Die Schrödinger-Newton-Gleichung (auch Newton-Schrödinger- oder Schrödinger-Poisson-Gleichung) ist eine nichtlineare Modifikation der Schrödingergleichung unter Berücksichtigung des Newtonschen Gravitationsgesetzes. Dabei ergibt sich eine Selbstwechselwirkung, da die Wellenfunktion massebehaftet angenommen wird. Die Gleichung kann entweder als eine Integro-Differentialgleichung oder als ein Gleichungssystem bestehend aus Schrödinger- und Poissongleichung geschrieben werden.

Die Schrödinger–Newton-Gleichung wurde als erstes von Remo Ruffini und Silvano Bonazzola in Verbindung mit der Eigengravitation von Bosonensternen betrachtet.

Später wurde von Lajos Diósi und Roger Penrose diskutiert, dass die Schrödinger-Newton-Gleichung eine Erklärung für den Kollaps der Wellenfunktion sein kann. Dabei hat Materie Quanteneigenschaften, wohingegen die Gravitation eine klassische Theorie bleibt.

Außerdem wird die Schrödinger-Newton-Gleichung als Hartree-Approximation für die gegenseitige gravitative Anziehung in einem System mit einer großen Anzahl Teilchen verwendet.

Übersicht

Als Gleichungssystem geschrieben ergibt sich die Schrödinger-Newton-Gleichung aus der linearen Schrödingergleichung, erweitert um ein Gravitationspotential ${\displaystyle \Phi }$

${\displaystyle \mathrm {i} \hbar {\frac {\partial \Psi }{\partial t}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi +V\Psi +m\Phi \Psi \,,}$

hier ist ${\displaystyle V}$ das nicht gravitative Potential; das Gravitationspotential ${\displaystyle \Phi }$ erfüllt die Poisson-Gleichung

${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi =4\pi Gm|\Psi |^{2}\,.}$

Aufgrund der Kopplung der Wellenfunktion und des Gravitationspotentials und wegen des Terms ${\displaystyle |\Psi |^{2}}$ ist das Gleichungssystem nichtlinear.

Die Integro-Differentialform der Gleichung ist

${\displaystyle \mathrm {i} \hbar {\frac {\partial \Psi }{\partial t}}=\left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V-Gm^{2}\int {\frac {|\Psi (t,\mathbf {y} )|^{2}}{|\mathbf {x} -\mathbf {y} |}}\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {y} \right]\Psi \,.}$

Diese Gleichung ergibt sich aus dem oben angegebenen Gleichungssystem unter der Annahme, dass das Gravitationspotential im Unendlichen verschwindet.

Mathematisch gesehen ist die Schrödinger-Newton-Gleichung eine Hartree-Gleichung für den Fall ${\displaystyle n=2}$. Die Gleichung hat viele Eigenschaften der linearen Schrödinger-Gleichung. Insbesondere bleibt die totale Wahrscheinlichkeit sowie die Energie erhalten; weiterhin ist die Gleichung invariant bezüglich einer Galilei-Transformation. Lösungen der Schrödinger-Newton-Gleichung wurden bereits analytisch und numerisch untersucht; die stationäre Gleichung, die sich durch Separation der Variablen ergibt, hat eine unendliche Menge von Lösungen, von denen lediglich der stationäre Grundzustand stabil ist.

Schrödinger-Newton-Gleichung für Mehrteilchensysteme

Für den Fall, dass die Schrödinger-Newton-Gleichung eine fundamentale Gleichung ist, existiert eine entsprechende Gleichung für Mehrteilchensysteme, die von Diósi analog zur Einteilchengleichung unter der Annahme semi-klassischer Gravitation abgeleitet wurde:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {i} \hbar {\frac {\partial \Psi (t,\mathbf {x_{1}} ,\dots ,\mathbf {x_{N}} )}{\partial t}}={\Bigg (}&-\sum _{i=1}^{N}{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{i}}}\nabla _{i}^{2}+\sum _{i\not =j}V_{ij}(|\mathbf {x_{i}} -\mathbf {x_{j}} |)\\&-G\sum _{i,j=1}^{N}m_{i}m_{j}\int \mathrm {d} ^{3}\mathbf {y_{1}} \cdots \mathrm {d} ^{3}\mathbf {y_{N}} \,{\frac {|\Psi (t,\mathbf {y_{1}} ,\dots ,\mathbf {y_{N}} )|^{2}}{|\mathbf {x_{i}} -\mathbf {y_{j}} |}}{\Bigg )}\Psi (t,\mathbf {x_{1}} ,\dots ,\mathbf {x_{N}} )\,.\end{aligned}}}$

Das Potential ${\displaystyle V_{ij}}$ enthält alle gegenseitigen linearen Wechselwirkungen, z. B. das Coulomb-Potential, wohingegen das Gravitationspotential sich aus der Masseverteilung aller Teilchen ergibt.

