Ein Simplizialkomplex ist ein Begriff der algebraischen Topologie. Bei einem Simplizialkomplex handelt es sich um ein rein kombinatorisch beschreibbares Objekt, mit dessen Hilfe die entscheidenden Eigenschaften von bestimmten, als triangulierbar bezeichneten topologischen Räumen algebraisch charakterisiert werden können. Insbesondere werden Simplizialkomplexe dazu verwendet, für den zugrundeliegenden topologischen Raum Invarianten zu definieren.

Die Idee des Simplizialkomplexes besteht darin, einen topologischen Raum dadurch zu untersuchen, dass – sofern möglich – durch Zusammenfügen von Simplizes eine Menge im d-dimensionalen euklidischen Raum konstruiert wird, die homöomorph ist zum gegebenen topologischen Raum. Die „Anleitung zum Zusammenbau“ der Simplizes, das heißt die Angaben darüber, wie die Simplizes zusammengefügt sind, wird dann in Form einer Sequenz von Gruppenhomomorphismen rein algebraisch charakterisiert.

Grundidee

Der formalen Definition eines Simplizialkomplexes liegt die Idee zugrunde, dass bestimmte Teilmengen des ${\displaystyle d}$-dimensionalen euklidischen Raums zerlegt werden können in Punkte, Strecken, Dreiecke, Tetraeder und so weiter. Da es sich bei den vier aufgezählten geometrischen Objekten um die einfachsten Polytope der jeweiligen Dimension ${\displaystyle n=0,1,2,3}$ handelt, die als ${\displaystyle n}$-Simplex bezeichnet werden, handelt es sich allgemein um Zerlegungen in ${\displaystyle n}$-Simplizes: Punkt (0-Simplex), Gerade (1-Simplex), Dreieck (2-Simplizes), Tetraeder (3-Simplex), Pentachoron (4-Simplex), 5-Simplex und so weiter.

Bei der formalen Beschreibung einer solchen Zerlegung im Rahmen eines Simplzialkomplexes werden die Kantenlängen ausgeblendet. Maßgeblich ist nur die Art des „Zusammenbaus“, d. h. die Information darüber, wie die ${\displaystyle n}$-Simplizes aneinandergefügt sind. Diese Informationen dienen dann dazu, die zerlegte Punktmenge zu charakterisieren.

Definitionen

Abschluss, Stern und Link

Sei ${\displaystyle M}$ eine Menge von Simplizes in einem geometrischen Simplizialkomplex ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$. Man kann nun durch drei Konstruktionen ${\displaystyle M}$ zu einem Teilkomplex von ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ machen, wobei der Stern von ${\displaystyle M}$ beim Beweis des simplizialen Approximationssatz gebraucht wird.

• Zwei Simplizes (gelb) und deren Abschluss (grün).
• Ein Simplex und dessen Stern.
• Ein Simplex und dessen Link.

Simpliziale Abbildungen

Eine simpliziale Abbildung ${\displaystyle f\colon {\mathcal {K}}\to {\mathcal {L}}}$ ist eine Abbildung zwischen den Eckenmengen ${\displaystyle f\colon V({\mathcal {K}})\to V({\mathcal {L}})}$, bei der für jedes Simplex aus ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ dessen Ecken unter der Abbildung ${\displaystyle f}$ auf die Ecken eines Simplex in ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ abgebildet werden.

Eine simpliziale Abbildung ${\displaystyle f\colon {\mathcal {K}}\to {\mathcal {L}}}$ induziert eine stetige Abbildung ${\displaystyle \vert f\vert \colon \vert {\mathcal {K}}\vert \to \vert {\mathcal {L}}\vert }$. Dazu wird im Inneren jedes geometrischen Simplex eine affin lineare Fortsetzung konstruiert.

Umgekehrt lässt sich eine stetige Abbildung ${\displaystyle g\colon \vert {\mathcal {K}}\vert \to \vert {\mathcal {L}}\vert }$ nach endlich vielen baryzentrische Unterteilungen durch eine simpliziale Abbildung ${\displaystyle f\colon \operatorname {Bd} ^{m}({\mathcal {K}})\to {\mathcal {L}}}$ approximieren, siehe simplizialer Approximationssatz. Hierbei steht ${\displaystyle \operatorname {Bd} }$ für die baryzentrische Unterteilung.

Eine simpliziale Abbildung, die bijektiv ist, das heißt, die Umkehrabbildung ist auch eine simpliziale Abbildung, nennt man einen simplizialen Isomorphismus.

