

${\displaystyle L={\tfrac {1}{2}}m{\vec {v}}^{2}={\tfrac {1}{2}}m({\vec {v}}'+{\vec {\omega }}\times {\vec {r}}')^{2}\,.}$

Nach den Euler-Lagrange-Gleichungen ist

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L}{\partial {\vec {v}}}}-{\frac {\partial L}{\partial {\vec {r}}}}=0\,.}$

Da die Euler-Lagrange-Gleichungen invariant unter einer Koordinatentransformation sind, ist irrelevant, ob nach den Größen im bewegten Bezugssystem ${\displaystyle K'}$ oder nach den Größen im Inertialsystem ${\displaystyle K}$ abgeleitet wird. Es folgt also im bewegten Bezugssystem für die beiden Terme

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L}{\partial {\vec {v}}'}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}m({\vec {v}}'+{\vec {\omega }}\times {\vec {r}}')=m{\vec {a}}'+m{\dot {\vec {\omega }}}\times {\vec {r}}'+m{\vec {\omega }}\times {\vec {v}}'}$

und

${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial {\vec {r}}'}}=m{\vec {v}}'\times {\vec {\omega }}+m({\vec {\omega }}\times {\vec {r}}')\times {\vec {\omega }}\,.}$

In die Euler-Lagrange-Gleichung eingesetzt und umgestellt nach ${\displaystyle m{\vec {a}}'}$ ist

${\displaystyle m{\vec {a}}'=-m{\dot {\vec {\omega }}}\times {\vec {r}}'-m{\vec {\omega }}\times ({\vec {\omega }}\times {\vec {r}}')-2m{\vec {\omega }}\times {\vec {v}}'}$

die Auflistung aller Kräfte im rotierenden Bezugssystem, die zusätzlich zu den durch das Potential bereits im Inertialsystem bewirkten Kräften auftreten.

Wie in der kinematischen Herleitung ist der erste Term die Eulerkraft, der zweite die Zentrifugalkraft und der letzte Term die Corioliskraft, ${\displaystyle {\vec {F}}_{\mathrm {C} }=-2m{\vec {\omega }}\times {\vec {v}}'}$. Die Gleichung zeigt, dass die Eulerkraft und die Zentrifugalkraft im rotierenden System nur vom Ort des Körpers abhängen, der durch den Ortsvektor ${\displaystyle {\vec {r}}'}$ angegeben wird, gleich ob der Körper ruht oder sich bewegt. Die Corioliskraft hingegen wirkt nur auf sich bewegende Körper (Geschwindigkeitsvektor ${\displaystyle {\vec {v}}'}$) und ist vom Ort unabhängig, die Ablenkung erfolgt auf jedem Ort des rotierenden Systems in gleicher Weise.

Da die Corioliskraft die Bedingung für actio und reactio nicht erfüllt und nur im rotierenden Bezugssystem angenommen werden muss, wird sie als eine Trägheitskraft bezeichnet. Formal gilt die Newtonsche Bewegungsgleichung ${\displaystyle m{\vec {a}}={\vec {F}}}$ also auch im rotierenden Bezugssystem, wenn Scheinkräfte berücksichtigt werden. Im Gegensatz zur Zentrifugalkraft besteht die Wirkung der Corioliskraft dahingehend, dass der bewegte Körper tendenziell zum Ausgangspunkt der Bewegung zurückgebracht wird.

Da die Corioliskraft immer senkrecht zur Bewegungsrichtung des Körpers steht, verrichtet sie an dem Körper keine Arbeit.

Trägheitskreis bei alleiniger Wirkung der Corioliskraft

Wenn die Zentrifugalkraft ${\displaystyle -m{\vec {\omega }}\times ({\vec {\omega }}\times {\vec {r}}')}$ dauernd durch eine äußere Kraft kompensiert wird, vereinfacht sich die Bewegungsgleichung zu:

${\displaystyle {\vec {a}}'=-2{\vec {\omega }}\times {\vec {v}}'}$

Betrachtet man nur die Komponente ${\displaystyle v_{r}}$ der Relativgeschwindigkeit senkrecht zur Drehachse, ergibt sich im rotierenden Bezugssystem eine gleichförmige Kreisbewegung, entgegengesetzt zur Drehung des Bezugssystems mit der Winkelgeschwindigkeit ${\displaystyle 2\omega }$. Die Coriolisbeschleunigung ${\displaystyle a_{r}}$ ist die zugehörige Radialbeschleunigung. Der Radius ${\displaystyle r^{*}}$ des Kreises, der als Trägheitskreis bezeichnet wird, folgt aus der Gleichsetzung:

${\displaystyle a_{r}={\frac {v_{r}^{2}}{r^{*}}}=2\omega v_{r}}$

zu

${\displaystyle r^{*}={\frac {v_{r}}{2\omega }}}$.