Bei einer Born-Oppenheimer-Näherung kann die ${\displaystyle N}$-Teilchen-Gleichung separiert werden. Eine Gleichung beschreibt die relative Bewegung, die andere beschreibt die Dynamik des Schwerpunkts der Wellenfunktion. Für die relative Bewegung spielt die gravitative Wechselwirkung nur eine geringe Rolle, da sie üblicherweise schwach im Vergleich zu den anderen Wechselwirkungen ist. Sie hat aber einen signifikanten Einfluss auf die Bewegung des Schwerpunkts.

Einfluss der Gravitation

Eine grobe Bestimmung der Größen, bei der sich Unterschiede zwischen der Schrödinger-Gleichung und der Schrödinger-Newton-Gleichung ergeben, ist durch Einsetzen einer Gauß-Verteilung möglich.

Für eine radialsymmetrische Gauß-Verteilung

${\displaystyle \Psi (t=0,r)=(\pi \sigma ^{2})^{-3/4}\exp \left(-{\frac {r^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)\,,}$

hat die lineare Schrödingergleichung die Lösung

${\displaystyle \Psi (t,r)=(\pi \sigma ^{2})^{-3/4}\left(1+{\frac {\mathrm {i} \hbar t}{m\sigma ^{2}}}\right)^{-3/2}\exp \left(-{\frac {r^{2}}{2\sigma ^{2}\left(1+{\frac {\mathrm {i} \hbar t}{m\sigma ^{2}}}\right)}}\right)\,.}$

Das Maximum der Wahrscheinlichkeitsdichte ${\displaystyle 4\pi r^{2}|\Psi |^{2}}$ befindet sich bei

${\displaystyle r_{p}=\sigma {\sqrt {1+{\frac {\hbar ^{2}t^{2}}{m^{2}\sigma ^{4}}}}}\,.}$

Für die Beschleunigung, das heißt die zweite Ableitung nach der Zeit ${\displaystyle t}$, erhält man hieraus nach kurzer Rechnung

${\displaystyle {\ddot {r}}_{p}={\frac {\hbar ^{2}}{m^{2}r_{p}^{3}}}}$.

Dies wird mit der Beschleunigung durch die Gravitation

${\displaystyle {\ddot {r}}=-{\frac {Gm}{r^{2}}}\,,}$

verglichen. Zur Zeit ${\displaystyle t=0}$ ist ${\displaystyle r_{p}=\sigma }$ und die Gleichsetzung der Beträge der Beschleunigungen in diesem Abstand ergibt ${\displaystyle \textstyle {\frac {\hbar ^{2}}{m^{2}\sigma ^{3}}}={\frac {Gm}{\sigma ^{2}}}}$ und damit

${\displaystyle m^{3}\sigma ={\frac {\hbar ^{2}}{G}}\approx 1{,}7\times 10^{-58}\,\mathrm {m\,kg^{3}} \,.}$

Diese Gleichung erlaubt es, mit ${\displaystyle \sigma }$ eine kritische Abmessung für eine gegebene Masse zu bestimmen, und umgekehrt.

Numerische Berechnungen zeigen, dass diese Gleichung eine gute Abschätzung des Parameterbereichs ergibt, bei dem gravitative Einflüsse signifikant werden.

Für ein Wasserstoffatom (${\displaystyle m}$ = atomare Masseneinheit) beträgt die kritische Größe ungefähr 10²² Meter; bei einem Teilchen mit einer Masse von einem Mikrogramm erhält man 10⁻³¹ Meter. Im Bereich von 10¹⁰ atomaren Masseneinheiten liegt die kritische Größe im Bereich von Mikrometern, so dass möglicherweise in Zukunft eine experimentelle Prüfung der Schrödinger-Newton-Gleichung möglich ist.

Kollaps der Wellenfunktion

Die Idee, dass Gravitation den Kollaps der Wellenfunktion hervorruft (oder zumindest beeinflusst), wurde schon in den 1960er Jahren von Károlyházy vorgeschlagen.

Als mathematische Beschreibung wurde in diesem Zusammenhang die Schrödinger–Newton-Gleichung von Diósi vorgeschlagen.

Roger Penrose diskutierte, dass eine Superposition von zwei oder mehr Quantenzuständen, welche sich signifikant in der Masseverteilung unterscheiden, instabil ist und daher in einen der Zustände übergeht. Seine Hypothese ist, dass es eine bevorzugte Menge von Zuständen (die stationären Zustände der Schrödinger-Newton-Gleichung) gibt, die nicht weiter kollabieren, sondern stabil sind. Ein makroskopisches, massives System kann sich daher niemals in einer Superposition von Zuständen befinden, da die nichtlineare gravitative Selbstwechselwirkung sofort zu einem Kollaps in einen stationären Zustand der Schrödinger-Newton-Gleichung führt. Nach Penroses Auffassung führt eine Messung eines Quantensystems einerseits zu einer Verschränkung mit der makroskopischen Umgebung und damit zur Dekohärenz, gleichzeitig führt die Verschränkung mit dem massiven Messsystem durch die gravitative Selbstwechselwirkung zur Reduktion zu einem bestimmten (dem gemessenen) Zustand.

