Anmerkung

Manche Autoren, wie zum Beispiel do Carmo oder Gallot, Hulin, Lafontaine, definieren den Riemannschen Krümmungstensor mit umgekehrtem Vorzeichen. In diesem Fall dreht sich auch das Vorzeichen bei der Definition der Schnittkrümmung und der Ricci-Krümmung, so dass bei allen Autoren die Vorzeichen von Schnittkrümmung, Ricci-Krümmung und Skalarkrümmung übereinstimmen.

Tensorfeld

Der Krümmungstensor ist ein ${\displaystyle (1,3)}$-Tensorfeld.

• Er ist also insbesondere in jeder Variablen linear.
• Der Wert von ${\displaystyle R(X,Y)Z}$ am Punkt ${\displaystyle p}$ der Mannigfaltigkeit hängt nur von den Werten der Vektorfelder ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle Y}$ und ${\displaystyle Z}$ am Punkt ${\displaystyle p}$ ab (und nicht etwa von den Werten in einer Umgebung von ${\displaystyle p}$.)

Symmetrien des Krümmungstensors

Auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit ${\displaystyle M}$ mit beliebigem Zusammenhang ist der Krümmungstensor schiefsymmetrisch in den ersten zwei Einträgen, das heißt, es gilt

Erste Vertauschungssymmetrie	${\displaystyle R(X,Y)Z=-R(Y,X)Z\qquad }$	${\displaystyle R_{abcd}=-R_{abdc}\Leftrightarrow R_{ab(cd)}=0}$

Für riemannsche Mannigfaltigkeiten ${\displaystyle (M,g)}$ mit dem Levi-Civita-Zusammenhang gilt außerdem

Zweite Vertauschungssymmetrie	${\displaystyle g(R(X,Y)Z,T)=-g(R(X,Y)T,Z)\qquad }$	${\displaystyle R_{abcd}=-R_{bacd}\Leftrightarrow R_{(ab)cd}=0}$
Blockvertauschungssymmetrie	${\displaystyle g(R(X,Y)Z,T)=g(R(Z,T)X,Y)}$	${\displaystyle R_{abcd}=R_{cdab}}$

Bianchi-Identitäten

Ist ${\displaystyle M}$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit Zusammenhang ${\displaystyle \nabla }$ und sind ${\displaystyle W,X,Y,Z\in \Gamma ^{\infty }(M,TM)}$ Vektorfelder, dann gilt die erste Bianchi-Identität

• ${\displaystyle R(X,Y)Z+R(Y,Z)X+R(Z,X)Y=(\nabla _{X}T)(Y,Z)+T(T(X,Y),Z)+(\nabla _{Y}T)(Z,X)+T(T(Y,Z),X)+(\nabla _{Z}T)(X,Y)+T(T(Z,X),Y)}$

mit dem Torsionstensor ${\displaystyle T}$ und ${\displaystyle (\nabla _{X}T)(Y,Z)=\nabla _{X}(T(Y,Z))-T(\nabla _{X}Y,Z)-T(Y,\nabla _{X}Z).}$

Die zweite Bianchi-Identität lautet

• ${\displaystyle (\nabla _{X}R)(Y,Z)+R(T(X,Y),Z)+(\nabla _{Y}R)(Z,X)+R(T(Y,Z),X)+(\nabla _{Z}R)(X,Y)+R(T(Z,X),Y)=0}$

mit ${\displaystyle (\nabla _{X}R)(Y,Z)W=\nabla _{X}(R(Y,Z)W)-R(\nabla _{X}Y,Z)W-R(Y,\nabla _{X}Z)W-R(Y,Z)\nabla _{X}W.}$

Ist ${\displaystyle \nabla }$ torsionsfrei, so vereinfachen sich diese Gleichungen zu

• ${\displaystyle R(X,Y)Z+R(Y,Z)X+R(Z,X)Y=0}$

und

• ${\displaystyle (\nabla _{X}R)(Y,Z)+(\nabla _{Y}R)(Z,X)+(\nabla _{Z}R)(X,Y)=0.}$

Ist ${\displaystyle (M,g)}$ eine riemannsche Mannigfaltigkeit mit dem Levi-Civita-Zusammenhang ${\displaystyle \nabla }$, dann gilt die erste Bianchi-Identität

• ${\displaystyle R(X,Y)Z+R(Y,Z)X+R(Z,X)Y=0}$

und die zweite Bianchi-Identität lässt sich als

• ${\displaystyle \nabla _{W}g(R(X,Y)Z,V)+\nabla _{Z}g(R(X,Y)V,W)+\nabla _{V}g(R(X,Y)W,Z)=0}$

schreiben. Die erste Bianchi-Identität wird auch algebraische Bianchi-Identität und die zweite auch differentielle Bianchi-Identität genannt. Benannt sind diese Identitäten nach dem Mathematiker Luigi Bianchi.

Definition

Eine riemannsche Mannigfaltigkeit ${\displaystyle (M,g)}$ heißt flach, falls sie lokal isometrisch zum euklidischen Raum ist. Das heißt, für jeden Punkt ${\displaystyle p\in M}$ gibt es eine Umgebung ${\displaystyle U}$ und eine Abbildung ${\displaystyle \phi \colon U\to V\subset \mathbb {R} ^{n}}$, welche isometrisch ist, also für welche ${\displaystyle g(X,Y)=\phi ^{*}{\overline {g}}(X,Y)={\overline {g}}(\phi _{*}X,\phi _{*}Y)}$ gilt. Hier bezeichnet ${\displaystyle {\overline {g}}}$ das euklidische Skalarprodukt und ${\displaystyle \phi _{*}}$ den Pushforward von ${\displaystyle \phi }$.

