Verteilungen und ihr Grenzwert

In der stochastischen Zahlentheorie betrachtet man zahlentheoretische Funktionen

${\displaystyle f:\mathbb {N} \to \mathbb {R} \quad }$ oder ${\displaystyle \quad f:\mathbb {N} \to \mathbb {C} }$

als Zufallsvariablen. Dann lässt sich eine diskrete Verteilung auf ${\displaystyle \{n\in \mathbb {N} :n\leq N\}}$ definieren mit der Verteilungsfunktion

${\displaystyle F_{f,N}(z)=P(f\leq z):={\frac {1}{N}}|\{n\in \mathbb {N} :n\leq N,f(n)\leq z\}|}$

für ${\displaystyle z\in \mathbb {R} }$, wobei ${\displaystyle |\cdot |}$ die Kardinalität bezeichnet.

Wir sind nun an Bedingungen interessiert, wann ${\displaystyle f}$ in Verteilung konvergiert (bzw. ${\displaystyle F_{f,N}}$ schwach konvergiert, d. h.

${\displaystyle F_{f}(z)=\lim \limits _{N\to \infty }F_{f,N}(z),\quad \forall z\in {\mathcal {C}}(F_{f}),}$

wobei ${\displaystyle {\mathcal {C}}(F_{f})}$ die Menge der Punkte bezeichnet, auf der die Funktion stetig ist).

Erläuterungen

${\displaystyle R}$ ist hier eine positive reelle Zahl und die Summen laufen über Mengen von Primzahlen. Falls die drei Reihen für ein ${\displaystyle R>0}$ konvergieren, so konvergieren sie für alle ${\displaystyle R>0}$ und es kann deshalb auch ${\displaystyle R:=1}$ gewählt werden.

Im Falle der Konvergenz lautet die charakteristische Funktion der Grenzwertverteilung

${\displaystyle \varphi _{f}(t)=\prod \limits _{p}\left(1-{\frac {1}{p}}\right)\sum \limits _{\nu =0}^{\infty }\exp \left(\mathrm {i} tf(p^{\nu })\right)p^{-\nu },}$

wobei hier auch wieder ${\displaystyle p\in {\mathcal {P}}}$ gilt.