Ereignishorizont

Ein Ereignishorizont ist in der allgemeinen Relativitätstheorie eine Grenzfläche in der Raumzeit, für die gilt, dass Ereignisse jenseits dieser Grenzfläche prinzipiell nicht sichtbar für Beobachter sind, die sich diesseits der Grenzfläche befinden. Mit „Ereignissen“ sind Punkte in der Raumzeit gemeint, die durch Ort und Zeit festgelegt sind. Der Ereignishorizont bildet eine Grenze für Informationen und kausale Zusammenhänge, die sich aus der Struktur der Raumzeit und den Gesetzen der Physik, insbesondere in Bezug auf die Lichtgeschwindigkeit, ergeben. Bei statischen Schwarzen Löchern ist der Ereignishorizont eine Kugeloberfläche, deren Radius Schwarzschild-Radius genannt wird.

Für jede Masse ab der Planckmasse (2,176 · 10⁻⁸ kg) gibt es einen Schwarzschild-Radius: Wenn ein Objekt auf ein Kugelvolumen mit einem kleineren Radius als seinem Schwarzschild-Radius komprimiert wird, so wird es ein Schwarzes Loch. Masseärmere Objekte haben eine zu große Ortsunschärfe und können deshalb nicht ausreichend komprimiert werden. Zum Beispiel liegt die Ortsunschärfe eines viel masseärmeren Protons bei etwa 10⁻¹⁵ m, während der Ereignishorizont bei 10⁻⁵⁴ m läge.

Form und Größe des Ereignishorizontes hängen nur von der Masse, dem Drehimpuls und der Ladung des Schwarzen Lochs in seinem Innern ab. Im Allgemeinen hat der Ereignishorizont die Form eines Rotationsellipsoids. Bei einem nicht rotierenden, elektrisch ungeladenen Schwarzen Loch ist er kugelförmig.

Einführung

Das Gravitationsfeld eines Körpers besteht aus einer äußeren und einer inneren Lösung der Feldgleichungen, wobei die äußere Lösung das Gravitationsfeld außerhalb des Körpers und die innere Lösung das Feld im Inneren des Körpers beschreibt. Für den Fall einer homogenen, nicht geladenen und nicht rotierenden Kugel beschreibt die Schwarzschild-Metrik das innere und äußere Gravitationsfeld.

Bei einem Objekt, das selbst größer als der Schwarzschild-Radius ist, gibt es keinen Ereignishorizont, da der innere Teil nicht zur äußeren Schwarzschild-Lösung gehört; die innere Lösung enthält keine Singularitäten. Erst wenn ein Objekt kleiner als sein Schwarzschild-Radius wird, entsteht eine Singularität und es tritt ein Ereignishorizont in der Raumzeit auf. Im Falle von nicht rotierenden und elektrisch nicht geladenen Schwarzen Löchern ist der Ereignishorizont die Oberfläche einer Kugel um die zentrale Singularität. Der Radius dieser Kugel ist der Schwarzschild-Radius.

Die skalare Krümmung der Raumzeit am Ereignishorizont der Schwarzschild-Metrik ist null, denn die Metrik ist eine Vakuumlösung der einsteinschen Feldgleichungen, was impliziert, dass weder die skalare Krümmung noch der Ricci-Tensor von null verschieden sein können. Ein Krümmungsmaß, das am Ereignishorizont nicht verschwindet, ist der Kretschmann-Skalar

R^{\alpha \beta \gamma \delta }R_{\alpha \beta \gamma \delta }={\frac {12{r_{\mathrm {S} }}^{2}}{r^{6}}}={\frac {48G^{2}M^{2}}{c^{4}r^{6}}},

der am Ereignishorizont den Wert ${12}/{r_{\mathrm {S} }^{4}}$ annimmt, wobei $c$ die Lichtgeschwindigkeit, $G$ die Gravitationskonstante, $M$ die Masse und $r_{\mathrm {S} }$ der Schwarzschild-Radius des Schwarzen Loches sind.

