Ein Pseudovektor, auch Drehvektor, Axialvektor oder axialer Vektor genannt, ist in der Physik eine vektorielle Größe, die bei einer Punktspiegelung des betrachteten physikalischen Systems ihre Richtung beibehält. Im Gegensatz dazu kehren polare oder Schubvektoren bei einer Punktspiegelung ihre Richtung um.

Das Bild zeigt einen Körper bei einer Drehbewegung und sein Spiegelbild. Der Drehimpuls ändert sich bei der Punktspiegelung nicht, denn die Drehgeschwindigkeit wird durch einen axialen Vektor beschrieben. Die Bahngeschwindigkeit zeigt nach der Punktspiegelung wie der Impuls in die entgegengesetzte Richtung und ist daher ein polarer Vektor.

Die Richtung eines axialen Vektors ist bezüglich einer Orientierung des Raumes, üblicherweise der rechtshändigen, definiert. Axialvektoren treten typischerweise auf, wenn ein physikalischer Zusammenhang durch das Kreuzprodukt ausgedrückt wird (das bei rechtshändigen Koordinatensystemen die Rechte-Hand-Regel verwendet.)

Definition

Rechenregeln

• Das Kreuzprodukt zweier polarer oder zweier axialer Vektoren ist ein Axialvektor.
• Das Kreuzprodukt aus einem polaren und einem axialen Vektor ist ein Polarvektor.
• Das Skalarprodukt zweier polarer oder zweier axialer Vektoren ist ein Skalar (d. h. behält sein Vorzeichen unter einer beliebigen Bewegung).
• Das Skalarprodukt aus einem polaren und einem axialen Vektor ist ein Pseudoskalar (d. h. ändert sein Vorzeichen unter einer Punktspiegelung).

Zusammenhang mit Tensoren

Jeder Tensor zweiter Stufe besitzt im dreidimensionalen Raum eine Vektorinvariante, die als solche ein axialer Vektor ist. Zu der Vektorinvariante trägt nur der schiefsymmetrische Anteil des Tensors etwas bei. Die Umkehroperation stellt aus dem axialen Vektor den schiefsymmetrischen Anteil des Tensors her:

${\displaystyle {\vec {a}}\times \mathbf {1} ={\vec {a}}\times \left(\sum _{i=1}^{3}{\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{i}\right)=\sum _{i=1}^{3}({\vec {a}}\times {\hat {e}}_{i})\otimes {\hat {e}}_{i}={\begin{pmatrix}0&-a_{3}&a_{2}\\a_{3}&0&-a_{1}\\-a_{2}&a_{1}&0\end{pmatrix}}=[{\vec {a}}]_{\times }}$

Darin sind a_1,2,3 die Koordinaten des Vektors ${\displaystyle {\vec {a}}}$ bezüglich der Standardbasis ${\displaystyle {\hat {e}}_{1,2,3}}$, 1 ist der Einheitstensor, „ד bildet das Kreuzprodukt und „${\displaystyle \otimes }$“ das dyadische Produkt. Das Ergebnis ist im Koordinatenraum die Kreuzproduktmatrix ${\displaystyle [{\vec {a}}]_{\times }}$.

Die Wirbelstärke ist die negative Vektorinvariante des Geschwindigkeitsgradienten und mit obiger Umkehroperation entsteht dessen schiefsymmetrischer Anteil, der Wirbeltensor. Bei einer Starrkörperbewegung entspricht der Winkelgeschwindigkeit der Winkelgeschwindigkeitstensor, der hier die Rolle des Geschwindigkeitsgradienten übernimmt. Für das Magnetfeld B erhält man auf diese Weise die räumlichen Komponenten des elektromagnetischen Feldstärketensors.

Allgemeiner kann einem axialen Vektor über die Hodge-Dualität ein schiefsymmetrischer Tensor zweiter Stufe zugeordnet werden. In Koordinaten ausgedrückt gehört zu einem Vektor ${\displaystyle a_{i}}$ die 2-Form ${\displaystyle (*a)_{ij}=\mp \epsilon _{ijk}a_{k}}$ (für positiv bzw. negativ orientierte Orthonormalbasis) mit dem Levi-Civita-Symbol ${\displaystyle \epsilon _{ijk}}$ und unter Verwendung der Summenkonvention. Dieser Zusammenhang kann benutzt werden, um Größen wie den Drehimpuls für Räume der Dimension ungleich drei zu verallgemeinern. Nur im ℝ³ hat eine antisymmetrische 2-Form genauso viele unabhängige Komponenten wie ein Vektor. Im ℝ⁴ beispielsweise sind es nicht 4, sondern 6 unabhängige Komponenten.

