Fermis Goldene Regel

${\displaystyle \Gamma _{N\rightarrow P}={\frac {2\pi }{\hbar }}|{\mathcal {M}}_{N\rightarrow P}|^{2}\int \limits _{M_{\mathrm {e} }c^{2}}^{Q}\mathrm {d} E{\frac {\mathrm {d} \rho }{\mathrm {d} E}}}$

mit der reduzierten Planck-Konstante ${\displaystyle \hbar }$, dem Übergangsmatrixelement bzw. die Wahrscheinlichkeitsamplitude ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{N\rightarrow P}}$ für den schwachen Zerfall eines Neutrons in ein Proton und dem Phasenraumfaktor ${\displaystyle \rho }$. Die Elektronenmasse ${\displaystyle M_{\mathrm {e} }}$ multipliziert mit der Vakuumlichtgeschwindigkeit stellt die untere Integrationsgrenze dar. Die obere Integrationsgrenze ${\displaystyle Q}$ gewährleistet, dass das gesamte Spektrum berücksichtigt wird.

Übergangsmatrixelement ℳ_{N → P}

Es gibt zwei mögliche Übergänge für den Beta-Zerfall, den Fermi-Übergang, der aus dem Vektoranteil der schwachen Wechselwirkung stammt und den Gamow-Teller-Übergang, der seinen Ursprung in der Axialvektorkopplung hat.

${\displaystyle |{\mathcal {M}}_{N\rightarrow P}|^{2}=(g_{\mathrm {V} }^{2}+3g_{\mathrm {A} }^{2})/V^{2}}$

Beim Axialübergang fallen alle Spin-Freiheitsgrade ins Gewicht. Das wird durch den Faktor 3 vor der Axialkopplung ${\displaystyle g_{\mathrm {A} }^{2}}$ berücksichtigt. Bei der Vektorkopplung ${\displaystyle g_{\mathrm {V} }^{2}}$ hingegen sind die Spin-Freiheitsgrade nicht relevant, da es sich um einen reinen Vektor ohne Axial-Anteil handelt (Drehimpulse sind Axialvektoren). ${\displaystyle V}$ ist das Volumen des Ortsraums, in dem der Zerfall stattfindet.

Phasenraum und Zustandsdichte

Wegen der großen Masse des Kerns, kann dieser aus den kinematischen Betrachtungen näherungsweise ausgeschlossen werden. Der Endzustand wird dann durch einen Zwei-Teilchen-Phasenraum (Elektron und Anti-Neutrino) beschrieben. Ein Element des Phasenraumes hat das Volumen ${\displaystyle \mathrm {d} ^{3}x_{\mathrm {e} }\mathrm {d} ^{3}x_{\nu }\mathrm {d} ^{3}p_{\mathrm {e} }\mathrm {d} ^{3}p_{\nu }/(2\pi \hbar )^{6}.}$ Die Integrale über den Ortsraum können direkt ausgeführt werden und liefern zusammen einen Faktor ${\displaystyle V^{2}}$. Um die Integrale im Impulsraum auszuführen werden noch die Dispersionsrelationen für das Elektron und das Neutrino (wird hier als masselos angenommen) benötigt:

${\displaystyle p_{\mathrm {e} }^{2}\mathrm {d} p_{\mathrm {e} }={\frac {1}{c^{3}}}E_{\mathrm {e} }{\sqrt {E_{\mathrm {e} }^{2}-M_{\mathrm {e} }^{2}c^{4}}}\mathrm {d} E_{\mathrm {e} },}$

${\displaystyle p_{\nu }^{\mathrm {2} }\mathrm {d} p_{\nu }={\frac {1}{c^{3}}}E_{\nu }^{2}\mathrm {d} E_{\nu }.}$

Durch eine Normierung auf die Ruheenergie des Elektrons kann die Phasenraumintegration auf die Form

${\displaystyle \int \limits _{M_{\mathrm {e} }c^{2}}^{Q}\mathrm {d} E{\frac {\mathrm {d} \rho }{\mathrm {d} E}}=V^{2}{\frac {M_{\mathrm {e} }^{5}c^{4}}{4\pi ^{4}\hbar }}f({\mathcal {E}}_{0})}$

mit ${\displaystyle {\mathcal {E}}_{0}=Q/M_{\mathrm {e} }c^{2}~~~~}$ und ${\displaystyle ~~~~f({\mathcal {E}}_{0})=\int \limits _{1}^{{\mathcal {E}}_{0}}\mathrm {d} {\mathcal {E}}\,{\mathcal {E}}{\sqrt {{\mathcal {E}}^{2}-1}}({\mathcal {E}}_{0}-{\mathcal {E}})^{2}}$

gebracht werden. Berücksichtigt man noch den Zusammenhang zwischen der Zerfallskonstanten und der Lebensdauer so erhält man zusammen mit dem Matrixelement ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{N\rightarrow P}}$

${\displaystyle {\frac {1}{\tau }}={\frac {M_{\mathrm {e} }^{5}c^{4}}{2\pi ^{3}\hbar ^{7}}}(g_{\mathrm {V} }^{2}+3g_{\mathrm {A} }^{2})\cdot f({\mathcal {E}}_{0}).}$

Sargent-Regel

Für große Energie (${\displaystyle Q\gg M_{\mathrm {e} }c^{2}}$) gilt näherungsweise

${\displaystyle f({\mathcal {E}}_{0})\approx {\frac {{\mathcal {E}}_{0}^{5}}{30}}}$

und damit

${\displaystyle {\frac {1}{\tau }}={\frac {1}{\hbar ^{7}c^{6}}}\cdot (g_{\mathrm {V} }^{2}+3g_{\mathrm {A} }^{2})\cdot {\frac {Q^{5}}{60\pi ^{3}}}.}$