Die Rossi-Verteilung ist die Verteilung des Maximums von zwei stochastisch unabhängigen Gumbel-verteilten Zufallsvariablen. Da die Gumbelverteilung eine Extremwertverteilung vom Typ I ist, die als Grenzverteilung des Maximums stochastisch unabhängiger und identisch verteilter Zufallsvariablen auftritt, kann die Rossi-Verteilung als eine Extremwertverteilung in einem weiteren Sinn aufgefasst werden. Sie wird auch als Zwei-Komponenten-Extremwertverteilung (engl. two component extreme value distribution, TCEV) bezeichnet.

Sie wird vor allem in der Hochwasseranalyse verwendet, wenn zwei Einflussfaktoren mit jeweils eigenen Extremwertverteilungen vorliegen.

Definition

Eine stetige reellwertige Zufallsvariable ${\displaystyle X}$ genügt einer Rossi-Verteilung mit den Parametern ${\displaystyle c_{1}\in \mathbb {R} ,c_{2}\in \mathbb {R} ,d_{1}>0,d_{2}>0}$, wenn sie die Verteilungsfunktion

${\displaystyle F(x)=\exp \left(-e^{-{\frac {x-c_{1}}{d_{1}}}}\right)\exp \left(-e^{-{\frac {x-c_{2}}{d_{2}}}}\right)\quad {\text{für }}x\in \mathbb {R} }$

besitzt.

Eigenschaften

Die oben angegebene Verteilungsfunktion ${\displaystyle F}$ einer Rossi-Verteilung ist das Produkt von zwei Verteilungsfunktionen

${\displaystyle F_{j}(x)=\exp \left(-e^{-{\frac {x-c_{j}}{d_{j}}}}\right),\quad j=1,2,}$

die jeweils zu einer Gumbel-Verteilung mit dem Lageparameter ${\displaystyle c_{j}}$ und dem Skalenparameter ${\displaystyle d_{j}}$ gehören. Für zwei stochastisch unabhängige Zufallsvariablen ${\displaystyle X_{1}}$ und ${\displaystyle X_{2}}$ mit den Verteilungsfunktion ${\displaystyle F_{1}}$ und ${\displaystyle F_{2}}$ hat die Zufallsvariable ${\displaystyle X=\max\{X_{1},X_{2}\}}$ die Verteilungsfunktion ${\displaystyle F=F_{1}F_{2}}$, da

${\displaystyle F(x)=P(X\leq x)=P(\max\{X_{1},X_{2}\}\leq x)=P(X_{1}\leq x,X_{2}\leq x)=P(X_{1}\leq x)P(X_{2}\leq x)=F_{1}(x)F_{2}(x)}$.

Die Rossi-Verteilung ist also die Verteilung des Maximums von zwei stochastisch unabhängigen Gumbel-verteilten Zufallsvariablen.

Eine Rossi-verteilte Zufallsvariable hat die Wahrscheinlichkeitsdichte

${\displaystyle f(x)=\left({\frac {1}{d_{1}}}e^{\frac {x-c_{1}}{d_{1}}}+{\frac {1}{d_{2}}}e^{\frac {x-c_{2}}{d_{2}}}\right)\exp \left(-e^{-{\frac {x-c_{1}}{d_{1}}}}\right)\exp \left(-e^{-{\frac {x-c_{2}}{d_{2}}}}\right)\quad {\text{für }}x\in \mathbb {R} \;.}$

Es wird auch die alternative Parametrisierung

${\displaystyle F(x)=\exp \left(-\lambda _{1}e^{-{\frac {x}{d_{1}}}}-\lambda _{2}e^{-{\frac {x}{d_{2}}}}\right)}$

mit den Parametern ${\displaystyle \lambda _{1}>0,\lambda _{2}>0,d_{1}>0,d_{2}>0}$ verwendet, die sich mit ${\displaystyle \lambda _{j}=\exp(c_{j}/d_{j})}$ für ${\displaystyle j=1,2}$ ergibt.

Einzelnachweise

1. ↑ Fabio Rossi, Mauro Fiorentino, Pasquale Versace: Two‐component extreme value distribution for flood frequency analysis. In: Water Resources Research. Band 20, Nr. 7, 1984, S. 847–856. 
2. 1 2 3 Vijay P. Singh: Two-Component Extreme Value Distribution. In: Entropy-Based Parameter Estimation in Hydrology. Band 30. Springer Netherlands, Dordrecht 1998, ISBN 978-90-481-5089-2, S. 347–362, doi:10.1007/978-94-017-1431-0_22.