Simulated Annealing (simulierte/-s Abkühlung/Ausglühen) ist ein heuristisches Approximationsverfahren. Es wird zum Auffinden einer Näherungslösung von Optimierungsproblemen eingesetzt, die durch ihre hohe Komplexität das vollständige Ausprobieren aller Möglichkeiten und mathematische Optimierungsverfahren ausschließen.

Grundidee ist die Nachbildung eines Abkühlungsprozesses, etwa beim Glühen in der Metallurgie. Nach dem Erhitzen eines Metalls sorgt die langsame Abkühlung dafür, dass die Atome ausreichend Zeit haben, sich zu ordnen und stabile Kristalle zu bilden. Dadurch wird ein energiearmer Zustand nahe am Optimum erreicht. Übertragen auf das Optimierungsverfahren entspricht die Temperatur einer Wahrscheinlichkeit, mit der sich ein Zwischenergebnis der Optimierung auch verschlechtern darf. Wie viele andere Lokale-Suche-Algorithmen kann das Verfahren dadurch ein lokales Optimum wieder verlassen, um ein besseres zu finden. Vom Metropolis-Algorithmus unterscheidet sich das Verfahren durch das Absenken der Temperatur im Verlauf der Iteration.

Der Algorithmus wird beispielsweise beim Floorplanning im Laufe eines Chipentwurfs oder für die Standort- und Routenplanung verwendet.

Es gibt auch Quantenversionen von Annealing (mit Tunnelung zwischen den Minima), eingeführt in den 1990er Jahren.

Motivation

Der Algorithmus des Simulated Annealing ist durch physikalische Überlegungen motiviert. Gesucht sei ein energetisch günstigster Zustand eines Systems, welches mithilfe der Boltzmann-Statistik beschrieben werden kann. Gemäß der Boltzmann-Statistik ist die Wahrscheinlichkeit, einen Mikrozustand mit Energie ${\displaystyle \geq E_{j}}$ anzutreffen, gegeben durch die Wahrscheinlichkeitsverteilung

${\displaystyle p(E_{j})\propto \exp \left(-{\frac {E_{j}}{k_{\mathrm {B} }T}}\right),}$

wobei ${\displaystyle k_{\mathrm {B} }}$ die Boltzmann-Konstante und ${\displaystyle T}$ die Temperatur ist. Die Energie des energetisch günstigsten Zustandes sei ${\displaystyle E_{0}}$. Die obige Proportionalität bleibt bestehen bei Multiplikation mit einem von ${\displaystyle E_{j}}$ unabhängigen Faktor:

${\displaystyle p(E_{j})\propto \exp \left(-{\frac {(E_{j}-E_{0})}{k_{\mathrm {B} }T}}\right)}$

Da ${\displaystyle E_{0}}$ der energetisch günstigste Zustand ist, gilt ${\displaystyle E_{j}-E_{0}\geq 0}$. Weiterhin ist ${\displaystyle k_{\mathrm {B} }>0}$ und ${\displaystyle T>0}$. Somit ist der Exponent negativ, und mit abnehmender Temperatur wird sein Betrag größer, wodurch die Wahrscheinlichkeit sinkt, einen angeregten Energiezustand mit mindestens ${\displaystyle E_{j}}$ zu finden. Senkt man somit die Temperatur des Systems langsam ab, so wird der energetisch günstigste Zustand mit immer größerer Wahrscheinlichkeit angetroffen.

Problemstellung

Gegeben sei der Lösungsraum ${\displaystyle D}$, eine Fitnessfunktion ${\displaystyle f\colon D\rightarrow \mathbb {R} }$, die jeder Lösung in ${\displaystyle D}$ einen Wert zuweist, und ein Abbruchkriterium.

Gesucht ist eine approximative Lösung des globalen Minimums von ${\displaystyle f}$ über ${\displaystyle D}$, also ein ${\displaystyle x\in D}$ mit möglichst kleinem Wert ${\displaystyle f(x)}$ (oder auch möglichst großem, was man durch Negieren von ${\displaystyle f}$ einfach auf den vorigen Fall zurückführen kann).

