Die Geostatistik oder räumliche Statistik ist ein Teilgebiet der Statistik, welches unter Einbezug der Wahrscheinlichkeitsrechnung ortsabhängige Daten (Geodaten) auswertet und modelliert. Die Hauptanwendung der Geostatistik liegt somit in der stochastischen Validierung von Messdaten und der Schätzung (Approximation) über diese hinaus.

Die grundlegende Annahme der Geostatistik ist, dass die untersuchten Variablenwerte von der räumliche Lage der Datenpunkte stochastisch abhängen. Im einfachsten Fall bedeutet das, dass benachbarte Daten sich ähneln und somit Punkte über die Distanz zueinander korrelieren. So können z. B. Relief- oder Temperaturkarten erstellt werden, ohne dass jeder Punkt vermessen werden muss, da in der Regel zwischen Temperaturen oder Höhenlagen ein Mittel auftritt.

Aufgrund dieser Ortsabhängigkeit der Daten lassen sich übliche stochastische Verfahren nicht durchführen, da diese eine stochastische Unabhängigkeit voraussetzen.

Geschichte

Die Ursprünge der Geostatistik gehen auf die Lagerstättenkunde in den 1950er Jahren zurück, als Danie G. Krige die ersten Konzepte entwickelte, um mit statistischen Verfahren und Schätzmethoden die Anzahl aufwendiger Probebohrungen zu minimieren die nötig sind um abbauwürdige Gebiet zu kartieren. Als Begründer der Geostatistik selbst gilt Georges Matheron, der 1971 die als "Theorie der regionalisierten Variablen" bekannten mathematisch-theoretischen Grundlagen für die Disziplin veröffentlichte.

Hintergrund

Geostatistische Methoden basieren auf statistischen Modellen, die räumliche Autokorrelation (statistische Beziehungen zwischen den gemessenen Punkten) enthalten. Diese Methoden können auf Grundlage der angenommenen Werte weitere vorhergesagte Werten erzeugen und die Genauigkeit dieser Vorhersagen messen.

Eine Reihe einfacherer Interpolationsverfahren/-algorithmen, wie beispielsweise die inverse Distanzwichtung, waren schon vor der Entwicklung der Geostatistik bekannt, allerdings gehen die Methoden der Geostatistik über das Interpolationsproblem hinaus, indem sie das untersuchte Phänomen an unbekannten Orten als eine Reihe korrelierter Zufallsvariablen betrachten.

Sei ${\displaystyle Z(x)}$ der Wert der zu untersuchenden Variablen an einer bestimmten Stelle ${\displaystyle x}$. Dieser Wert ist unbekannt (z. B. Temperatur, Niederschlag, geologische Fazies usw.). Obwohl am Ort ${\displaystyle x}$ ein Wert vorhanden ist, der gemessen werden könnte, betrachtet die Geostatistik diesen Wert als zufällig, da er nicht oder noch nicht gemessen wurde. Die Zufälligkeit von ${\displaystyle Z(x)}$ ist jedoch nicht vollständig, sondern definiert durch eine kumulative Verteilungsfunktion (CDF), die von bestimmten Informationen abhängt, die über den Wert ${\displaystyle Z(x)}$ bekannt sind:

${\displaystyle F({\mathit {z}},\mathbf {x} )=\operatorname {Prob} \lbrace Z(\mathbf {x} )\leqslant {\mathit {z}}\mid {\text{Information}}\rbrace .}$

Wenn der Wert von Z an Orten in der Nähe von x bekannt ist, kann man typischerweise die CDF von ${\displaystyle Z(x)}$ durch diese Nachbarschaft einschränken: Wenn eine hohe räumliche Kontinuität angenommen wird, muss ${\displaystyle Z(x)}$ an der Stelle ${\displaystyle x}$ ähnliche Werte besitzen wie an benachbarten Datenpunkten. Umgekehrt kann ${\displaystyle Z(x)}$ ohne räumliche Kontinuität jeden Wert annehmen.

Indem man ein einzelnes räumliches Modell auf einen gesamten Bereich anwendet, geht man davon aus, dass ${\displaystyle F}$ ein stationärer Prozess ist. Das bedeutet, dass die gleichen statistischen Eigenschaften auf die gesamte Domäne anwendbar sind. Mehrere geostatistische Methoden bieten Möglichkeiten, diese Stationaritätsannahme zu lockern.

