Definition in homogenen Koordinaten

Sei ${\displaystyle K}$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ der ${\displaystyle n}$- und ${\displaystyle \mathbb {P} ^{m}}$ der ${\displaystyle m}$-dimensionale projektive Raum über ${\displaystyle K}$ mit homogenen Koordinaten ${\displaystyle X_{0},\dotsc ,X_{n}}$ und ${\displaystyle Y_{0},\dotsc ,Y_{m}}$.

Die Segre-Einbettung ${\displaystyle \sigma _{n,m}}$ von ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ und ${\displaystyle \mathbb {P} ^{m}}$ ist definiert als

${\displaystyle \sigma _{n,m}\colon \mathbb {P} ^{n}\times \mathbb {P} ^{m}\to \mathbb {P} ^{(n+1)(m+1)-1},([X_{0}:X_{1}:\cdots :X_{n}],[Y_{0}:Y_{1}:\cdots :Y_{m}])\mapsto [X_{0}Y_{0}:X_{0}Y_{1}:\cdots :X_{i}Y_{j}:\cdots :X_{n}Y_{m}]}$,

wobei die ${\displaystyle X_{i}Y_{j}}$ nach der lexikographischen Ordnung angeordnet sind.

Das Bild ${\displaystyle \Sigma _{m,n}:=\sigma _{n,m}(\mathbb {P} ^{n}\times \mathbb {P} ^{n})}$ wird als Segre-Varietät bezeichnet.

Koordinatenfreie Definition

Es ist auch möglich, die Segre-Einbettung koordinatenfrei zu definieren. Für endlichdimensionale ${\displaystyle K}$-Vektorräume ${\displaystyle V}$ und ${\displaystyle W}$ und die zugehörigen projektiven Räume ${\displaystyle \mathbb {P} (W)}$ und ${\displaystyle \mathbb {P} (V)}$ definiert man die Segre-Einbettung ${\displaystyle \sigma _{V,W}}$ mit Hilfe des Tensorprodukts ${\displaystyle \otimes }$ als

${\displaystyle \sigma _{V,W}\colon \mathbb {P} (V)\times \mathbb {P} (W)\to \mathbb {P} (V\otimes W),([v],[w])\mapsto [v\otimes w]}$.

Quadrik

Im einfachsten Fall erhalten wir für ${\displaystyle n=m=1}$ eine Einbettung des Produktes der projektiven Geraden nach ${\displaystyle \mathbb {P} ^{3}}$. Die Segre-Varietät ${\displaystyle \Sigma _{1,1}}$ ist dann eine Quadrik. Bezeichnet man die homogenen Koordinaten ${\displaystyle \mathbb {P} ^{3}}$ mit ${\displaystyle Z_{0},\dotsc ,Z_{3}}$, so erhält man die Quadrik als Nullstellenmenge der Determinante

${\displaystyle \det \left({\begin{matrix}Z_{0}&Z_{1}\\Z_{2}&Z_{3}\end{matrix}}\right)=Z_{0}Z_{3}-Z_{1}Z_{2}.}$