Die Ecken des vollständigen Vierseits

Die paarweisen Schnittpunkte der vier Ausgangsgeraden werden als Ecken des vollständigen Vierseits ${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$ bezeichnet und bilden die Eckenmenge ${\displaystyle {\mathcal {E}}={\mathcal {E}}({\mathcal {Q}})}$. Dabei gehört zu jeder 2-Menge von Geraden ${\displaystyle {\{g_{k},\,g_{l}\}}_{\neq }\subset {\{g_{0},\,g_{1},\,g_{2},\,g_{3}\}}}$ umkehrbar eindeutig die Ecke ${\displaystyle E=g_{k}\cap g_{l}}$ von ${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$, was insgesamt zu

${\displaystyle |{\mathcal {E}}|={\binom {4}{2}}=6}$

${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$ -Ecken führt.

Weiter liegen auf jeder Geraden ${\displaystyle g_{k}(k=0,\,1,\,2,\,3)}$ genau drei Ecken, nämlich denjenigen Ecken, welche als Schnittpunkte ${\displaystyle g_{k}\cap g_{j}}$ von ${\displaystyle g_{k}}$ mit den übrigen Geraden ${\displaystyle g_{j}(j\neq k)}$ entstehen.

Darüber hinaus gehört zu jeder Ecke ${\displaystyle E=g_{k}\cap g_{l}({\{g_{k},\,g_{l}\}}_{\neq }\subset {\{g_{0},\,g_{1},\,g_{2},\,g_{3}\}})}$ umkehrbar eindeutig die Gegenecke oder Komplementärecke ${\displaystyle E^{'}}$, welche man dadurch gewinnt, dass man das zugehörige Komplement ${\displaystyle {\{g_{0},\,g_{1},\,g_{2},\,g_{3}\}}\setminus {\{g_{k},\,g_{l}\}}={\{g_{m},\,g_{n}\}}}$ bildet und dann die zu ${\displaystyle E}$ gehörige Gegenecke als ${\displaystyle E^{'}=g_{m}\cap g_{n}}$.

Das Bilden der Gegenecke ist eine involutorische Abbildung auf ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$:

${\displaystyle E^{''}=E}$   ${\displaystyle (E\in {\mathcal {E}})}$.

Die Eckenmenge ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ lässt sich demnach schreiben wie folgt:

${\displaystyle {\mathcal {E}}=\{E_{1},\,{E_{1}}^{'},\,E_{2},\,{E_{2}}^{'},\,E_{3},\,{E_{3}}^{'}\}}$ mit

${\displaystyle E_{1}=g_{0}\cap g_{1}}$   ${\displaystyle {E_{1}}^{'}=g_{2}\cap g_{3}}$

${\displaystyle E_{2}=g_{0}\cap g_{2}}$   ${\displaystyle {E_{2}}^{'}=g_{1}\cap g_{3}}$

${\displaystyle E_{3}=g_{0}\cap g_{3}}$   ${\displaystyle {E_{3}}^{'}=g_{1}\cap g_{2}}$

Führt man diese Überlegung mit einer der drei von ${\displaystyle g_{0}}$ verschiedenen Geraden statt mit ${\displaystyle g_{0}}$ durch, so erhält man eine entsprechend andere, aber gleichwertige Darstellung der Eckenmenge ${\displaystyle {\mathcal {E}}={\mathcal {E}}({\mathcal {Q}})}$. Der Zusammenhang zwischen Ecken und Gegenecken ist von der Art der Darstellung der Eckenmenge unberührt und allein von der der vier Ausgangsgeraden abhängig.

Die Ebene des vollständigen Vierseits

Der Verbindungsraum ${\displaystyle {\mathcal {P}}=g_{0}\lor g_{1}}$ ist eine affine Ebene innerhalb ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$, welche die gesamte Eckenmenge ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ enthält:

Dies ist für die Ecken ${\displaystyle E_{1},\,E_{2},\,E_{3},\,{E_{2}}^{'},\,{E_{3}}^{'}}$ unmittelbar klar. Wegen ${\displaystyle g_{2}=E_{2}\lor {E_{3}}^{'}}$ enthält ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ dann aber auch die Gerade ${\displaystyle g_{2}}$ und damit schließlich ${\displaystyle {E_{1}}^{'}}$.

