Rechenbeispiel

Wir wollen die Homologiegruppen des Dreiecks (bestehend aus drei 0-Simplizes ${\displaystyle v_{1},v_{2},v_{3}}$ und den drei sie verbindenden 1-Simplizes, keinem 2-Simplex und keinen höherdimensionalen Simplizes) berechnen.

Nach Definition des Randoperators ist ${\displaystyle \partial _{0}([v_{i}])=0}$, also:

${\displaystyle \mathrm {ker} (\partial _{0})=C_{0}=\{a_{1}[v_{1}]+a_{2}[v_{2}]+a_{3}[v_{3}]|a_{1},a_{2},a_{3}\in \mathbb {Z} \}\cong \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} }$

d. h. alle 0-Ketten sind im Kern.

Für eine 1-Kette ${\displaystyle c_{1}=b_{1}[v_{1},v_{2}]+b_{2}[v_{2},v_{3}]+b_{3}[v_{3},v_{1}]}$ ist

${\displaystyle \partial _{1}(c_{1})=(b_{3}-b_{1})[v_{1}]+(b_{1}-b_{2})[v_{2}]+(b_{2}-b_{3})[v_{3}]}$.

Daraus erhält man

${\displaystyle \mathrm {Im} (\partial _{1})=\{(b_{3}-b_{1})[v_{1}]+(b_{1}-b_{2})[v_{2}]+(b_{2}-b_{3})[v_{3}]|b_{1},b_{2},b_{3}\in \mathbb {Z} \}}$.

Eine 0-Kette ${\displaystyle c_{0}=a_{1}[v_{1}]+a_{2}[v_{2}]+a_{3}[v_{3}]}$ gehört also genau dann zum Bild von ${\displaystyle \partial _{1}}$, wenn

${\displaystyle a_{1}=b_{3}-b_{1}}$

${\displaystyle a_{2}=b_{1}-b_{2}}$

${\displaystyle a_{3}=b_{2}-b_{3}}$,

also genau dann, wenn ${\displaystyle a_{1}+a_{2}+a_{3}=0}$. Daraus folgt

${\displaystyle H_{0}(S)\cong (\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} )/(a_{1}+a_{2}+a_{3}=0)\cong \mathbb {Z} }$.

Zur Berechnung der ersten Homologiegruppe: Für eine 1-Kette

${\displaystyle c_{1}=b_{1}[v_{1},v_{2}]+b_{2}[v_{2},v_{3}]+b_{3}[v_{3},v_{1}]}$

ist ${\displaystyle \partial _{1}(c_{1})=0}$ genau dann, wenn ${\displaystyle b_{1}=b_{2}=b_{3}}$, also

${\displaystyle \mathrm {ker} (\partial _{1})=\{b[v_{1},v_{2}]+b[v_{2},v_{3}]+b[v_{3},v_{1}]|b\in \mathbb {Z} \}\cong \mathbb {Z} .}$

Weil es keine 2-Simplizes gibt, sind Kern und Bild von ${\displaystyle \partial _{2}}$ trivial, ${\displaystyle \mathrm {ker} (\partial _{2})=\mathrm {Im} (\partial _{2})=0}$. Damit erhalten wir:

${\displaystyle H_{1}(S)=\mathrm {ker} (\partial _{1})/\mathrm {Im} (\partial _{2})=\mathrm {ker} (\partial _{1})\cong \mathbb {Z} }$

${\displaystyle H_{2}(S)=\mathrm {ker} (\partial _{2})/\mathrm {Im} (\partial _{3})\cong 0}$

und trivialerweise ${\displaystyle H_{i}(S)\cong 0}$ für alle ${\displaystyle i>2}$.

Weitere Beispiele

Es gelten:

• Ist ${\displaystyle K}$ der simpliziale Komplex, der das Dreieck mit Inhalt trianguliert. Das heißt der Komplex wie oben, nur zusätzlich mit dem 2-Simplex. Dann ergibt sich ${\displaystyle H_{0}(K)=\mathbb {Z} ,\,H_{1}(K)=H_{2}(K)=\ldots =0}$.
• Für den 2-Torus ${\displaystyle T=S^{1}\times S^{1}}$ gilt ${\displaystyle H_{1}(T)=\mathbb {Z} ^{2},\,H_{2}(T)=\mathbb {Z} }$ und ${\displaystyle H_{i}(T)=0}$ für ${\displaystyle i>2}$.
• Für die Kleinsche Flasche ${\displaystyle K}$ gilt ${\displaystyle H_{1}(K)=\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$ und ${\displaystyle H_{i}(K)=0}$ für ${\displaystyle i\geq 2}$.
• Es gilt ${\displaystyle H_{1}(\mathbb {R} P^{2})=\mathbb {Z} }$ und ${\displaystyle H_{i}(\mathbb {R} P^{2})=0}$ für alle ${\displaystyle i\geq 2}$.
• Sei ${\displaystyle K}$ ein simplizialer Komplex mit ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ Zusammenhangskomponenten, dann gilt ${\displaystyle H_{0}(K)=\mathbb {Z} ^{n}}$.

Simpliziale Abbildungen

Eine simpliziale Abbildung ${\displaystyle f\colon K\to L}$ induziert eine Kettenabbildung

${\displaystyle f_{*}:C_{*}(K)\rightarrow C_{*}(L)}$

durch

${\displaystyle f_{*}(\sum _{i=1}^{r}a_{i}\sigma _{i})=\sum _{i=1}^{r}a_{i}f(\sigma _{i})}$

und wegen ${\displaystyle df=fd}$ eine wohldefinierte Abbildung

${\displaystyle f_{*}:H_{*}(K)\rightarrow H_{*}(L)}$.

Stetige Abbildungen

Sei

${\displaystyle f:\vert K\vert \to \vert L\vert }$

eine stetige Abbildung zwischen den geometrischen Realisierungen zweier Simplizialkomplexe ${\displaystyle K}$ und ${\displaystyle L}$. Wir bezeichnen mit ${\displaystyle Bd(K)}$ die baryzentrische Unterteilung von ${\displaystyle K}$ und mit ${\displaystyle Bd^{n}(K)}$ die ${\displaystyle n}$-fach iterierte baryzentrische Unterteilung. Es gilt ${\displaystyle \vert Bd^{n}(K)\vert =\vert K\vert }$.

Nach dem simplizialen Approximationssatz gibt es ein ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$, so dass ${\displaystyle f:\vert Bd^{n}(K)\vert \to \vert L\vert }$ eine simpliziale Approximation

${\displaystyle g:Bd^{n}(K)\rightarrow L}$

besitzt.

Dann wird

${\displaystyle f_{*}:H_{*}(K)\rightarrow H_{*}(L)}$

definiert als die Verknüpfung von ${\displaystyle g_{*}}$ mit dem kanonischen Isomorphismus ${\displaystyle H_{*}(K)\to H_{*}(Bd^{n}(K))}$. Man kann zeigen, dass der so definierte Homomorphismus ${\displaystyle f_{*}}$ unabhängig von der Wahl der simplizialen Approximation ist.