Diese Bedingungen sind auf der Erde näherungsweise gegeben, da die Resultierende aus Zentrifugalkraft und Gravitationskraft senkrecht zur Erdoberfläche gerichtet ist. Trägheitskreise können daher bei Luft- und Meeresströmungen auftreten. Für Luftströmungen bei denen die Kraft aus dem Druckgradienten und die Reibungskraft im Gleichgewicht stehen, ist ${\displaystyle r^{*}}$ der lokale Krümmungsradius eines Windpartikels.

Im kleinen Maßstab kann die Zentrifugalkraft auch in einem rotierenden Paraboloid kompensiert werden, wie das folgende Beispiel zeigt.

Demonstrationsexperiment

Für eine Demonstration des Trägheitskreises stellt man eine gekrümmte Fläche in Form eines Rotationsparaboloids her, indem man in einer rotierenden Schale eine Flüssigkeit erstarren lässt. Die Oberfläche ist dann die gesuchte Äquipotentialfläche für die Summe aus Gravitation und Zentrifugalpotential, wenn man die Schale mit der beim Erstarren gewählten Rotationsgeschwindigkeit rotieren lässt. Im ruhenden Bezugssystem beschreibt ein Körper auf dieser Fläche aufgrund der Schwerkraft eine Ellipse oder, wenn er anfangs in Ruhe war, eine harmonische Schwingung durch den Mittelpunkt.

Rotiert die Schale gerade mit der beim Erstarren herrschenden Winkelgeschwindigkeit, dann bleibt ein mitrotierender Körper an seinem Ort auf der Fläche, da im Bezugssystem der Schale die oberflächenparallele Komponente ${\displaystyle a_{\text{z(par)}}}$ der Zentrifugalbeschleunigung ${\displaystyle a_{z}}$ die zum Zentrum wirkende Komponente der Schwerebeschleunigung ${\displaystyle g_{\text{par}}}$ ausgleicht. Bewegt sich nun der Körper auf der rotierenden Schale, wird er einen Trägheitskreis („Inertial-Kreis“) beschreiben, der ausschließlich durch die Corioliskraft verursacht wird. Sein Umlaufsinn ist der Drehbewegung der Schale entgegengesetzt, und die Winkelgeschwindigkeit der Kreisbewegung ist doppelt so groß wie die des rotierenden Bezugssystems. Vom ruhenden Bezugssystem aus gesehen erscheint dieser Trägheitskreis wie die oben erwähnte elliptische Schwingung um den Mittelpunkt der Fläche.

Körper frei von äußeren Kräften auf der Drehscheibe

Das Experiment entspricht dem oben dargestellten Einfachen Beispiel. Vom Mittelpunkt startet ein Körper mit der Geschwindigkeit ${\displaystyle {\vec {v}}}$ auf der Scheibe. Von der Scheibe soll er keine horizontalen Kräfte erfahren, etwa wie bei einem geworfenen Ball. Der Körper bewegt sich daher von außen betrachtet mit der konstanten (Horizontal-)Geschwindigkeit ${\displaystyle {\vec {v}}}$. Die Relativgeschwindigkeit bezüglich der Scheibe ist dann die Differenz zwischen der Geschwindigkeit ${\displaystyle {\vec {v}}}$ und der Umlaufgeschwindigkeit der Scheibe am betreffenden Punkt ${\displaystyle {\vec {r}}={\vec {r}}'}$:

${\displaystyle {\vec {v}}'={\vec {v}}-{\vec {\omega }}\times {\vec {r}}}$.