Im Fernfeld gilt das klassische Gravitationsgesetz weiterhin als Näherung. Diese Näherung führt jedoch zu immer größeren Abweichungen, je mehr man sich dem Ereignishorizont annähert. In unmittelbarer Nähe des Ereignishorizonts muss dann schließlich die allgemeine Relativitätstheorie benutzt werden.

Geschichte

John Michell war der Erste, der sich mit der Frage auseinandersetzte, wie groß die Anziehungskraft eines Himmelskörpers sein muss, damit Licht nicht mehr von seiner Oberfläche entweichen kann. Unter Benutzung der Newtonschen Gravitationstheorie und der Korpuskeltheorie fand er 1783 eine Beziehung zwischen dem Radius und der Masse eines Himmelskörpers, bei dem dieser Effekt auftritt. Diesen Radius hat Karl Schwarzschild 1916 in einer allgemeinrelativistischen Rechnung wiedergefunden, daher wurde er ihm zu Ehren als Schwarzschild-Radius bezeichnet.

Schwarzschild-Radius

Der Schwarzschild-Radius $r_{\mathrm {S} }$ eines Körpers der Masse $M$ ist gegeben durch:

r_{\mathrm {S} }={\frac {2GM}{c^{2}}}=M\cdot 1{,}485\cdot 10^{-27}{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {kg} }}

Häufig wird die Masse von Objekten in der Astronomie in Sonnenmassen angegeben, mit $\mathrm {M_{\odot }} =1{,}988\cdot 10^{30}\,\mathrm {kg} \approx 2\cdot 10^{30}\,\mathrm {kg}$ . Für den Schwarzschild-Radius $r_{\mathrm {S,\odot } }$ der Sonne ergibt sich damit:

r_{\mathrm {S,\odot } }=2952\ \mathrm {m} \approx 3\ \mathrm {km}

oder allgemein:

r_{\mathrm {S} }={\frac {M}{\mathrm {M_{\odot }\!\!} }}\cdot 2952\ \mathrm {m}

.

Für die Masse der Erde beträgt der Schwarzschild-Radius 9 mm und für den Mount Everest 1 nm.

Das Schwarzschild-Volumen beträgt

V_{\mathrm {S} }={\frac {4}{3}}\pi r_{\mathrm {S} }^{3}={\frac {4}{3}}\pi {\frac {8G^{3}M^{3}}{c^{6}}},

womit sich eine kritische Dichte durch

\rho _{c}={\frac {M}{V}}={\frac {M}{{\frac {4}{3}}\pi {\frac {8G^{3}M^{3}}{c^{6}}}}}={\frac {3c^{6}}{32\pi G^{3}M^{2}}}

definieren lässt. Sobald ein Körper diese Dichte überschreitet, entsteht ein Schwarzes Loch. Man beachte, dass die kritische Dichte mit zunehmender Masse abnimmt.

Objekt	Masse	Schwarzschild- radius	Volumen	Dichte
Deimos-Masse (Schwarzschildradius ~1500 Protonenradien)	1,8 · 10¹⁵ kg	2,6 pm
Mondmasse (1/81 Erdmasse)	7,346 · 10²² kg	0,109 mm	0,005 43 mm³
Erdmasse	5,969 · 10²⁴ kg	8,86 mm	2,917 cm³	2,046 · 10³⁰ kg/m³
Sonnenmasse (333000 Erdmassen)	1,988 · 10³⁰ kg	2952 m	107,8 km³	1,845 · 10¹⁹ kg/m³
Sagittarius A* (4,3 Mill. Sonnenmassen)	8,5 · 10³⁶ kg	12,7 Mill. km 0,085 AE		10⁶ kg/m³ 51-fache Dichte von Gold
Masse der Milchstraße (2 Bill. Sonnenmassen)	~4 · 10⁴² kg	~6,4 Bill. km ~40.000 AE		~4,5 mg/m³ Dichte von H₂ bei 300 K/5 Pa
Radius des beobachtbaren Universums	2,97 · 10⁵³ kg	46,6 Mrd. Lj.

Ereignishorizont in der Schwarzschild-Metrik

Bei nichtrotierenden, ungeladenen Schwarzen Löchern gilt die Schwarzschild-Metrik, und der Ereignishorizont ist mit dem Schwarzschild-Radius identisch.

