Simsonsche Gerade

Die simsonsche Gerade ist ein Gegenstand der Dreiecksgeometrie. Liegen die Fußpunkte der von einem Punkt $P$ aus gefällten Lote auf die (eventuell verlängerten) Seiten eines Dreiecks $\triangle ABC$ auf einer gemeinsamen Geraden, so wird diese Gerade als simsonsche Gerade oder wallacesche Gerade und der Punkt $P$ als ihr Pol bezeichnet. Dies ist genau dann der Fall, wenn $P$ auf dem Umkreis von $\triangle ABC$ liegt.

Die Simson-Gerade ist irrtümlicherweise nach dem Mathematiker Robert Simson (1687–1768) benannt, in dessen Werk sich jedoch keine Arbeit zur Simson-Geraden finden lässt. In Wirklichkeit wurde sie 1797 von William Wallace (1768–1843) entdeckt.

Weitere Eigenschaften

Parallelen zur Simson-Gerade

Jede Simson-Gerade eines Dreieckes besitzt drei besondere Parallelen, die jeweils durch einen der drei Eckpunkte des Dreiecks verlaufen. Genauer gesagt gilt der folgende Satz: Gegeben sind ein Dreieck $\triangle ABC$ , ein Punkt $P$ auf seinem Umkreis und die zugehörige Simson-Gerade. Ist G_AB nun der Schnittpunkt des Lotes von $P$ auf $AB$ mit dem Umkreis, dann ist die Gerade CG_AB parallel zur Simson-Geraden.

Schnittwinkel zwischen Simson-Geraden

Betrachtet man bei einem Dreieck zwei unterschiedliche Punkte auf dessen Umkreis, so erhält man zwei verschiedene Simson-Geraden. Der Schnittwinkel dieser beiden Simson-Geraden ist genau halb so groß wie der Winkel, den die beiden Punkte mit dem Mittelpunkt des Umkreises bilden. Es seien $P_{1}$ und $P_{2}$ zwei Punkte auf dem Umkreis von $\triangle ABC$ mit Mittelpunkt $O$ . Weiterhin sei $\alpha$ der Schnittwinkel der beiden zugehörigen Simson-Geraden und $\beta =\angle P_{1}OP_{2}$ . Dann gilt $2\alpha =\beta$ .

Simson-Gerade als Streckenhalbierende

Verbindet man den Höhenschnittpunkt eines Dreiecks mit einem Punkt auf dem Umkreis des Dreiecks, so wird diese Verbindungsstrecke von der zugehörigen Simson-Geraden halbiert. Gegeben sind ein Dreieck $\triangle ABC$ , ein Punkt $P$ auf seinem Umkreis und die zugehörige Simson-Gerade. Ist H der Höhenschnittpunkt von $\triangle ABC$ , dann schneidet die Simson-Gerade die Strecke ${\overline {HP}}$ in $G$ und es gilt $\|HG\|=\|GP\|$ . Außerdem liegt $G$ auf dem Feuerbachkreis.

Geradenschar

Lässt man den Simson-Pol $P$ auf dem Kreis wandern, dann besitzt die so entstehende Geradenschar von Simson-Geraden eine Deltoide, auch als Steiner-Hypozykloide bezeichnet, als Hüllkurve.

Sonstiges

Besitzen zwei Dreiecke denselben Umkreis und ihre zugehörigen Simson-Geraden denselben Pol, so ist der Schnittwinkel der beiden Simson-Geraden unabhängig von der Wahl des Pols. Mit anderen Worten: Für alle Punkte $P$ auf dem gemeinsamen Umkreis der beiden Dreiecke ergibt sich ein gleich großer Schnittwinkel der beiden zugehörigen Simson-Geraden.

Beweis

Bewiesen wird: Liegt $P$ auf dem Umkreis von $\triangle ABC$ , so liegen die Fußpunkte auf einer gemeinsamen Geraden. Dazu zeigt man, dass $\angle EFP+\angle PFD=180^{\circ }$ gilt.

Die Fußpunkte $E$ und $F$ liegen auf dem Thaleskreis über $[PA]$ . Da Umfangswinkel (Peripheriewinkel) über demselben Kreisbogen gleich groß sind, folgt

{\begin{aligned}\angle EFP&=90^{\circ }+\angle EFA=90^{\circ }+\angle EPA\\&=90^{\circ }+(90^{\circ }-\angle PAC)=180^{\circ }-\angle PAC\end{aligned}}

.

Andererseits ist $PBCA$ voraussetzungsgemäß ein Sehnenviereck. Die gegenüberliegenden Winkel $\angle PAC$ und $\angle CBP$ dieses Vierecks ergänzen sich daher zu $180^{\circ }$ . Insgesamt ergibt sich also

\angle EFP=\angle CBP

.

Die Punkte $D$ und $F$ liegen auf dem Thaleskreis über $[PB]$ , sodass auch $PBDF$ ein Sehnenviereck ist. Ähnlich wie vorher schließt man $\angle PFD=\angle DBP$ . Wegen $\angle DBP+\angle CBP=180^{\circ }$ erhält man daraus

{\begin{aligned}\angle PFD&=90^{\circ }-\angle DFB=90^{\circ }-(90^{\circ }-\angle PBD)\\&=\angle PBD=180^{\circ }-\angle CBP\end{aligned}}

.

Damit ist mit

\angle EFP+\angle PFD=\angle CBP+(180^{\circ }-\angle CBP)=180^{\circ }

die Behauptung bewiesen.

Bemerkung: Der angegebene Beweis bezieht sich auf die in der Skizze dargestellte Lage der Höhenfußpunkte. Liegen diese anders, muss die Begründung entsprechend variiert werden.

Einzelnachweise

1 2 3 4 5 H. S. M. Coxeter, S. L. Greitzer: Simson Lines. § 2.5 in Geometry Revisited. In: Math. Assoc. Amer., Washington DC 1967, S. 41.
1 2 Eric W. Weisstein: Simson-Gerade (engl.). In: MathWorld (englisch).

Literatur

Max Koecher, Aloys Krieg: Ebene Geometrie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-49327-3, S. 170–172.
H. S. M. Coxeter, S. L. Greitzer: Zeitlose Geometrie. Klett, Stuttgart 1983.
Roger A. Johnson: Advanced Euclidean Geometry. Dover 2007, ISBN 978-0-486-46237-0, S. 137 ff., 206 ff., 243, 251 (Erstveröffentlichung 1929 bei der Houghton Mifflin Company (Boston) unter dem Titel Modern Geometry).
Ross Honsberger: Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry. MAA, 1995, S. 43–48, 82–83, 121, 128–136.

Weblinks

Commons: Simson-Gerade – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Eric W. Weisstein: Simson-Gerade (engl.). In: MathWorld (englisch).
Simson-Gerade auf Matroids Matheplanet
Simson-Gerade (PDF; 48 kB) matheraetsel.de
Simson-Gerade (englisch) cut-the-knot.org

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[coxeter-1] 1 2 3 4 5 H. S. M. Coxeter, S. L. Greitzer: Simson Lines. § 2.5 in Geometry Revisited. In: Math. Assoc. Amer., Washington DC 1967, S. 41.

[mathworld-2] 1 2 Eric W. Weisstein: Simson-Gerade (engl.). In: MathWorld (englisch).