Erster Teil

Seien ${\displaystyle k=3}$ und ${\displaystyle 0\leq n\leq 2}$, dann sind ${\displaystyle a_{n}:=3+4n}$ und ${\displaystyle b_{n}:=3+2n}$ arithmetische Primzahlenfolgen, welche die Primzahlfolgen ${\displaystyle (3,7,11)}$ mit der Differenz ${\displaystyle d=4}$ bzw. ${\displaystyle (3,5,7)}$ mit der Differenz ${\displaystyle d=2}$ produzieren.

Allgemein ist eine solche Folge von der Form ${\displaystyle (a,a+d,a+2d,\dotsc ,a+(k-1)d)}$, wobei ${\displaystyle a}$ ein primer Initialwert ist, ${\displaystyle d>0}$ die Distanz zur nächsten Primzahl und ${\displaystyle k>0}$ die Anzahl der Folgenglieder.

Die bisher (Stand 2021) längste arithmetische Primzahlfolge ${\displaystyle \operatorname {AP27} }$ hat 27 Glieder und wurde 2019 von Rob Gahan und PrimeGrid gefunden (${\displaystyle 23\#}$ ist das Primorial von 23 = 223 092 870):

${\displaystyle a_{n}=224\;\!584\;\!605\;\!939\;\!537\;\!911+81\;\!292\;\!139\cdot 23\#\cdot n}$  mit  ${\displaystyle n=0,\dotsc ,26}$

bzw.

${\displaystyle a_{n}=224\;\!584\;\!605\;\!939\;\!537\;\!911+81\;\!292\;\!139\cdot 223\;\!092\;\!870\cdot n}$.

Zweiter Teil

Sei ${\displaystyle A=\mathbb {P} }$ die Menge der Primzahlen.

Für ${\displaystyle k=1}$ erhält man trivialerweise die unendliche Menge aller Folgen ${\displaystyle (p)}$ der Länge ${\displaystyle 1}$ mit primem ${\displaystyle p}$, weil der Limes superior des konstanten Quotienten offenbar gleich ${\displaystyle 1>0}$ ist.

Für ${\displaystyle k=2}$ erhält man die unendliche Menge aller Folgen ${\displaystyle (p,q)}$ der Länge ${\displaystyle 2}$ mit ungleichen Primzahlen ${\displaystyle p}$ und ${\displaystyle q}$, zum Beispiel sind ${\displaystyle (2,3)}$ und ${\displaystyle (5,13)}$ zwei solche Folgen der Differenz ${\displaystyle 1}$ bzw. ${\displaystyle 8}$. Diese Distanz kann also in zwei Folgen auch unterschiedlich sein (sonst hätte man für ${\displaystyle d=2}$ die Primzahlzwillings-Vermutung von Alphonse de Polignac, die aber unbewiesen ist).

Für ${\displaystyle k=3}$ erhält man alle Folgen mit drei Gliedern, diese Aussage wurde 1939 von Johannes van der Corput gezeigt.

Für ${\displaystyle k\geq 4}$ war es bis zum Beweis des Satzes von Green-Tao unbekannt.