Zu beachten ist ferner, dass der Radius des Ereignishorizonts in der allgemeinen Relativitätstheorie nicht den Abstand vom Mittelpunkt angibt, sondern über die Oberfläche von Kugeln definiert ist. Ein kugelförmiger Ereignishorizont mit Radius $r_{\mathrm {H} }$ hat dieselbe Fläche wie eine Sphäre gleichen Radius im euklidischen Raum, nämlich $A=4\pi r_{\mathrm {H} }^{2}$ . Aufgrund der Raumzeitkrümmung sind die radialen Abstände im Gravitationsfeld vergrößert (das heißt, der Abstand zweier Kugelschalen mit – über die Kugelfläche definierten – Radialkoordinaten $r_{1}$ und $r_{2}$ ist größer als die Differenz dieser Radien).

Bedeutung und Eigenschaften des Ereignishorizonts eines Schwarzen Lochs

Gravitative Rotverschiebung

Die Frequenz eines Photons, das aus einem Gravitationsfeld zu einem entfernten Beobachter gelangt, wird zum roten (energiearmen) Teil des Lichtspektrums verschoben, da dem Photon die entsprechende potentielle Energie verloren geht. Die Rotverschiebung ist umso größer, je näher sich die Lichtquelle am Schwarzen Loch befindet. Am Ereignishorizont wird die Rotverschiebung unendlich groß.

Einfallzeit für einen außenstehenden Beobachter

Für einen außenstehenden Beobachter, der aus sicherer Entfernung zusieht, wie ein Teilchen auf ein Schwarzes Loch zufällt, hat es den Anschein, als würde es sich asymptotisch dem Ereignishorizont annähern. Das bedeutet, ein außenstehender Beobachter sieht niemals, wie es den Ereignishorizont erreicht, da aus seiner Sicht dazu unendlich viel Zeit benötigt wird. Das gilt nicht für makroskopische Objekte, die selbst die Raumzeit verformen. Insbesondere lassen sich Supernovae beobachten.

Einfallzeit für einen frei fallenden Beobachter

Für einen Beobachter, der sich im freien Fall auf das Schwarze Loch zubewegt, ist dies freilich anders. Dieser Beobachter erreicht den Ereignishorizont in endlicher Zeit. Der scheinbare Widerspruch zu dem vorherigen Ergebnis rührt daher, dass beide Betrachtungen in verschiedenen Bezugssystemen durchgeführt werden. Ein Objekt, das den Ereignishorizont erreicht hat, fällt (vom Objekt selbst aus betrachtet) in endlicher Zeit in die zentrale Singularität.

Geometrische Eigenschaften

Der Ereignishorizont eines Schwarzen Lochs stellt eine lichtartige Fläche dar. Geometrisch gesprochen handelt es sich um die Menge aller radial auslaufenden Lichtstrahlen, die dem Schwarzen Loch gerade nicht entkommen können und die gerade nicht ins Schwarze Loch fallen, d. h. die bei konstanter Radialkoordinate eingefroren zu sein scheinen. Demzufolge ist es für einen massebehafteten Körper unmöglich, am Ereignishorizont zu verweilen. Er muss den Ereignishorizont in Richtung einer kleiner werdenden Radialkoordinate verlassen.

Der Ereignishorizont ist keine gegenständliche Grenze. Ein frei fallender Beobachter könnte daher nicht direkt feststellen, wann er den Ereignishorizont passiert.

Drehimpuls und elektrische Ladung

Rotierende Schwarze Löcher

Für rotierende Schwarze Löcher ergibt sich aus der Kerr-Metrik ein Ereignishorizont, der jedoch im Gegensatz zum Ereignishorizont der Schwarzschild-Metrik eher die geometrischen Eigenschaften eines Rotationsellipsoids besitzt. Die Abmessungen dieses Rotationsellipsoids hängen dabei vom Drehimpuls und von der Masse des Schwarzen Loches ab.

