Der Seelensatz ist ein mathematischer Lehrsatz aus dem Gebiet der Differentialgeometrie, der es ermöglicht, die Untersuchung von (nicht-kompakten) Mannigfaltigkeiten nichtnegativer Krümmung auf die Untersuchung von Vektorbündeln über kompakten Mannigfaltigkeiten nichtnegativer Krümmung zurückzuführen. Er wurde von Jeff Cheeger und Detlef Gromoll sowie in seiner verschärften Form (für in mindestens einem Punkt positive Krümmung) von Grigori Perelman bewiesen.

Seelensatz

${\displaystyle M}$ sei eine vollständige zusammenhängende Riemannsche Mannigfaltigkeit nichtnegativer Schnittkrümmung. Dann gibt es eine kompakte, totalkonvexe, totalgeodätische Untermannigfaltigkeit ${\displaystyle S}$, so dass ${\displaystyle M}$ zum Normalenbündel von ${\displaystyle S}$ diffeomorph ist. ${\displaystyle S}$ heißt die Seele von ${\displaystyle M}$.

Wenn ${\displaystyle M}$ nicht-kompakt und die Schnittkrümmung in mindestens einem Punkt strikt positiv ist, dann ist die Seele ein Punkt, ${\displaystyle M}$ also diffeomorph zum ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$.

Literatur

• Cheeger, Gromoll: On the structure of complete manifolds of nonnegative curvature, Annals of Mathematics 96, 413–443, 1972.
• Perelman: Proof of the soul conjecture of Cheeger and Gromoll, Journal of Differential Geometry 40, 209–212, 1994.