Die beiden Terme auf der rechten Seite sind orthogonal, denn wegen des Starts am Mittelpunkt sind ${\displaystyle {\vec {v}}}$ und ${\displaystyle {\vec {r}}}$ parallel. Daher ist der erste die radiale Komponente der Relativgeschwindigkeit (${\displaystyle {\vec {v}}'_{r}}$), der zweite die tangentiale Komponente (${\displaystyle {\vec {v}}'_{t}}$):

${\displaystyle {\vec {v}}'_{r}={\vec {v}}\quad ,\qquad {\vec {v}}'_{t}=-{\vec {\omega }}\times {\vec {r}}'}$.

Die nach innen gerichtete Corioliskraft ${\displaystyle {\vec {F}}_{\mathrm {C,r} }}$ auf Grund der tangentialen Geschwindigkeit ${\displaystyle v'_{t}}$ ist doppelt so groß wie die nach außen gerichtete Zentrifugalkraft.

${\displaystyle {\vec {F}}_{\mathrm {C,r} }=-2m\,{\vec {\omega }}\times {\vec {v}}'_{t}=2m\,{\vec {\omega }}\times ({\vec {\omega }}\times {\vec {r}}')}$

Beide radial gerichteten Scheinkräfte addieren sich zur Kraft ${\displaystyle {\vec {F}}_{r}}$ zum Mittelpunkt:

${\displaystyle {\vec {F}}_{\mathrm {r} }=m{\vec {\omega }}\times ({\vec {\omega }}\times {\vec {r}}')}$

Die Bewegungsgleichung im rotierenden Bezugssystem vereinfacht sich damit zu:

${\displaystyle m{\vec {a}}'={\vec {F}}_{\mathrm {r} }-2m{\vec {\omega }}\times {\vec {v}}'_{r}\,.}$

Der erste Term führt zu einer gleichförmigen Kreisbewegung im rotierenden Bezugssystem, da ${\displaystyle {\vec {F}}_{\mathrm {r} }}$ genauso groß ist wie diejenige Kraft, die benötigt würde, wenn der Körper mit der Scheibe fest verbunden wäre. Der zweite Term ist die Corioliskraft auf Grund der radialen Geschwindigkeit deren Betrag konstant ist und mit dem Betrag der Geschwindigkeit im Inertialsystem übereinstimmt. Sie beinhaltet einerseits die Beschleunigung, die zur Steigerung der Umfangsgeschwindigkeit erforderlich ist, andererseits die Beschleunigung, die für die konstante Richtung der Geschwindigkeit im Inertialsystem sorgt. Die Überlagerung der Kreisbewegung mit einer konstanten Radiusvergrößerung ergibt eine Archimedische Spirale.

Da der Vektor der Winkelgeschwindigkeit senkrecht zur Scheibe steht, kann mit den Beträgen der Vektoren gerechnet werden. Die seitliche Abweichung ${\displaystyle d}$ an der Stelle mit dem Radius ${\displaystyle r}$ berechnet sich mit der Coriolisbeschleunigung ${\displaystyle 2\omega \cdot v'_{r}=2\omega \cdot v}$ zu:

${\displaystyle d=\omega \cdot v\cdot t^{2}=\omega \,t\cdot v\cdot t=\alpha \cdot r}$.

Da sich der Körper auf der Scheibe nach der Zeit ${\displaystyle t}$ im Abstand ${\displaystyle r}$ vom Mittelpunkt befindet und sich die Scheibe um den Winkel ${\displaystyle \alpha }$ gedreht hat, ist die seitliche Abweichung somit gleich der dazu gehörenden Bogenlänge. Soll ein mit der Scheibe verbundener Punkt erreicht werden, muss also mit dem gleichen Winkel vorgehalten werden.

Unabhängig von der Zeit ist die geometrische Bahn gegeben in Polarkoordinaten:

${\displaystyle \alpha ={\frac {\omega }{v}}\cdot r}$ .

Teufelsrad

Bei einer gleichförmigen Bewegung auf einer Drehscheibe ist die Relativbeschleunigung Null.

${\displaystyle {\vec {F}}-m{\vec {\omega }}\times ({\vec {\omega }}\times {\vec {r}}')-2m{\vec {\omega }}\times {\vec {v}}'={\vec {0}}}$.