Der Ereignishorizont $r_{\mathrm {H} }$ eines rotierenden Schwarzen Lochs ist in Boyer-Lindquist-Koordinaten durch

r_{\mathrm {H} }:={\frac {GM}{c^{2}}}+{\sqrt {\left({\frac {GM}{c^{2}}}\right)^{\!2}-a^{2}}}

gegeben mit $a:={\frac {J}{Mc}}$ und dem Drehimpuls $J$ .

Die Lösung für $r_{\mathrm {H} }$ hängt also für ein Schwarzes Loch mit gegebener Masse nur von seiner Drehung $a$ ab. Dabei lassen sich zwei Spezialfälle erkennen: Für $a\to 0$ , d. h. für ein nicht-rotierendes Schwarzes Loch, ist

r_{\mathrm {H} }=2{\frac {GM}{c^{2}}}=r_{\mathrm {S} }

und $r_{\mathrm {H} }$ somit identisch mit dem Radius aus der Schwarzschild-Metrik.
Für $a\to GM/c^{2}$ , d. h. für ein maximal-rotierendes Schwarzes Loch, ist

r_{\mathrm {H} }={\frac {GM}{c^{2}}}

und wird auch Gravitationsradius $r_{\mathrm {G} }$ genannt. In kartesischen Hintergrundkoordinaten beträgt der Radius bei maximaler Rotation hingegen ${\bar {r}}={\sqrt {2}}\ r_{\mathrm {s} }$ , während der physikalische axiale Gyrationsradius ${\bar {R}}_{\phi }=U_{\phi }/(2\pi )={\sqrt {|g_{\phi \phi }|}}=r_{\mathrm {s} }$ beträgt. Der poloidiale Gyrationsradius

{\bar {R}}_{\theta }={\sqrt {|g_{\theta \theta }|}}={\sqrt {a^{2}\cos ^{2}\theta +r^{2}}}

hingegen ist nicht nur von der Radialkoordinate $r$ , sondern auch vom Polwinkel abhängig. Die Oberfläche des Ereignishorizonts bei maximaler Rotation ist damit

A_{\mathrm {H} }=\int _{0}^{\pi }2\pi \ {\bar {R}}_{\phi }\ {\bar {R}}_{\theta }\,\mathrm {d} \theta =4\pi \ (r^{2}+a^{2})=8\pi \ G^{2}M^{2}/c^{4}

und nicht, wie man annehmen könnte, $4\pi \ r_{\text{H}}^{2}$ .

Der Gravitationsradius wird oft auch als Längeneinheit bei der Beschreibung der Umgebung eines Schwarzen Lochs benutzt.

Um den Ereignishorizont des rotierenden Schwarzen Loches befindet sich zusätzlich die Ergosphäre, in der die Raumzeit selbst in zunehmendem Maße an der Rotation des Schwarzen Loches teilnimmt. Materie, Licht, Magnetfelder etc. müssen innerhalb der Ergosphäre grundsätzlich mit dem Schwarzen Loch mitrotieren. Da Ladungen in der Ergosphäre ein starkes Magnetfeld induzieren, können die beobachteten Jets und deren Synchrotronstrahlung bei aktiven Galaxienkernen damit erklärt werden.

Elektrisch geladene Schwarze Löcher

Elektrisch geladene, nichtrotierende Schwarze Löcher werden durch die Reissner-Nordström-Metrik beschrieben, elektrisch geladene, rotierende Schwarze Löcher durch die Kerr-Newman-Metrik.

Literatur

Ray d’Inverno: Einführung in die Relativitätstheorie. 2. Auflage. Wiley-VCH, Berlin 2009, ISBN 978-3-527-40912-9, Kapitel 6.7, 23.13 und 23.14.