${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ist also unabhängig von der Art der Darstellung der Eckenmenge ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ die zum vollständigen Vierseit ${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$ gehörige und von diesem erzeugte Ebene ${\displaystyle {\mathcal {P}}={\mathcal {P}}({\mathcal {Q}})}$ innerhalb ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$.

Die Diagonalen des vollständigen Vierseits und deren Mittelpunkte

Nach Konstruktion liegen für keinen Index   ${\displaystyle i=1,\,2,\,3}$ die beiden ${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$-Ecken ${\displaystyle E_{i}}$ und ${\displaystyle {E_{i}}^{'}}$ zugleich auf einer der vier gegebenen Geraden ${\displaystyle g_{0},\,g_{1},\,g_{2},\,g_{3}}$. Verbindet man also jede Ecke ${\displaystyle E_{i}}$ von ${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$ mit der Gegenecke ${\displaystyle {E_{i}}^{'}}$, so erhält man zu den vier gegebenen Geraden drei weitere Geraden ${\displaystyle d_{1},\,d_{2},\,d_{3}}$ hinzu. Dies sind die Diagonalen des vollständigen Vierseits ${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$:

${\displaystyle d_{1}=E_{1}\lor {E_{1}}^{'}}$

${\displaystyle d_{2}=E_{2}\lor {E_{2}}^{'}}$

${\displaystyle d_{3}=E_{3}\lor {E_{3}}^{'}}$

Zu jeder der drei Diagonalen ${\displaystyle d_{i}(i=1,\,2,\,3)}$ existiert unter den Punkten, die mit ${\displaystyle d_{i}}$ inzidieren, jeweils ein ausgezeichneter Punkt ${\displaystyle M_{i}}$. Diesen Punkt nennt man den Mittelpunkt der Diagonalen ${\displaystyle d_{i}}$ oder kurz die Mitte der Diagonalen ${\displaystyle d_{i}}$. Der Mittelpunkt der Diagonalen ${\displaystyle d_{i}}$ erfüllt die Gleichungen:

${\displaystyle {\overrightarrow {{E_{i}}{M_{i}}}}={\tfrac {1}{2}}\cdot {\overrightarrow {{E_{i}}{E_{i}}^{'}}}={\overrightarrow {{M_{i}}{{E_{i}}^{'}}}}}$

und

${\displaystyle E_{i}+{\tfrac {1}{2}}\cdot {\overrightarrow {{E_{i}}{E_{i}}^{'}}}=M_{i}={E_{i}}^{'}-{\tfrac {1}{2}}\cdot {\overrightarrow {{E_{i}}{E_{i}}^{'}}}}$

und ist dadurch eindeutig bestimmt.

Von diesen drei Mittelpunkten der Diagonalen des vollständigen Vierseits ${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$ handelt der Satz von Gauß.

Der Fall der euklidischen Ebene

Der Satz gilt insbesondere für den Fall, dass ${\displaystyle {\mathcal {A}}={\mathbb {A} }_{2}(K)}$, also die Koordinatenebene über ${\displaystyle K}$ ist. Ein besonders hervorzuhebender Fall liegt hierbei dann vor, wenn ${\displaystyle K=\mathbb {R} }$ ist, also der Körper der reellen Zahlen vorliegt und wenn dann der gegebene affine Raum ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ mit der euklidischen Ebene zusammenfällt.

Unter diesen Gegebenheiten lässt sich der Satz dann so aussprechen:

Wenn vier Geraden so in der euklidischen Ebene liegen, dass keine drei davon durch einen Punkt gehen, so liegen die Mitten der zugehörigen Diagonalen stets auf einer Geraden.