Spuren

Semiendliche Von-Neumann-Algebren ${\displaystyle A}$ zeichnen sich dadurch aus, dass sie ein semiendliches, normales, treues Spurgewicht besitzen, das heißt, es gibt eine Abbildung ${\displaystyle \phi \colon A^{+}\rightarrow [0,\infty ]}$ auf der Menge der positiven Elemente von ${\displaystyle A}$ mit folgenden Eigenschaften:

• ${\displaystyle \phi (a+\lambda b)=\phi (a)+\lambda \phi (b)}$ für alle ${\displaystyle a,b\in A^{+}}$ und ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} ^{+}}$ mit den üblichen Konventionen für das Rechnen mit unendlich.
• ${\displaystyle \phi (u^{*}au)=\phi (a)}$ für alle ${\displaystyle a\in A^{+}}$ und alle unitären Elemente ${\displaystyle u\in A}$.
• Für jedes ${\displaystyle a\in A^{+}}$ ist ${\displaystyle \phi (a)}$ das Supremum der ${\displaystyle \phi (b)}$ mit ${\displaystyle b\in A^{+}}$, ${\displaystyle b\leq a}$ und ${\displaystyle \phi (b)<\infty }$ (Semiendlichkeit der Spur).
• Für jedes aufsteigende Netz ${\displaystyle \textstyle (a_{i})_{i\in I}}$ in ${\displaystyle A^{+}}$ mit Supremum ${\displaystyle a\in A^{+}}$ gilt ${\displaystyle \textstyle \phi (a)=\sup _{i\in I}\phi (a_{i})}$ (Normalität der Spur).
• Für jedes ${\displaystyle a\in A^{+}}$ folgt ${\displaystyle a=0}$ aus ${\displaystyle \phi (a)=0}$ (Treue der Spur).

Im unten angegebenen Lehrbuch Von Neumann Algebras von Jacques Dixmier ist dies die Definition der semiendlichen Von-Neumann-Algebren.

Vererbungseigenschaften

Die Kommutante einer semiendlichen Von-Neumann-Algebra ist wieder semiendlich. Eine Von-Neumann-Algebra ist genau dann semiendlich, wenn sie isomorph zu einer Von-Neumann-Algebra ist, deren Kommutante eine endliche Von-Neumann-Algebra ist.

Tensorprodukte endlich vieler semiendlicher Von-Neumann-Algebren sind wieder semiendlich. Beliebige direkte Produkte semiendlicher Von-Neumann-Algebren sind wieder semiendlich.

Da die Algebra ${\displaystyle L(H)}$ aller beschränkten, linearen Operatoren auf einem Hilbertraum semiendlich ist, kann es keine Vererbung dieser Eigenschaft auf Unteralgebren geben, denn jede Von-Neumann-Algebra ist ja Unteralgebra einer solchen Algebra ${\displaystyle L(H)}$.

Hilbert-Algebren

Die seminendlichen Von-Neumann-Algebren sind genau diejenigen von Neumann-Algebren, die isomorph zur links-assoziierten Von-Neumann-Algebra einer Hilbertalgebra sind.

Tomita-Takesaki-Theorie

In der Tomita-Takesaki-Theorie zeigt man, dass eine Von-Neumann-Algebra genau dann semiendlich, wenn ihre modulare Gruppe inner ist. Genauer gilt: Ist ${\displaystyle \varphi }$ ein treuer, normaler Zustand auf einer Von-Neumann-Algebra ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle t\mapsto \sigma _{t}^{\varphi }}$ die zugehörige modulare Gruppe, so ist ${\displaystyle A}$ genau dann semiendlich, wenn es einen im Allgemeinen unbeschränkten, positiven und injektiven Operator ${\displaystyle h}$ gibt mit

1. ${\displaystyle h=uhu^{*}}$ für alle unitären Operatoren ${\displaystyle u\in A^{'}}$
2. ${\displaystyle \sigma _{t}^{\varphi }(a)=h^{it}ah^{-it}}$ für alle ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$ und ${\displaystyle a\in A}$.

Wäre ${\displaystyle h}$ beschränkt, so würde dieser Operator gemäß der ersten Bedingung mit jedem unitären Operator aus der Kommutante ${\displaystyle A^{'}}$ kommutieren, und daher mit jedem Operator aus ${\displaystyle A^{'}}$, und er wäre daher nach dem Bikommutantensatz ein Element aus ${\displaystyle A}$. In diesem Sinne "gehört" also der unbeschränkte Operator ${\displaystyle h}$ zu ${\displaystyle A}$. Mit dem unbeschränkten Borel-Funktionalkalkül ergibt sich, dass die Operatoren ${\displaystyle h^{it}}$ unitäre Operatoren aus ${\displaystyle A}$ sind, das heißt, die ${\displaystyle \sigma _{t}^{\varphi }}$ sind innere Automorphismen.