Beispiele

• Für den Zusammenhang von Ortsvektor ${\displaystyle {\vec {r}}}$, Geschwindigkeit ${\displaystyle {\vec {v}}}$ und Winkelgeschwindigkeit ${\displaystyle {\vec {\omega }}}$ eines Teilchens gilt ${\displaystyle {\vec {v}}={\vec {\omega }}\times {\vec {r}}}$. Unter einer Punktspiegelung ${\displaystyle {\vec {r}}'=-{\vec {r}}}$ prüft man leicht nach, dass ${\displaystyle {\vec {v}}'=-{\vec {v}}}$. Orts- und Geschwindigkeitvektor sind also Polarvektoren. Damit gilt für die Winkelgeschwindigkeit ${\displaystyle {\vec {\omega }}'}$ des gespiegelten Teilchens ${\displaystyle -{\vec {v}}={\vec {\omega }}'\times (-{\vec {r}})}$. Also muss ${\displaystyle {\vec {\omega }}'={\vec {\omega }}}$ gelten, d. h. die Winkelgeschwindigkeit ist ein Axialvektor.
• Der Drehimpuls ist definiert als ${\displaystyle {\vec {L}}={\vec {r}}\times {\vec {p}}}$. Es folgt ${\displaystyle {\vec {L}}'={\vec {r}}'\times {\vec {p}}'={\vec {r}}'\times m{\vec {v}}'=(-{\vec {r}})\times (-m{\vec {v}})={\vec {L}}}$, also ist der Drehimpuls ein Axialvektor, siehe Einleitung.
• Aus der Formel für die Lorentzkraft ${\displaystyle {\vec {F}}=-q{\vec {B}}\times {\vec {v}}}$ folgt, dass das Magnetfeld ${\displaystyle {\vec {B}}}$ ein axialer Vektor sein muss, denn die Kraft ${\displaystyle {\vec {F}}}$ ist zur Beschleunigung proportional und damit ein polarer Vektor.
• Die Wirbelstärke ${\displaystyle {\vec {\omega }}=\operatorname {rot} \;{\vec {v}}}$ mit der Rotation eines Vektorfeldes rot ist ein Axialvektor.
• Spiegelung einer rotierenden Scheibe an einer Ebene: Betrachtet wird eine rotierende horizontale Scheibe, die eine rote Oberseite und eine gelbe Unterseite besitze. Die Rotation wird durch den Winkelgeschwindigkeitsvektor beschrieben. Die Rotationsrichtung sei so, dass der Winkelgeschwindigkeitsvektor von der roten Oberseite nach oben wegzeigt. Bei einem Spiegelbild dieser rotierenden Scheibe an einer horizontale Ebene kehren sich nach Voraussetzung die vertikalen Anteile von Ortsvektoren um, die Oberseite ist im Spiegelbild gelb und die Unterseite rot. Der dem Beobachter zugewandte Rand der Scheibe bewegt sich im Original wie im Spiegelbild in dieselbe Richtung: Der Drehsinn bleibt also erhalten. Der Winkelgeschwindigkeitsvektor hat sich durch die Spiegelung nicht umgekehrt und weist am Spiegelbild von der gelben Seite ebenfalls nach oben.

Einzelnachweise

1. ↑ Richard P. Feynman, Robert B. Leighton, Matthew Sands: The Feynman Lectures on Physics. Vol. 1, Mainly mechanics, radiation, and heat. Addison-Wesley, 1964, Abschnitt 52-5, S. 52-6–52–7 (Online Edition, Caltech). 
2. ↑ axialer Vektor. In: Lexikon der Physik. Spektrum Akademischer Verlag, abgerufen am 23. Juli 2008: „Die Komponenten axialer Vektoren bleiben bei einer Spiegelung des Koordinatensystems, d. h. bei einer Vorzeichenumkehr aller drei Koordinaten, ungeändert;...“ 
3. ↑ Eric W. Weisstein: Pseudovector. In: MathWorld - A Wolfram Web Resource. Abgerufen am 23. Juli 2008: „A typical vector (...) is transformed to its negative under inversion of its coordinate axes.“ 
4. ↑ Arnold Sommerfeld: Mechanik. In: Vorlesungen über Theoretische Physik. 8. Auflage. Band I. Harri Deutsch, 1994, ISBN 3-87144-374-3, S. 105. 
5. ↑ Herbert Goldstein, Charles Poole, John Safko: Classical mechanics. 3. Auflage. Addison-Wesley, 2000, S. 169. 
6. ↑ H. Altenbach: Kontinuumsmechanik. Springer, 2012, ISBN 978-3-642-24118-5, S. 34 f. und 109 f. 

Siehe auch

• Parität
• Chiralität