Transzendenz von e

Wäre ${\displaystyle e}$ eine algebraische Zahl, so wäre ${\displaystyle e}$ Nullstelle eines normierten Polynoms mit rationalen Koeffizienten. Es gäbe also rationale Zahlen ${\displaystyle \beta _{0},\dots ,\beta _{n-1}}$, so dass

${\displaystyle e^{n}+\beta _{n-1}e^{n-1}\cdots +\beta _{1}e^{1}+\beta _{0}e^{0}=0}$.

Damit wären die ersten ${\displaystyle n+1}$ Potenzen von e linear abhängig über ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ (und damit auch über ${\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} }}}$) im Widerspruch zum Satz von Lindemann-Weierstraß.

Transzendenz von π

Um die Transzendenz der Kreiszahl ${\displaystyle \pi }$ zu zeigen, nehmen wir zunächst an, dass ${\displaystyle \pi }$ eine algebraische Zahl ist. Da die Menge der algebraischen Zahlen einen Körper bildet, müsste auch ${\displaystyle \pi i}$ algebraisch sein (${\displaystyle i}$ bezeichnet hier die imaginäre Einheit). Nun ist aber

${\displaystyle e^{\pi i}+e^{0}=-1+1=0}$

im Widerspruch zu linearen Unabhängigkeit von ${\displaystyle e^{\pi i}}$ und ${\displaystyle e^{0}}$.

Dies zeigt, dass unsere Annahme falsch war, die Kreiszahl ${\displaystyle \pi }$ muss also transzendent sein.