In der Mathematik ist die sogenannte Softmax-Funktion oder normalisierte Exponentialfunktion^:198 eine Verallgemeinerung der logistischen Funktion, die einen ${\displaystyle K}$-dimensionalen Vektor ${\displaystyle \mathbf {z} }$ mit reellen Komponenten in einen ${\displaystyle K}$-dimensionalen Vektor ${\displaystyle \sigma (\mathbf {z} )}$ ebenfalls als Vektor reeller Komponenten in den Wertebereich ${\displaystyle (0,1)}$ transformiert, wobei sich die Komponenten zu ${\displaystyle 1}$ aufsummieren. Der Wert ${\displaystyle 1}$ kommt nur im Sonderfall ${\displaystyle K=1}$ vor. Die Funktion ist gegeben durch:

${\displaystyle \sigma$ :\mathbb {R} ^{K}\to \left\{z\in \mathbb {R} ^{K}\mid z_{i}\geq 0,\sum _{i=1}^{K}z_{i}=1\right\}}

${\displaystyle \sigma (\mathbf {z} )_{j}={\frac {e^{z_{j}}}{\sum _{k=1}^{K}e^{z_{k}}}}}$    für j = 1, …, K.

In der Wahrscheinlichkeitstheorie kann die Ausgabe der Softmax-Funktion genutzt werden, um eine kategoriale Verteilung – also eine Wahrscheinlichkeitsverteilung über ${\displaystyle K}$ unterschiedliche mögliche Ereignisse – darzustellen. Tatsächlich entspricht dies der gradient-log-Normalisierung der kategorialen Wahrscheinlichkeitsverteilung. Somit ist die Softmax-Funktion der Gradient der LogSumExp-Funktion.

Die Softmax-Funktion wird in verschiedenen Methoden der Multiklassen-Klassifikation verwendet, wie bspw. bei der multinomialen logistischen Regression (auch bekannt als Softmax-Regression)^:206–209, der multiklassen-bezogenen linearen Diskriminantenanalyse, bei naiven Bayes-Klassifikatoren und künstlichen neuronalen Netzen. Insbesondere in der multinomialen logistischen Regression sowie der linearen Diskriminantenanalyse entspricht die Eingabe der Funktion dem Ergebnis von ${\displaystyle K}$ distinkten linearen Funktionen, und die ermittelte Wahrscheinlichkeit für die ${\displaystyle j}$-te Klasse gegeben ein Stichprobenvektor ${\displaystyle x}$ und einem Gewichtsvektor ${\displaystyle w}$ entspricht:

${\displaystyle P(y=j\mid \mathbf {x} )={\frac {e^{\mathbf {x} ^{\mathsf {T}}\mathbf {w} _{j}}}{\sum _{k=1}^{K}e^{\mathbf {x} ^{\mathsf {T}}\mathbf {w} _{k}}}}}$

Dies kann angesehen werden als Komposition von ${\displaystyle K}$ linearen Funktionen ${\displaystyle \mathbf {x} \mapsto \mathbf {x} ^{\mathsf {T}}\mathbf {w} _{1},\ldots ,\mathbf {x} \mapsto \mathbf {x} ^{\mathsf {T}}\mathbf {w} _{K}}$ und der Softmax-Funktion (wobei ${\displaystyle \mathbf {x} ^{\mathsf {T}}\mathbf {w} }$ das innere Produkt von ${\displaystyle \mathbf {x} }$ und ${\displaystyle \mathbf {w} }$ bezeichnet). Die Ausführung ist äquivalent zur Anwendung eines linearen Operators definiert durch ${\displaystyle \mathbf {w} }$ bei Vektoren ${\displaystyle \mathbf {x} }$, so dass dadurch die originale, möglicherweise hochdimensionale Eingabe in Vektoren im ${\displaystyle K}$-dimensionalen Raum ${\displaystyle \mathbb {R} ^{K}}$ transformiert wird.

Zusammenhang zur Logit-Funktion

Bei der binären logistischen Regression benötigt man zur vollständigen Beschreibung lediglich die Wahrscheinlichkeit einer Klasse: ${\displaystyle P(Y=1)=1-P(Y=0)}$. Für zwei Klassen ist die Softmax-Funktion:

${\displaystyle \sigma (\mathbf {z} )_{j}={\frac {e^{z_{j}}}{e^{z_{1}}+e^{z_{2}}}}}$    für j = 1, 2 und ${\displaystyle \sigma (\mathbf {z} )_{2}=1-\sigma (\mathbf {z} )_{1}}$.

Da die ${\displaystyle z_{j}}$ um eine beliebige Konstante verschoben werden können ohne das Ergebnis zu ändern, gilt:

${\displaystyle \sigma (\mathbf {z} )_{1}={\frac {e^{z_{1}}}{e^{z_{1}}+e^{z_{2}}}}={\frac {e^{z_{1}}}{e^{z_{1}}+e^{z_{2}}}}\underbrace {\frac {e^{-z_{2}}}{e^{-z_{2}}}} _{1}={\frac {e^{z_{1}}e^{-z_{2}}}{e^{z_{1}}e^{-z_{2}}+1}}={\frac {e^{\tilde {z}}}{e^{\tilde {z}}+1}}=\operatorname {logit} ^{-1}({\tilde {z}}),}$

mit ${\displaystyle {\tilde {z}}=z_{1}-z_{2}}$ und der Inversen der Logit-Funktion.

Alternativen

Softmax erzeugt Wahrscheinlichkeitsvorhersagen welche über ihrem Träger dicht besetzt sind. Andere Funktionen wie sparsemax oder ${\displaystyle \alpha }$-entmax können benutzt werden, wenn dünn besetzte Wahrscheinlichkeitsvorhersagen erzeugt werden sollen.

Einzelnachweise

1. 1 2 Christopher M. Bishop: Pattern Recognition and Machine Learning. Springer, 2006. 
2. ↑ Computer Science Department: Unsupervised Feature Learning and Deep Learning Tutorial. Stanford University, abgerufen am 30. Januar 2019 (englisch). 
3. ↑ Sophia Tamm: Einführung in neuronale Netze. In: Seminar Maschinelles Lernen - Dr. Zoran Nikolić. Universität Köln, 30. Mai 2019, abgerufen am 24. Mai 2022. 
4. ↑ Speeding Up Entmax, Maxat Tezekbayev, Vassilina Nikoulina, Matthias Gallé, Zhenisbek Assylbekov https://arxiv.org/abs/2111.06832v3