Diese Gleichung beschreibt das „dynamische Gleichgewicht“ zwischen der äußeren Kraft und den beiden Trägheitskräften Zentrifugalkraft und Corioliskraft. Beim Versuch, sich radial auf das Zentrum der Scheibe zuzubewegen, stehen Zentrifugalkraft und Corioliskraft senkrecht aufeinander und könnten daher unterschieden werden. (Lässt man sich aus der radialen Richtung ablenken, bekommt auch die Corioliskraft eine radiale Komponente, die sich zur Zentrifugalkraft addiert.) Neben dem Spaßfaktor werden so auch Erfahrungen mit der Trägheit vermittelt.

Dieses Gleichgewicht zwischen der äußeren Kraft senkrecht zur Bewegungsrichtung und der Corioliskraft tritt auch bei Luftströmungen beim geostrophischen Wind auf. Die äußere Kraft ist dort die Kraft aus dem Druckgradient. In der Technik tritt dieser Effekt z. B. beim Kran auf, wenn sich dieser dreht und gleichzeitig die Laufkatze in Bewegung ist. Quer zur Laufkatzenbewegung wirkt eine äußere Kraft. Deren Trägheitswiderstand ist die Corioliskraft.

Bewegung auf der Erdoberfläche und Coriolisparameter

Jedes Objekt, das sich auf der Erde bewegt, wird durch die Coriolisbeschleunigung abgelenkt, da die Erde ein rotierendes System darstellt. Ausgenommen sind lediglich Bewegungen parallel zur Erdachse, z. B. an den Polen die Bewegungen nach oben oder nach unten, am Äquator die Bewegungen genau nach Norden oder nach Süden. Die Beeinflussung der Bewegungsrichtung durch die Coriolisbeschleunigung kann man sich am leichtesten an einer kugelförmigen Erdfigur klarmachen; für das Studium von Bewegungsabläufen unter dem Einfluss der beteiligten Kräfte ist ein genaueres Modell der Erdform heranzuziehen (vgl. Didaktische Aspekte).

Für die Betrachtung von Bewegungen in beliebiger geographischer Breite ${\displaystyle \varphi }$ ist es sinnvoll, den Vektor der Winkelgeschwindigkeit der Erde ${\displaystyle {\vec {\omega }}}$ in eine horizontale Komponente in Süd-Nord-Richtung ${\displaystyle {\vec {\omega }}_{\text{N}}}$ und eine vertikale Komponente ${\displaystyle \ {\vec {\omega }}_{\text{vert}}}$ zu zerlegen. Es gilt dann:

${\displaystyle {\vec {\omega }}_{\text{N}}=\omega \cos \varphi \cdot {\vec {e}}_{N}}$

${\displaystyle {\vec {\omega }}_{\text{vert}}=\omega \sin \varphi \cdot {\vec {e}}_{\text{vert}}}$

Das begleitende Dreibein erlaubt es, den ebenen Drehscheibenversuch auf jeden Punkt der dreidimensionalen Erde zu übertragen.

Zur Berechnung der Corioliskraft bei Bewegungen parallel zur Erdoberfläche ist es vorteilhaft, die für einen Ort in einer bestimmten geographischen Breite ${\displaystyle \varphi }$ konstanten Werte zu einem Coriolisparameter zusammenzufassen:

${\displaystyle \textstyle f_{\mathrm {C} }=2\,\omega \,\sin \varphi }$

Die Erdrotation (eine Umdrehung in 23 Stunden 56 Minuten 4 Sekunden = 1 Sterntag = 86164 s) erfolgt mit einer konstanten Winkelgeschwindigkeit von

${\displaystyle \omega ={\frac {2\pi }{86164\,\mathrm {s} }}=7{,}2921\cdot 10^{-5}\,{\mathrm {rad\,s} }^{-1}}$.

In mittleren nördlichen Breiten liegt der Coriolisparameter damit in der typischen Größenordnung von ${\displaystyle \textstyle f_{\mathrm {C} }\approx \,10^{-4}\,{\mathrm {rad\,s} }^{-1}}$.