Weblinks

Wiktionary: Ereignishorizont – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Einzelnachweise

↑ Alan Ellis: Black Holes – Part 1 – History. (Memento vom 6. Oktober 2017 im Internet Archive) In: Journal of the Astronomical Society of Edinburgh. 39 (1999), Englisch, Beschreibung von Michells Theorie der „Dunklen Sterne“. Abgerufen am 15. Februar 2012.
↑ K. Schwarzschild: Über das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie. In: Sitzungsberichte der Deutschen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, Klasse für Mathematik, Physik, und Technik. (1916) S. 189.
1 2 Florian Scheck: Theoretische Physik 3: Klassische Feldtheorie. Springer, Berlin 2005, ISBN 3-540-23145-5, S. 354. Online-Version bei Google Books. Abgerufen am 21. Februar 2012.
↑ Ray d’Inverno: Einführung in die Relativitätstheorie. 2. Auflage, Wiley-VCH, Berlin 2009, ISBN 978-3-527-40912-9, S. 311.
1 2 Ray d’Inverno: Einführung in die Relativitätstheorie. 2. Auflage, Wiley-VCH, Berlin 2009, ISBN 978-3-527-40912-9, S. 318
↑ Predrag Jovanović, Luka Č. Popović: X-ray Emission From Accretion Disks of AGN: Signatures of Supermassive Black Holes. Astronomical Observatory, Volgina 7, 11160 Belgrade, Serbia (PDF; 1,5 MB) S. 15. Abgerufen am 24. Februar 2012.
↑ Scott A. Hughes: Nearly horizon skimming orbits of Kerr black holes. S. 5 ff.
↑ Raine, Thomas: Black Holes: A Student Text. S. 80 ff.
↑ Matt Visser: The Kerr spacetime: A brief introduction. (Erstveröffentlichung: arxiv:0706.0622), S. 27, Gleichung 118.
↑ Andreas Müller: Astro Lexikon G4. Eintrag „Gravitationsradius“, Portal wissenschaft-online der Spektrum der Wissenschaft Verlagsgesellschaft mbH. Abgerufen am 22. Februar 2012.

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[1] Alan Ellis: Black Holes – Part 1 – History. (Memento vom 6. Oktober 2017 im Internet Archive) In: Journal of the Astronomical Society of Edinburgh. 39 (1999), Englisch, Beschreibung von Michells Theorie der „Dunklen Sterne“. Abgerufen am 15. Februar 2012.

[2] K. Schwarzschild: Über das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie. In: Sitzungsberichte der Deutschen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, Klasse für Mathematik, Physik, und Technik. (1916) S. 189.

[scheck_354-3] 1 2 Florian Scheck: Theoretische Physik 3: Klassische Feldtheorie. Springer, Berlin 2005, ISBN 3-540-23145-5, S. 354. Online-Version bei Google Books. Abgerufen am 21. Februar 2012.

[4] Ray d’Inverno: Einführung in die Relativitätstheorie. 2. Auflage, Wiley-VCH, Berlin 2009, ISBN 978-3-527-40912-9, S. 311.

[inverno_318-5] 1 2 Ray d’Inverno: Einführung in die Relativitätstheorie. 2. Auflage, Wiley-VCH, Berlin 2009, ISBN 978-3-527-40912-9, S. 318

[jovanovic_15-6] Predrag Jovanović, Luka Č. Popović: X-ray Emission From Accretion Disks of AGN: Signatures of Supermassive Black Holes. Astronomical Observatory, Volgina 7, 11160 Belgrade, Serbia (PDF; 1,5 MB) S. 15. Abgerufen am 24. Februar 2012.

[hughes-7] Scott A. Hughes: Nearly horizon skimming orbits of Kerr black holes. S. 5 ff.

[stdtxt-8] Raine, Thomas: Black Holes: A Student Text. S. 80 ff.

[visser10-9] Matt Visser: The Kerr spacetime: A brief introduction. (Erstveröffentlichung: arxiv:0706.0622), S. 27, Gleichung 118.

[10] Andreas Müller: Astro Lexikon G4. Eintrag „Gravitationsradius“, Portal wissenschaft-online der Spektrum der Wissenschaft Verlagsgesellschaft mbH. Abgerufen am 22. Februar 2012.

	statisch $(J=0)$	rotierend $(J\neq 0)$
ungeladen $(Q=0)$	Schwarzschild-Metrik	Kerr-Metrik
geladen $(Q\neq 0)$	Reissner-Nordström-Metrik	Kerr-Newman-Metrik
$Q$ : Elektrische Ladung; $\ J$ : Drehimpuls