In diesem Rahmen lassen sich zwei Modellierungsziele unterscheiden:

1. Schätzung des Werts für ${\displaystyle Z(x)}$, typischerweise durch den Erwartungswert, den Median oder den Modus der CDF ${\displaystyle f(z,x)}$. Dies wird üblicherweise als Schätzproblem bezeichnet.
2. Stichproben aus der gesamten Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion ${\displaystyle f(z,x)}$ durch tatsächliche Berücksichtigung jedes möglichen Ergebnisses davon an jedem Ort. Dies erfolgt im Allgemeinen durch Erstellen mehrerer alternativer Abbildungen von ${\displaystyle Z}$, die als Realisierungen bezeichnet werden. Stellen Sie sich eine Domäne vor, die in ${\displaystyle N}$ Gitterknoten (oder Pixel) diskretisiert ist. Jede Realisierung ist ein Muster der vollständigen N-dimensionalen gemeinsamen Verteilungsfunktion

${\displaystyle F(\mathbf {z} ,\mathbf {x} )=\operatorname {Prob} \lbrace Z(\mathbf {x} _{1})\leqslant z_{1},Z(\mathbf {x} _{2})\leqslant z_{2},...,Z(\mathbf {x} _{N})\leqslant z_{N}\rbrace .}$

Bei diesem Ansatz wird das Vorhandensein mehrerer Lösungen für das Interpolationsproblem anerkannt. Jede Realisierung wird als mögliches Szenario dessen betrachtet, was die reale Variable sein könnte. Alle zugehörigen Abläufe berücksichtigen dann ein Ensemble von Realisierungen und folglich ein Ensemble von Vorhersagen, die eine probabilistische Vorhersage ermöglichen. Daher wird die Geostatistik häufig verwendet, um räumliche Modelle zu generieren oder zu aktualisieren, wenn inverse Probleme gelöst werden müssen.

Analyse

Die klassische geostatistische Analyse wird in 3 Bereiche unterteilt, die Datenbeschreibung, Interpretation und Schätzung.

Anwendungsbereich

Die Geostatistik ist ein elementarer Bestandteil der Lagerstättenkunde und des Bergbaus, da beispielsweise über Volumen-/Blockschätzung die Gesamtvorkommen einer Lagerstätte oder über Kokriging die Abbauwürdigkeit von Erzen (Reinheit) bewertet werden kann. Über Flächenschätzungen können digitale Geländemodelle und Karten erstellt, die Ausbreitung von Stoffkonzentrationen in Böden und im Grundwasser, sowie Nährstoffverhältnisse, Schwermetall- oder Schadstoffkonzentrationen abgeschätzt oder die räumliche Verteilung von Niederschlägen, Lufttemperaturen und Windfeldern modelliert werden. Daher findet die Geostatistik untergeordnet auch in anderen Geowissenschaften wie Klimatologie, Hydrologie, Bodenkunde, Hydrogeologie sowie in der Geographie und ebenso in der Archäologie anwendung.

Standardliteratur

• H. Wackernagel: Multivariate Geostatistics. Springer, Berlin/ Heidelberg/ New York 1995, ISBN 3-540-60127-9.
• J. P. Chiles, P. Delfiner: Geostatistics: Modelling Spatial Uncertainty. Wiley, New York 1999, ISBN 0-471-08315-1.
• R. Webster, M. Oliver: Geostatistics for Environmental Scientists. Wiley, Chichester 2004, ISBN 0-471-96553-7.
• N. Cressie: Statistics for Spatial Data. World Scientific, Singapore 2007.

Einzelnachweise

1. 1 2 3 4 Geostatistik. In: Lexikon der Kartographie und Geomatik. Spektrum, abgerufen am 12. Oktober 2021. 
2. 1 2 Geostatistik. In: Lexikon der Geographie. Spektrum, abgerufen am 13. März 2022. 
3. ↑ Geostatistische Analyse. In: ArcMap. Abgerufen am 15. März 2022. 
4. ↑ Edward H. Isaaks: Applied geostatistics. Oxford University Press, New York 1989, ISBN 0-19-505012-6. 
5. ↑ Hansen, T.M., Journel, A.G., Tarantola, A. and Mosegaard, K. (2006). "Linear inverse Gaussian theory and geostatistics", Geophysics 71
6. ↑ Kitanidis, P.K. and Vomvoris, E.G. (1983). "A geostatistical approach to the inverse problem in groundwater modeling (steady state) and one-dimensional simulations", Water Resources Research 19(3):677-690
7. ↑ Nuggeteffekt. In: Lexikon der Kartographie und Geomatik. Spektrum, abgerufen am 15. März 2022. 
8. ↑ Stationarität. In: Lexikon der Kartographie und Geomatik. Spektrum, abgerufen am 30. Januar 2022. 
9. ↑ Georg Roth: GEBEN UND NEHMEN. Eine wirtschaftshistorische Studie zum neolithischen Hornsteinbergbau von Abensberg-Arnhofen, Kr. Kelheim (Niederbayern). BAND I: Bergbau. Universität Köln, 2008, S. 308–333 (uni-koeln.de [PDF]).