Körper, die sich mit der Geschwindigkeit ${\displaystyle {\vec {v}}_{\parallel }}$ parallel zur Oberfläche der Erde bewegen, werden durch die Coriolisbeschleunigung ${\displaystyle {\vec {a}}_{\parallel }}$ seitlich und die Coriolisbeschleunigung ${\displaystyle {\vec {a}}_{\perp }}$ senkrecht zur Erdoberfläche abgelenkt:

${\displaystyle {\vec {a}}_{\parallel }=-2\,({\vec {\omega }}_{\text{vert}}\times {\vec {v}}_{\parallel })}$

${\displaystyle {\vec {a}}_{\perp }=-2\,({\vec {\omega }}_{\text{N}}\times {\vec {v}}_{\parallel })}$

Die Komponente in Richtung der Schwerebeschleunigung ist am Äquator am größten, aber um Größenordnungen kleiner. Die Schwerkraft wird bei Bewegung nach Westen mit technisch typischen Geschwindigkeiten (z. B. 100 km/h) nur einige Promille erhöht, bei Bewegung nach Osten erniedrigt. Die Komponente senkrecht zur Erdoberfläche ist deshalb praktisch nur bei besonderen Bedingungen bemerkbar (siehe Eötvös-Effekt). In den Geowissenschaften wird sie fast durchgängig vernachlässigt, und der Begriff Corioliskraft bezeichnet ausschließlich die Komponente parallel zur Erdoberfläche.

Bewegungen parallel zur Erdoberfläche

Der Erdkörper hat im Laufe der Erdgeschichte durch Massenverlagerung angenähert die Form eines Rotationsellipsoids (= Sphäroids) angenommen. Die Schwerebeschleunigung steht senkrecht zur Oberfläche und resultiert aus dem Zusammenwirken von Gravitationsbeschleunigung ${\displaystyle g*}$ und Zentrifugalbeschleunigung ${\displaystyle a_{z}}$, deren jeweilige horizontale Komponenten ${\displaystyle g*_{\text{hor}}}$ und ${\displaystyle a_{\text{z-hor}}}$ einander ausbalancieren. Diese Kompensation der Zentrifugalbeschleunigung hat zur Folge, dass Bewegungsablenkungen durch die Erdrotation nur noch durch die Coriolisbeschleunigung bestimmt werden.

Die Coriolisbeschleunigung parallel zur Erdoberfläche spielt bei großräumigen atmosphärischen und ozeanischen Zirkulationen eine wichtige Rolle. Mit dem Coriolisparameter ${\displaystyle \textstyle f_{\mathrm {C} }=2\,\omega \,\sin \varphi }$ hat die Coriolisbeschleunigung ${\displaystyle {\vec {a}}_{\parallel }=-2\,({\vec {\omega }}_{\text{vert}}\times {\vec {v}}_{\parallel })}$ den Betrag:

${\displaystyle a_{\parallel }=f_{\mathrm {C} }\,v_{\parallel }}$

Diese Beschleunigung führt auf der Nordhalbkugel zu einer Richtungsänderung der Bewegung nach rechts, auf der Südhalbkugel nach links. Sie verschwindet am Äquator und ist maximal an den Polen.

Teilt man die Geschwindigkeit ${\displaystyle {\vec {v}}_{\parallel }}$ in Komponenten in Richtung Ost bzw. Nord auf, so ergeben die entsprechenden Komponenten der Coriolisbeschleunigung durch Ausführung des Kreuzprodukts in den Koordinatenrichtungen x=O, y=N zu:

${\displaystyle {\vec {a}}_{\parallel }={\begin{pmatrix}a_{\text{O}}\\a_{\text{N}}\end{pmatrix}}=f_{\mathrm {C} }{\begin{pmatrix}v_{\text{N}}\\-v_{\text{O}}\end{pmatrix}}}$

Die Beschleunigungen, die sich bei einem Coriolisparameter von ${\displaystyle \textstyle f_{\mathrm {C} }=10^{-4}\,{\mathrm {rad\,s} }^{-1}}$ ergeben, sind sehr gering. Selbst bei einem Geschütz, dessen Projektil eine horizontale Geschwindigkeit von 1000 m/s besitzt, ergibt sich: ${\displaystyle a_{\parallel }=0{,}1\,{\mathrm {m\,s} }^{-2}}$. Bei einer Entfernung von 40 km errechnet sich mit den angenommenen Werten eine Abweichung von lediglich 80 m. Wesentlich größere Effekte treten bei meteorologischen Phänomenen auf, bei denen eine äußerst geringe Beschleunigung sehr lang andauert.