Einzelnachweise

1. ↑ Remo Ruffini, Silvano Bonazzola: Systems of Self-Gravitating Particles in General Relativity and the Concept of an Equation of State. In: Physical Reviews. 187. Jahrgang, Nr. 5, 1969, S. 1767–1783, doi:10.1103/PhysRev.187.1767, bibcode:1969PhRv..187.1767R. 
2. 1 2 3 L. Diósi: Gravitation and quantum-mechanical localization of macro-objects. In: Physics Letters A. 105. Jahrgang, 1984, S. 199–202, doi:10.1016/0375-9601(84)90397-9, arxiv:1412.0201, bibcode:1984PhLA..105..199D. 
3. 1 2 Roger Penrose: On Gravity’s Role in Quantum State Reduction. In: General Relativity and Gravitation. 28. Jahrgang, Nr. 5, 1996, S. 581–600, doi:10.1007/BF02105068, bibcode:1996GReGr..28..581P. 
4. 1 2 Roger Penrose: Quantum computation, entanglement and state reduction. In: Phil. Trans. R. Soc. Lond. A. 356. Jahrgang, Nr. 1743, 1998, S. 1927–1939, doi:10.1098/rsta.1998.0256, bibcode:1998RSPTA.356.1927P. 
5. 1 2 Roger Penrose: On the Gravitization of Quantum Mechanics 1: Quantum State Reduction. In: Foundations of Physics. 44. Jahrgang, 2014, S. 557–575, doi:10.1007/s10701-013-9770-0, bibcode:2014FoPh...44..557P. 
6. 1 2 S. Carlip: Is quantum gravity necessary? In: Classical and Quantum Gravity. 25. Jahrgang, 2008, S. 154010, doi:10.1088/0264-9381/25/15/154010, arxiv:0803.3456, bibcode:2008CQGra..25o4010C. 
7. ↑ Elliott H. Lieb: Existence and uniqueness of the Minimizing Solution of Choquard's Nonlinear Equation. In: Studies of Applied Mathematics. 57. Jahrgang, 1977, S. 93–105. 
8. ↑ Oliver Robertshaw, Paul Tod: Lie point symmetries and an approximate solution for the Schrödinger–Newton equations. In: Nonlinearity. 19. Jahrgang, 2006, S. 1507–1514, doi:10.1088/0951-7715/19/7/002, arxiv:math-ph/0509066, bibcode:2006Nonli..19.1507R. 
9. 1 2 3 Domenico Giulini, André Großardt: Gravitationally induced inhibitions of dispersion according to the Schrödinger–Newton Equation. In: Classical and Quantum Gravity. 28. Jahrgang, 2011, S. 195026, doi:10.1088/0264-9381/28/19/195026, arxiv:1105.1921, bibcode:2011CQGra..28s5026G. 
10. ↑ Irene M. Moroz, Roger Penrose, Paul Tod: Spherically-symmetric solutions of the Schrödinger–Newton equations. In: Classical and Quantum Gravity. 15. Jahrgang, 1998, S. 2733–2742, doi:10.1088/0264-9381/15/9/019, bibcode:1998CQGra..15.2733M. 
11. ↑ Paul Tod, Irene M. Moroz: An analytical approach to the Schrödinger–Newton equations. In: Nonlinearity. 12. Jahrgang, 1999, S. 201–216, doi:10.1088/0951-7715/12/2/002, bibcode:1999Nonli..12..201T. 
12. 1 2 R. Harrison, I. Moroz, K. P. Tod: A numerical study of the Schrödinger–Newton equations. In: Nonlinearity. 16, 2003, S. 101–122, arxiv:math-ph/0208045 (Teil 1) und arxiv:math-ph/0208046 (Teil 2); basierend auf R. Harrison: A numerical study of the Schrödinger–Newton equations, bibcode:2003Nonli..16..101H, doi:10.1088/0951-7715/16/1/307.
13. ↑ Mohammad Bahrami, André Großardt, Sandro Donadi, Angelo Bassi: The Schrödinger–Newton equation and its foundations. In: New J. Phys. 2014, arxiv:1407.4370. 
14. 1 2 J. R. van Meter: Schrödinger–Newton 'collapse' of the wave function. In: Classical and Quantum Gravity. 28. Jahrgang, Nr. 21, 2011, S. 215013, doi:10.1088/0264-9381/28/21/215013, arxiv:1105.1579, bibcode:2011CQGra..28u5013V. 
15. ↑ F. Károlyházy: Gravitation and Quantum Mechanics of Macroscopic Objects. In: Il Nuovo Cimento A. 42. Jahrgang, 1966, S. 390–402, doi:10.1007/BF02717926, bibcode:1966NCimA..42..390K.