Verbindung zum Krümmungstensor

Eine riemannsche Mannigfaltigkeit mit Levi-Civita-Zusammenhang ${\displaystyle \nabla }$ ist genau dann flach, wenn der riemannsche Krümmungstensor identisch null ist. Daher ist die abwickelbare Fläche das zweidimensionale Analogon zur flachen Mannigfaltigkeit.

Schnittkrümmung

Eine der wichtigsten Krümmungsgrößen in der riemannschen Geometrie ist die Schnittkrümmung. Sie verallgemeinert die Gaußsche Krümmung von regulären Flächen. Dabei wird jeder Ebene ${\displaystyle \sigma }$ im Tangentialraum an einem Punkt einer riemannschen Mannigfaltigkeit ${\displaystyle M}$ eine Krümmung zugeordnet. Diese ist die Gaußkrümmung einer Fläche in ${\displaystyle M}$, die ${\displaystyle \sigma }$ als Tangentialebene hat und innerhalb der Mannigfaltigkeit nicht gekrümmt ist, sozusagen ein „Schnitt“ durch die Mannigfaltigkeit in Richtung der Ebene ${\displaystyle \sigma }$. Die Definition erfolgt allerdings nicht mit Hilfe dieser Fläche, sondern mit Hilfe des riemannschen Krümmungstensors und von zwei Vektoren, die die Ebene ${\displaystyle \sigma }$ aufspannen.

Gegeben seien eine riemannsche Mannigfaltigkeit ${\displaystyle M}$ mit riemannscher Metrik ${\displaystyle g}$, ein Punkt ${\displaystyle p}$ in ${\displaystyle M}$ und ein zweidimensionaler Unterraum (Ebene) ${\displaystyle \sigma \subset T_{p}M}$ des Tangentialraums ${\displaystyle T_{p}M}$ von ${\displaystyle M}$ im Punkt ${\displaystyle p}$. Seien ${\displaystyle v}$ und ${\displaystyle w}$ zwei Tangentialvektoren, die diese Ebene aufspannen. Mit

${\displaystyle |v\wedge w|={\sqrt {g(v,v)g(w,w)-g(v,w)^{2}}}}$

wird der Flächeninhalt des von ${\displaystyle v}$ und ${\displaystyle w}$ aufgespannten Parallelogramms bezeichnet. Dann hängt die Größe

${\displaystyle K(v,w)={\frac {g(R(v,w)w,v)}{|v\wedge w|^{2}}}={\frac {g(R(v,w)w,v)}{g(v,v)g(w,w)-g(v,w)^{2}}}}$

nur von der Ebene ${\displaystyle \sigma }$ ab, aber nicht von der Wahl der sie aufspannenden Vektoren ${\displaystyle v}$ und ${\displaystyle w}$. Man schreibt deshalb für ${\displaystyle K(v,w)}$ auch ${\displaystyle K(\sigma )}$ und nennt dies die Schnittkrümmung von ${\displaystyle \sigma }$.

Ist ${\displaystyle M}$ zweidimensional, dann gibt es in jedem Punkt ${\displaystyle p}$ von ${\displaystyle M}$ nur einen solchen zweidimensionalen Unterraum des Tangentialraums, nämlich den Tangentialraum selbst, und ${\displaystyle K(\sigma )}$ ist dann gerade die Gaußkrümmung von ${\displaystyle M}$ im Punkt ${\displaystyle p}$

Ricci-Tensor

In den Einsteinschen Feldgleichungen wird der Ricci-Tensor ${\displaystyle R_{\mu \nu }}$ (nach Gregorio Ricci-Curbastro) verwendet. Er ergibt sich aus dem Krümmungstensor durch Tensorverjüngung:

${\displaystyle R_{\mu \nu }=\pm R_{\mu \lambda \nu }^{\lambda }}$

Gemäß der einsteinschen Summenkonvention wird über gleich vorkommende Indizes summiert, von denen der eine oben und der andere unten steht. Zur Bildung des Ricci-Tensors wird also über den Index ${\displaystyle \lambda }$ summiert. Das Vorzeichen wird dabei per Konvention festgelegt und ist prinzipiell frei wählbar.

Skalarkrümmung

Die Tensorverjüngung beziehungsweise Kontraktion des Ricci-Tensors bezeichnet man als den Krümmungsskalar (auch Ricci-Skalar oder Skalarkrümmung). Um seine Form zu beschreiben, wird hier zunächst der Ausdruck ${\displaystyle R_{\kappa }^{\lambda }}$ aus dem Ricci-Tensor abgeleitet:

${\displaystyle R_{\kappa }^{\lambda }=g^{\mu \lambda }R_{\mu \kappa }.}$

Dabei ist ${\displaystyle g^{\mu \lambda }}$ der kontravariante metrische Tensor. Der Krümmungsskalar ergibt sich durch Kontraktion, dabei wird über den Index ${\displaystyle \lambda }$ summiert.

${\displaystyle R=R_{\lambda }^{\lambda }}$

Der Krümmungsskalar kann auch direkt aus dem Ricci-Tensor ${\displaystyle R_{\mu \rho }}$ gewonnen werden:

${\displaystyle R=g^{\mu \rho }R_{\mu \rho }}$

Dabei wird über die Indizes ${\displaystyle \mu }$ und ${\displaystyle \rho }$ summiert.

In der Allgemeinen Relativitätstheorie hängt der Krümmungsskalar über den Einsteinfaktor ${\displaystyle \kappa }$ mit dem Laue-Skalar ${\displaystyle T}$ zusammen, der durch Kontraktion aus dem Energie-Impuls-Tensor ${\displaystyle T_{\nu }^{\mu }}$ gebildet wird:

${\displaystyle T=T_{\lambda }^{\lambda }=R/\kappa }$