Bei Bewegungen in Drehrichtung der Erde, d. h. nach Osten, bewirkt der Einfluss der vertikalen Komponente ${\displaystyle a_{\perp }}$ der Coriolisbeschleunigung theoretisch außerhalb der engeren Polargebiete eine leichte Anhebung, bei Bewegungen in die andere Himmelsrichtung eine leichte Absenkung; dieser Effekt wird als Eötvös-Effekt bezeichnet.

${\displaystyle a_{\perp }=2\,\omega \,\cos \varphi \cdot v_{\text{O}}}$

Nord-Süd-gerichtete Bewegungen werden nicht vertikal beeinflusst. Dieser Effekt ist aber meist vernachlässigbar, da sich die gleichgerichtete Schwerebeschleunigung wesentlich stärker bemerkbar macht. Die Vertikalkomponente der Corioliskraft spielt in der Praxis nur als Korrekturglied bei Präzisionsmessungen des Erdschwerefeldes eine Rolle. Sie verschwindet an den Polen und ist maximal am Äquator. Sie macht z. B. ein Flugzeug, das dort mit einer Geschwindigkeit von ca. 1000 km/h nach Osten fliegt, um annähernd ein Tausendstel seines Gewichts leichter – fliegt es nach Westen, wird es entsprechend schwerer.

Vertikale Bewegungen

Wenn ein Körper aus der Höhe ${\displaystyle h}$ im freien Fall herunterfällt, trifft er nicht genau auf dem Punkt auf, der sich vom Startpunkt aus in Lotrichtung unter ihm befindet, sondern er wird während der Fallzeit von der Coriolisbeschleunigung abgelenkt. Da die Vektoren senkrecht aufeinander stehen, ergibt das Kreuzprodukt in einem kartesischen Koordinatensystem mit x=Ost eine Ostablenkung:

${\displaystyle {\vec {a}}_{\parallel }=-2\,{\vec {\omega }}_{\text{N}}\times {\vec {v}}_{\perp }={\begin{pmatrix}a_{\text{Ost}}\\a_{\text{Nord}}\\0\end{pmatrix}}=-2\omega \cos \varphi \,{\begin{pmatrix}v\\0\\0\end{pmatrix}}}$

Die Abweichung wird am Äquator (${\displaystyle \varphi =0^{\circ }}$) maximal und ist an den Polen (${\displaystyle \varphi =\pm 90^{\circ }}$) Null. Mit Einsetzung von ${\displaystyle v=-g\,t}$ für den freien Fall erhält man eine Abweichung nach Osten ${\displaystyle d_{\text{Ost}}}$ durch zweimalige Integration nach der Zeit ${\displaystyle t}$:

${\displaystyle a_{\text{Ost}}=2\,\omega v\cos \varphi =2\,\omega g\,t\cos \varphi }$

${\displaystyle v_{\text{Ost}}=2\,\omega g\cos \varphi \int t{\text{d}}t=\omega g\,\cos \varphi \,t^{2}}$

${\displaystyle d_{\text{Ost}}=\omega g\,\cos \varphi \int t^{2}{\text{d}}t={\frac {1}{3}}\omega g\,\cos \varphi \,t^{3}}$

Mit der Fallzeit ${\displaystyle t={\sqrt {\frac {2h}{g}}}}$ erhält man:

${\displaystyle d_{\text{Ost}}={\frac {1}{3}}\omega g\,\cos \varphi \,t^{2}{\sqrt {\frac {2h}{g}}}={\frac {2}{3}}\omega \,\cos \varphi \,h{\sqrt {\frac {2h}{g}}}}$

Die Ostabweichung führt auf der Nordhalbkugel wiederum zu einer sehr geringen Südabweichung, die aber sowohl am Äquator als auch am Pol Null wird. Auf der Südhalbkugel wäre entsprechend eine Nordabweichung zu erwarten:

${\displaystyle d_{\text{Süd}}={\frac {2}{3}}\omega ^{2}\cos \varphi \cdot \sin \varphi \cdot {\frac {h^{2}}{g}}={\frac {1}{3}}\omega ^{2}\sin 2\varphi \cdot {\frac {h^{2}}{g}}}$

Zusammenfassung der Ablenkungsrichtungen auf der Erde

Die Ausdrücke für die Komponenten der Coriolisbeschleunigung gelten für den gesamten Erdkörper in gleicher Weise. Die Richtungsangaben sind vom Standort des Beobachters in seiner jeweiligen geographischen Breite ${\displaystyle \varphi }$ aus gesehen. Die mittlere Spalte beschreibt den Eötvös-Effekt.