Außerdem wird ein Umgebungsbegriff ${\displaystyle U\colon D\rightarrow {\mathcal {P}}(D)}$ (siehe Potenzmenge) benötigt, um zu gegebenem ${\displaystyle x\in D}$ eine benachbarte Lösung ${\displaystyle y\in U(x)}$ zu erzeugen.

Algorithmus

1. Initialisierung:
   • wähle eine Startlösung ${\displaystyle x\in D}$
   • setze ${\displaystyle x_{\mathrm {approx} }=x}$
   • wähle eine monoton gegen Null fallende Folge von positiven Temperaturwerten ${\displaystyle (T_{t})_{t\in \mathbb {N} }}$
   • Setze ${\displaystyle t=0}$
2. lokale Veränderung:
   • wähle zu ${\displaystyle x}$ einen Nachbarn ${\displaystyle y\in U(x)}$ zufällig aus
3. Selektion:
   • wenn ${\displaystyle f(y)\leq f(x)}$, setze ${\displaystyle x=y}$
   • anderenfalls setze ${\displaystyle x=y}$ nur mit Wahrscheinlichkeit ${\displaystyle \exp \left(-{\frac {f\left(y\right)-f\left(x\right)}{T_{t}}}\right)}$.
4. Bisher beste Lösung aktualisieren:
   • wenn ${\displaystyle f(x)<f(x_{\text{approx}})}$, setze ${\displaystyle x_{\text{approx}}=x}$
5. Inkrementiere:
   • setze ${\displaystyle t=t+1}$
6. Abbruch oder weiter:
   • wenn die Abbruchbedingung nicht erfüllt ist, gehe zu Schritt 2.

Siehe auch

• Schwellenakzeptanz (threshold accepting)
• Deterministic Annealing
• Stochastisches Tunneln
• Sintflutalgorithmus
• Metropolisalgorithmus

Literatur

• Ingo Wegener: Simulated Annealing Beats Metropolis in Combinatorial Optimization. In: Lecture Notes in Computer Science. Band 3580. Springer, Berlin/Heidelberg 2005, ISBN 978-3-540-27580-0, S. 589–601, doi:10.1007/11523468 (Für ein einfach zu beschreibendes Problem wird gezeigt, dass unabhängig von der Temperatur die simulierte Abkühlung effizienter ist als der Metropolisalgorithmus.). 

Weblinks

• Interaktives JavaScript zur Demonstration (Memento vom 13. März 2015 im Internet Archive)
• Interaktive Demonstration zum Ausprobieren
• C#-Implementierung und Anwendung zur Minimierung und auf das Problem des Handelsreisenden
• Simulated Annealing in C++ Optimierungs-Bibliothek cppOpt cppOpt bzw. OptSimulatedAnnealing.h

Einzelnachweise

1. ↑ Bogatzki, A.: Fabrikplanung: Verfahren zur Optimierung von Maschinenaufstellung. Diss. Universität Wuppertal (1998). Roderer 1998. ISBN 978-3-89073-234-3
2. ↑ T. Kadowaki, H. Nishimori, Quantum annealing in the transverse Ising model, Phys. Rev. E, Band 58, 1998, S. 5355
3. ↑ A. B. Finilla, M. A. Gomez, C. Sebenik, J. D. Doll, Quantum annealing: A new method for minimizing multidimensional functions, Chem. Phys. Lett., Band 219, 1994, S. 343
4. ↑ JP Dr. A. Arnold, Universität Stuttgart, Institut für Computerphysik, Skript zur Vorlesung Physik auf dem Computer (PDF; 3,3 MB) S. 181 ff.
5. ↑ Google TechTalk Vortrag Eine kurze, aber sehr verständliche Erklärung zum Thema findet man ab Minute 35.