Saturiertheit (Modelltheorie)

In der Modelltheorie ist eine Struktur saturiert, wenn in ihr sehr viele Typen realisiert sind.

Notationen

Für eine Menge $X$ bezeichne $|X|$ wie üblich ihre Mächtigkeit, für eine Sprache $L$ sei $|L|$ die Mächtigkeit der Vereinigung der Symbole der Sprache. Für eine Struktur ${\mathfrak {M}}$ bezeichne $M$ ihre Trägermenge.

Definition

Sei $\kappa$ eine beliebige (möglicherweise auch endliche) Kardinalzahl und ${\mathfrak {M}}$ eine Struktur.

${\mathfrak {M}}$ heißt $\kappa$ -saturiert, wenn für jede Menge $A\subseteq M$ mit $|A|<\kappa$ jeder vollständige (und somit jeder) 1-Typ über $A$ in ${\mathfrak {M}}$ realisiert wird.

${\mathfrak {M}}$ heißt saturiert, wenn ${\mathfrak {M}}\ |M|$ -saturiert ist.

Sätze

Existenz kappa-saturierter Erweiterungen

Dass saturierte Erweiterungen existieren, zeigt folgender Satz:

Zu jeder Kardinalzahl $\kappa \geqslant |L|$ und jeder unendlichen L-Struktur ${\mathfrak {M}}$ mit $|M|<2^{\kappa }$ gibt es eine $\kappa ^{+}$ -saturierte elementare Erweiterung ${\mathfrak {M}}^{*}$ mit $|M^{*}|\leqslant 2^{\kappa }$ .^:125

Universalität und Homogenität

Nach einem Satz von Michael D. Morley und Robert Vaught ist eine Struktur genau dann saturiert, wenn sie universell und homogen ist.

Ultraprodukte

Abzählbare Ultraprodukte sind $\aleph _{1}$ -saturiert. Es gilt:

Sei $L$ eine abzählbare Sprache und für $i\in \mathbb {N}$ sei ${\mathfrak {M}}^{i}$ eine $L$ -Struktur. Dann ist das Ultraprodukt nach einem freien Ultrafilter $\aleph _{1}$ -saturiert.^:148

Insbesondere folgt daher aus der Kontinuumshypothese (und dem nächsten Satz, s. u.), dass abzählbare Ultraprodukte von Strukturen der Mächtigkeit von höchstens $2^{\aleph _{0}}$ über abzählbaren Sprachen isomorph sind. Dazu zählen z. B. die hyperreellen Zahlen.

Eindeutigkeit von saturierten Strukturen

Es gilt folgender Isomorphiesatz:

Seien ${\mathfrak {M}}$ und ${\mathfrak {M}}'$ zwei elementar äquivalente L-Strukturen gleicher Mächtigkeit. Sind beide Strukturen saturiert, dann sind sie isomorph.^:132

Abzählbare saturierte Modelle

Eine vollständige Theorie ohne endliche Modelle hat genau dann ein abzählbares saturiertes Modell, wenn die Theorie klein ist.

Beispiele

Eine unendliche Struktur ${\mathfrak {M}}$ ist offenbar nie $\kappa$ -saturiert, falls $\kappa >|M|$
$(\mathbb {Q} ,<)$ ist saturiert. Ein vollständiger 1-Typ über einer endlichen Menge besagt gerade, wo die Position von x in Bezug auf die endliche Menge ist. (Es gibt also über einer n-elementigen Menge genau 2n+1 vollständige 1-Typen.) Siehe auch: Dichte Ordnung
$(\mathbb {R} ,<)$ ist $\aleph _{0}$ -saturiert, aber nicht saturiert. Der Typ $\{x>1,x>2,x>3,\ldots \}$ wird nicht realisiert.

Literatur

Gerald E. Sacks: Saturated Model Theory. W. A. Benjamin, 1972, ISBN 0-8053-8380-8.
Chang, C. C.; Keisler, H. J. Model theory. Third edition. Studies in Logic and the Foundations of Mathematics, 73. North-Holland Publishing Co., Amsterdam, 1990. ISBN 0-444-88054-2

Einzelnachweise

1 2 3 A. Prestel: Einführung in die Mathematische Logik und Modelltheorie. Braunschweig 1986
↑ Sacks, S. 112.
↑ Philipp Rothmaler: Einführung in die Modelltheorie, Spektrum Akademischer Verlag 1995, ISBN 978-3-86025-461-5, Satz 12.3

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[Prestel-1] 1 2 3 A. Prestel: Einführung in die Mathematische Logik und Modelltheorie. Braunschweig 1986

[2] Sacks, S. 112.

[3] Philipp Rothmaler: Einführung in die Modelltheorie, Spektrum Akademischer Verlag 1995, ISBN 978-3-86025-461-5, Satz 12.3