Auf der Südhemisphäre ist der Coriolisparameter negativ. Daraus resultiert für den Beobachter auf der Südhemisphäre bei horizontalen Bewegungen eine Abweichung nach links.

Beim senkrechten Wurf nach oben zeigt sich eine Ablenkung nach West. Beim Wurf mit anschließendem Freien Fall dürfen jedoch beide Ablenkungsrichtungen nicht nacheinander addiert werden; dieser Fall wird im Kapitel „Das Gedankenexperiment von Mersenne“ abgehandelt.

Coriolisbeschleunigung auf der Erde in Abhängigkeit von der geographischen Breite

Geographische Breite φ	horizontale Bewegung (in jede Richtung)		horizontale Bewegung (nach Ost / West)		Freier Fall / Aufstieg
	horizontale Ablenkung		vertikale Ablenkung		horizontale Ablenkung
	Gleichung	Richtung	Gleichung	Richtung	Gleichung	Richtung
Nordpol (90°N)	${\displaystyle {\vec {a}}_{\parallel }=f_{\mathrm {C} }{\begin{pmatrix}v_{\text{N}}\\-v_{\text{O}}\end{pmatrix}}}$	rechts	–	–	–	–
Nordhemisphäre (0° < φ < 90°N)	${\displaystyle {\vec {a}}_{\parallel }=f_{\mathrm {C} }{\begin{pmatrix}v_{\text{N}}\\-v_{\text{O}}\end{pmatrix}}}$	rechts	${\displaystyle a_{\perp }=2\,\omega \cos \varphi \cdot v_{\mathrm {O} }}$	oben / unten	${\displaystyle a_{\mathrm {O} }=-2\omega \cos \varphi \,v_{\perp }}$	Ost / West
Äquator (0°)	–	–	${\displaystyle a_{\perp }=2\,\omega \cos \varphi \cdot v_{\mathrm {O} }}$	oben / unten	${\displaystyle a_{\mathrm {O} }=-2\omega \cos \varphi \,v_{\perp }}$	Ost / West
Südhemisphäre (0° < φ < 90°S)	${\displaystyle {\vec {a}}_{\parallel }=f_{\mathrm {C} }{\begin{pmatrix}v_{\text{N}}\\-v_{\text{O}}\end{pmatrix}}}$	links	${\displaystyle a_{\perp }=2\,\omega \cos \varphi \cdot v_{\mathrm {O} }}$	oben / unten	${\displaystyle a_{\mathrm {O} }=-2\omega \cos \varphi \,v_{\perp }}$	Ost / West
Südpol (90°S)	${\displaystyle {\vec {a}}_{\parallel }=f_{\mathrm {C} }{\begin{pmatrix}v_{\text{N}}\\-v_{\text{O}}\end{pmatrix}}}$	links	–	–	–	–

Didaktische Aspekte

Corioliskraft und Erdmagnetismus

Die auffällige Nähe der magnetischen Erdachse zur Rotationsachse der Erde hat die Annahme eines Einflusses der Rotation auf das Erdmagnetfeld nahegelegt. Nach den heutigen Modellvorstellungen der Magnetohydrodynamik resultiert dieses aus dem Zusammenwirken von Konvektions- und Induktionsvorgängen in elektrisch leitfähigem metallischen Material, das im äußeren Erdkern auf Grund von Temperaturgradienten in Strömung versetzt wird. Dadurch wird ein Magnetfeld induziert, so dass ähnlich wie beim dynamoelektrischen Prinzip durch positive Rückkopplung ein sich selbst erhaltender Dynamo („Geodynamo“) entsteht. Im Zusammenwirken mit anderen Kräften entwickeln sich unter dem Einfluss der Corioliskraft im äußeren Erdkern walzenförmige Strudel, wodurch ein dipolares Magnetfeld entstehen kann.