Der Satz von Hopf ist ein Lehrsatz aus dem mathematischen Teilgebiet der algebraischen Topologie. Er geht auf eine wichtige Arbeit des Mathematikers Heinz Hopf zurück, welche im Band 96 der Mathematischen Annalen im Jahre 1927 erschien. Der Satz wird stellenweise auch als Satz von Brouwer-Hopf bezeichnet, weil Heinz Hopf seinen Satz in Erweiterung eines früheren Resultats von Luitzen Egbertus Jan Brouwer erzielt hat.

Im Rahmen der Thom-Pontryagin-Theorie wird gezeigt, dass der Satz von Hopf als Spezialfall aus einem übergeordneten Theorem folgt.

Formulierung des Satzes

Der Satz lässt sich in moderner Formulierung etwa folgendermaßen angeben:

Für jede zusammenhängende, orientierte, geschlossene, differenzierbare n-Mannigfaltigkeit   ${\displaystyle M}$   (  ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$  ) ist der Abbildungsgrad eine Homotopieinvariante von Abbildungen in die n-Sphäre derart, dass je zwei stetige Abbildungen   ${\displaystyle f_{1},f_{2}}$  , welche die Mannigfaltigkeit   ${\displaystyle M}$   in die n-Sphäre   ${\displaystyle S^{n}\subset {\mathbb {R} }^{n+1}}$   abbilden, genau dann homotop sind, wenn sie denselben Abbildungsgrad   ${\displaystyle D(f_{1})=D(f_{2})}$   haben.

Weil sich jede ganze Zahl   ${\displaystyle \gamma \in \mathbb {Z} }$   als Abbildungsgrad einer geeignet gewählten stetigen Abbildung der gegebenen Mannigfaltigkeit   ${\displaystyle M}$   in die n-Sphäre realisieren lässt, gilt dann sogar:

Ist   ${\displaystyle [M,S^{n}]}$   das Mengensystem der Homotopieklassen der stetigen Abbildungen   ${\displaystyle f\colon \,M\to S^{n}}$  , so vermittelt die Abbildungsgradfunktion   ${\displaystyle D}$   eine Bijektion   ${\displaystyle {\overline {D}}\colon \,[M,S^{n}]\to \mathbb {Z} }$  , durch die zu jedem   ${\displaystyle \gamma \in \mathbb {Z} }$   genau eine Homotopieklasse   ${\displaystyle [f]\in [M,S^{n}]}$   mit   ${\displaystyle {\overline {D}}([f])=D(f)=\gamma }$   gehört.

Literatur

Originalarbeiten

• Heinz Hopf: Abbildungsklassen n-dimensionaler Mannigfaltigkeiten. In: Math. Ann. Band 96, 1927, S. 209–224 (maths.ed.ac.uk [PDF; 1,5 MB]). 
• Luitzen Egbertus Jan Brouwer: Abbildung von Mannigfaltigkeiten. In: Math. Ann. Band 71, 1912, S. 97–115 (digizeitschriften.de). 

Monographien

• Glen E. Bredon: Topology and Geometry (= Graduate texts in mathematics. Band 139). Springer-Verlag, New York [u. a.] 1993, ISBN 3-540-97926-3. 
• Theodor Bröcker, Tammo tom Dieck: Kobordismentheorie (= Lecture Notes in Mathematics. Band 178). Springer-Verlag, Berlin [u. a.] 1970, ISBN 3-540-05341-7. 
• James Dugundji: Topology. 8. Auflage. Allyn and Bacon, Boston 1973. 
• Egbert Harzheim: Einführung in die Kombinatorische Topologie (= Die Mathematik. Einführungen in Gegenstand und Ergebnisse ihrer Teilgebiete und Nachbarwissenschaften). Wissenschaftliche Buchgesellschaft, Darmstadt 1978, ISBN 3-534-07016-X (MR0533264). 
• Horst Schubert: Topologie. 4. Auflage. B. G. Teubner Verlag, Stuttgart 1975, ISBN 3-519-12200-6 (MR0423277). 
• Tammo tom Dieck: Topologie. 2., völlig neu bearb. und erw. Auflage. De Gruyter, Berlin [u. a.] 2000, ISBN 3-11-016236-9. 

Einzelnachweise

1. ↑ Heinz Hopf: Abbildungsklassen n-dimensionaler Mannigfaltigkeiten. In: Math. Ann. Band 96, S. 209 ff. 
2. ↑ Schubert: S. 289–290.
3. ↑ Dabei wird als wesentliches Werkzeug die sogenannte Pontrjagin-Thom-Konstruktion benutzt; vgl. Kapitel II, Abschnitt 16 bei Bredon: S. 118 ff. sowie Kapitel III bei Bröcker / tom Dieck: S. 24 ff.
4. ↑ tom Dieck: S. 284–285.
5. ↑ Dugundji: S. 352.
6. ↑ Harzheim: S. 169.
7. ↑ Bredon: S. 124.
8. ↑ Harzheim: S. 168, 136.
9. ↑ Harzheim: S. 169.