Der Simplizialkomplex als Kettenkomplex

Sei ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ ein endlicher Simplizialkomplex. Die ${\displaystyle p}$-te simpliziale Gruppe von ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ ist die freie abelsche Gruppe, die von der Menge der Simplizes mit Dimension ${\displaystyle p}$ erzeugt wird, sie wird mit ${\displaystyle C_{p}^{\Delta }({\mathcal {K}})}$ notiert. Die Elemente der Gruppe heißen simpliziale ${\displaystyle p}$-Ketten. Wählt man eine totale Ordnung für alle Ecken, die in irgendeinem Simplex von ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ liegen, so erhält man durch Einschränkung auch eine Ordnung für jedes einzelne ${\displaystyle p}$-Simplex. Ein Randoperator ${\displaystyle \partial \colon C_{p}^{\Delta }({\mathcal {K}})\to C_{p-1}^{\Delta }({\mathcal {K}})}$ wird dann definiert durch

${\displaystyle \partial (\langle v_{k_{0}},\ldots ,v_{k_{p}}\rangle ):=\sum _{i=0}^{p}(-1)^{i}\langle v_{k_{0}},\ldots ,v_{k_{i-1}},v_{k_{i+1}},\ldots ,v_{k_{p}}\rangle ,}$

wobei ${\displaystyle \langle v_{k_{0}},\ldots ,v_{k_{p}}\rangle }$ das aus den Ecken erzeugte Gruppenelement meint. Für den Randoperator gilt ${\displaystyle \partial (\partial c)=0}$ für alle simplizialen ${\displaystyle p}$-Ketten ${\displaystyle c}$. Daher ist ${\displaystyle (C_{p}^{\Delta }({\mathcal {K}}),\partial )}$ ein Kettenkomplex und man kann auf gewohnte Weise auf diesem eine Homologie erklären. Diese Homologie wird simpliziale Homologie genannt.

Anwendung in der Graphentheorie

Man kann einem Graphen Simplizialkomplexe zuweisen, um so untere Schranken an die chromatische Zahl zu beweisen. Wahrscheinlich am bekanntesten sind die Nachbarschaftskomplexe von László Lovász.

Geschichte

Triangulierungen und ein in Matrixschreibweise formuliertes Äquivalent zu dem daraus gebildeten Kettenkomplex wurden von Henri Poincaré gegen Ende des neunzehnten Jahrhunderts untersucht. Simplizale Abbildungen wurde erstmals 1912 von Brouwer verwendet. In den 1920er-Jahren entstand dann die Sichtweise, die zum Begriff des Kettenkomplexes führte.

Siehe auch

• Simpliziales Polytop
• Simpliziale Menge
• Simpliziale Homologie
• CW-Komplex – ein allgemeinerer Begriff, der Simplizialkomplexe als Spezialfall umfasst.
• Fahnenkomplex

Einzelnachweise

1. ↑ H. Hopf, P. Alexandroff: Topologie, Berlin, 1935, S. 158 (online)
2. ↑ Herbert Seifert, William Threlfall: Lehrbuch der Topologie. Hrsg.: AMS Chelsea Publ. 2004, ISBN 978-0-8218-3595-1, S. 47. 
3. ↑ Fridtjof Toenniessen: Topologie: Ein Lesebuch von den elementaren Grundlagen bis zur Homologie und Kohomologie. 1. Auflage. Springer Spektrum, 2017, ISBN 978-3-662-54963-6, S. 163–164. 
4. ↑ H. Hopf, P. Alexandroff: Topologie, Berlin, 1935, S. 172 (online)
5. ↑ Jean Dieudonné: A History of Algebraic and Differential Topology 1900-1960, S. 4–6, Boston 1989, Reprint 2009, ISBN 978-0-8176-4906-7, doi:10.1007/978-0-8176-4907-4

Quellen

• John M. Lee: Introduction to Topological Manifolds. Springer-Verlag, New York NY u. a. 2000, ISBN 0-387-98759-2 (Graduate Texts in Mathematics 202), Seiten 96, 323–324
• S. N. Malygin & M. M. Postnikov: Simplicial complex. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, encyclopediaofmath.org). 

Weblinks

• Jörg Bewersdorff: Algebraische Topologie und Fixpunkte. Einführender Überblicksartikel (PDF-Datei; 179 kB).
• Jie Wu: Lecture Notes on Algebraic Topology: Simplicial Complexes (PDF; 713 kB) (Memento vom 4. März 2016 im Internet Archive).