Äquivalenz und Singularität

Sei ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}})}$ ein messbarer Raum und ${\displaystyle \mu ,\nu }$ zwei Maße darauf. Äquivalenz der Maße ist definiert als

${\displaystyle \mu \sim \nu \iff \mu \ll \nu }$ und ${\displaystyle \nu \ll \mu }$,

wobei ${\displaystyle \ll }$ absolute Stetigkeit bedeutet. Singularität der Maße ist definiert als

${\displaystyle \mu \perp \nu \iff }$ falls zwei disjunkte Mengen ${\displaystyle A,B}$ existieren, so dass ${\displaystyle \Omega =A\cup B}$ mit ${\displaystyle \mu (A)=0}$ und ${\displaystyle \nu (B)=0}$.

Vorbereitung

Sei ${\displaystyle (\Omega _{n},{\mathcal {B}}_{n},\mu _{n},\nu _{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ eine Folge von Wahrscheinlichkeitsräumen, bestehend aus einer Menge ${\displaystyle \Omega _{n}}$, einer σ-Algebra ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{n}}$ und zwei Wahrscheinlichkeitsmaßen ${\displaystyle \mu _{n}}$ und ${\displaystyle \nu _{n}}$ darauf. Weiter definieren wir nun die abzählbar unendlichen Produkte der vier Komponenten

${\displaystyle \Omega$ :=\prod \limits _{n=1}^{\infty }\Omega _{n},\quad {\mathcal {B}}:=\bigotimes _{n=1}^{\infty }{\mathcal {B}}_{n},\quad \mu :=\bigotimes _{n=1}^{\infty }\mu _{n},\quad \nu :=\bigotimes _{n=1}^{\infty }\nu _{n},}

d. h. ${\displaystyle \mu ,\nu }$ sind beide auf ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ definiert. Weiter definieren wir folgendes inneres Produkt

${\displaystyle \varphi (\nu _{n},\mu _{n}):=\int _{\Omega _{n}}{\sqrt {\frac {d\nu _{n}}{d\mu _{n}}}}d\mu _{n},}$

welches mit dem Hellinger-Integral übereinstimmt, sowie die logarithmische Transformation

${\displaystyle \sigma (\nu _{n},\mu _{n}):=\ln(\varphi (\nu _{n},\mu _{n})).}$

Satz von Kakutani

Falls ${\displaystyle \nu _{n}\sim \mu _{n},\;}$ für alle ${\displaystyle n=1,2,\dots ,}$ dann gilt entweder

${\displaystyle \nu \sim \mu \quad }$ und ${\displaystyle \quad \prod \limits _{n=1}^{\infty }\varphi (\nu _{n},\mu _{n})>0}$

oder

${\displaystyle \nu \perp \mu \quad }$ und ${\displaystyle \quad \prod \limits _{n=1}^{\infty }\varphi (\nu _{n},\mu _{n})=0.}$

Weiter gilt zusätzlich (in beiden Fällen):

${\displaystyle \varphi (\nu ,\mu )=\prod \limits _{n=1}^{\infty }\varphi (\nu _{n},\mu _{n}),\quad }$ und ${\displaystyle \quad \sigma (\nu ,\mu )=\sum _{n=1}^{\infty }\sigma (\nu _{n},\mu _{n}).}$