Verein

Rune Dahmke begann das Handballspielen beim SV Mönkeberg und wechselte 2008 zum THW Kiel. In der Saison 2012/13 war Dahmke mit einem Doppelspielrecht ausgestattet, er spielte in der 3. Liga beim TSV Altenholz und in der Champions League für den THW Kiel, wo er am 20. Februar 2013 beim 28:25-Auswärtssieg über den rumänischen Klub HCM Constanța 2 ½ Minuten eingesetzt wurde. Mit Altenholz gelang ihm zur Saison 2013/14 der Aufstieg in die 2. Liga. Ab der Saison 2013/14 gehörte er offiziell zum Bundesliga-Kader des THW, spielte aber auch weiterhin beim TSV Altenholz. Zur Saison 2014/15 unterschrieb er einen Zweijahresvertrag beim THW Kiel, wo er als Nachfolger des zum FC Barcelona gewechselten Guðjón Valur Sigurðsson auf Linksaußen spielt. 2014, 2015, 2020, 2021, 2022 und 2023 gewann er mit den Zebras den DHB-Supercup, 2015, 2020, 2021 und 2023 die deutsche Meisterschaft, 2017, 2019 und 2022 den DHB-Pokal, 2019 den EHF-Pokal sowie 2020 die EHF Champions League.

Nationalmannschaft

Im November 2015 wurde Dahmke von Nationaltrainer Dagur Sigurðsson in den Kader der deutschen Nationalmannschaft für den Supercup gegen Brasilien, Serbien und Slowenien berufen. Am 6. November 2015 kam er in der Flensburger Campushalle zu seinem ersten Einsatz beim 29:20-Sieg über Brasilien, zu dem er einen Treffer beisteuerte. Bei der Europameisterschaft 2016 in Polen wurde er mit der deutschen Mannschaft durch einen 24:17-Sieg über Spanien Europameister. Zur Europameisterschaft 2018 wurde er von Bundestrainer Christian Prokop in den 20er-Kader berufen, der die Vorbereitung bestritt. Nachdem er zunächst nicht mit zur EM nach Kroatien gereist war, wurde er am 20. Januar 2018 für die Hauptrunde des Turniers nachnominiert. Er absolvierte bisher 56 Spiele, in denen er 93 Tore erzielte.

Für die Europameisterschaft 2022 wurde Dahmke vor dem dritten Spieltag nachnominiert.