Beschränktheit bezüglich einer Ordnungsrelation

Sei ${\displaystyle M}$ eine durch die Relation ${\displaystyle \leq }$ halbgeordnete Menge und ${\displaystyle S}$ eine Teilmenge von ${\displaystyle M}$.

• Ein Element ${\displaystyle b\in M}$ heißt obere Schranke von ${\displaystyle S}$, wenn gilt: ${\displaystyle \forall x\in S\colon x\leq b}$. Das bedeutet: Alle Elemente von ${\displaystyle S}$ sind kleiner oder gleich der oberen Schranke ${\displaystyle b}$. Falls eine solche obere Schranke ${\displaystyle b}$ existiert, heißt ${\displaystyle S}$ nach oben beschränkt (bezüglich der Relation ${\displaystyle \leq }$).
• Ein Element ${\displaystyle a\in M}$ heißt untere Schranke von ${\displaystyle S}$, wenn gilt: ${\displaystyle \forall x\in S\colon a\leq x}$. Das bedeutet: Alle Elemente von ${\displaystyle S}$ sind größer oder gleich der unteren Schranke ${\displaystyle a}$. Falls eine solche untere Schranke ${\displaystyle a}$ existiert, heißt ${\displaystyle S}$ nach unten beschränkt (bezüglich der Relation ${\displaystyle \leq }$).
• Eine Menge ${\displaystyle S}$, die in diesem Sinn sowohl nach oben als auch nach unten beschränkt ist, wird als beschränkte Menge (bezüglich der Relation ${\displaystyle \leq }$) bezeichnet.
• Eine Menge, die nicht beschränkt ist, heißt unbeschränkt.
• Eine Funktion ${\displaystyle f\colon X\to M}$ in eine halbgeordnete Menge ${\displaystyle M}$ heißt nach oben bzw. unten beschränkt, wenn in ${\displaystyle M}$ eine obere bzw. untere Schranke für die Bildmenge ${\displaystyle S=f(X)=\{f(x)\mid x\in X\}}$ existiert. Ist ${\displaystyle f}$ sowohl nach oben als auch nach unten beschränkt, nennt man ${\displaystyle f}$ beschränkt, sonst unbeschränkt.

Übertragung auf Mengen, auf denen eine Abstandsfunktion definiert ist

Die Begriffe beschränkt und unbeschränkt, die so für eine halbgeordnete Menge definiert sind, werden nun im übertragenen Sinn auch für Mengen mit einer Abstandsfunktion verwendet, wenn die Werte, die diese Funktion annimmt, in der geordneten Bildmenge (meistens nichtnegative reelle Zahlen) die entsprechenden Schranken hat (bzw. nicht hat).

Übertragung auf Funktionen, auf deren Wertevorrat eine Abstandsfunktion definiert ist

Sei ${\displaystyle (X,d)}$ ein metrischer Raum und ${\displaystyle N}$ eine beliebige Menge. Eine Funktion ${\displaystyle f\colon N\to X}$ heißt beschränkt (bezüglich der Abstandsfunktion ${\displaystyle d}$), wenn die Menge ${\displaystyle \left\{d(f(n_{1}),f(n_{2}))\mid n_{1},n_{2}\in N\right\}}$ in ${\displaystyle \mathbb {R} }$ beschränkt ist, ansonsten ist sie unbeschränkt.

Beschränkte Mengen in topologischen Vektorräumen

Eine Teilmenge ${\displaystyle S}$ eines topologischen Vektorraums heißt beschränkt, wenn es zu jeder Umgebung ${\displaystyle U}$ von 0 ein ${\displaystyle k>0}$ gibt, so dass ${\displaystyle S\subseteq kU}$ gilt.

Ist ${\displaystyle E}$ ein lokalkonvexer Raum, so ist dessen Topologie durch eine Menge ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ von Halbnormen gegeben. Die Beschränktheit lässt sich dann wie folgt durch Halbnormen charakterisieren: ${\displaystyle S\subset E}$ ist genau dann beschränkt, wenn ${\displaystyle \textstyle \sup _{x\in S}p(x)<\infty }$ für alle Halbnormen ${\displaystyle p\in {\mathcal {P}}}$.

Beispiele beschränkter Mengen

• Kompakte Mengen sind beschränkt.
• Die Einheitskugel in einem unendlich-dimensionalen normierten Raum ist beschränkt aber nicht kompakt.
• Sei ${\displaystyle c_{00}}$ der Vektorraum aller endlichen Folgen, d. h. aller Folgen ${\displaystyle (x_{n})_{n}}$, so dass ${\displaystyle x_{n}\in \mathbb {R} ,x_{n}=0}$ für fast alle ${\displaystyle n}$. Sei weiter ${\displaystyle S:=\{(x_{n})_{n}\in c_{00}:|x_{n}|\leq 1\,\forall n\}}$. Dann ist ${\displaystyle S}$ bzgl. der durch ${\displaystyle \textstyle \|(x_{n})_{n}\|_{\infty }=\sup _{n\in \mathbb {N} }|x_{n}|}$ definierten Norm beschränkt, nicht aber bzgl. der durch ${\displaystyle \textstyle \|(x_{n})_{n}\|_{1}=\sum _{n\in \mathbb {N} }|x_{n}|}$ definierten Norm.
• Betrachtet man auf dem Raum ${\displaystyle c_{00}}$ der endlichen Folgen des vorangegangenen Beispiels die durch die Halbnormen ${\displaystyle p_{m}((x_{n})_{n}):=|x_{m}|}$ definierte lokalkonvexe Topologie, so ist ${\displaystyle S:=\{(x_{n})_{n}\in c_{00}:|x_{n}|\leq n\,\forall n\}}$ beschränkt. Diese Menge ist für keine der beiden genannten Normen beschränkt.

Permanenzeigenschaften

• Teilmengen beschränkter Mengen sind beschränkt.
• Endliche Vereinigungen beschränkter Mengen sind beschränkt.
• Der topologische Abschluss einer beschränkten Menge ist beschränkt.
• Sind ${\displaystyle S}$ und ${\displaystyle T}$ beschränkt, so auch ${\displaystyle S+T:=\{s+t\mid s\in S,t\in T\}}$.
• Eine stetige, lineare Abbildung zwischen lokalkonvexen Räumen bildet beschränkte Mengen auf beschränkte Mengen ab (siehe dazu auch: Bornologischer Raum).
• Ist ${\displaystyle E}$ lokalkonvex, so sind die konvexe Hülle und die absolutkonvexe Hülle einer beschränkten Menge wieder beschränkt.