Prinzip

Gegeben sei die Differenzialgleichung n-ter Ordnung

${\displaystyle F(t,y,{\dot {y}},{\ddot {y}},\cdots ,y^{(n)},\varepsilon )=0}$

mit ${\displaystyle 0<\varepsilon \ll 1}$ als kleinem Parameter.

Zur näherungsweisen Lösung wird folgende Funktionenreihe benutzt:

${\displaystyle y=y_{0}+\varepsilon \cdot y_{1}+\varepsilon ^{2}\cdot y_{2}+\cdots +\varepsilon ^{n}\cdot y_{n}}$

Einsetzen in die Differenzialgleichung und Koeffizientenvergleich bezüglich ε ergibt ein System von Differenzialgleichungen für die Funktionen ${\displaystyle y_{i}}$. Für das ungestörte System mit ε = 0 ist ${\displaystyle y=y_{0}}$ die Lösung. Wenn das ungestörte System analytisch lösbar ist, kann oft auch mindestens die erste Näherung der Störung analytisch gelöst werden.

Beispiel

Die Differenzialgleichung eines schwingungsfähigen Systems mit Newtonscher Reibung

${\displaystyle {\ddot {x}}+\varepsilon {\dot {x}}^{2}+x=0}$

den Anfangsbedingungen

${\displaystyle x(0)=1}$

${\displaystyle {\dot {x}}(0)=0}$

und dem kleinen Reibungskoeffizienten ε ist durch Störungsrechnung 1. Ordnung näherungsweise analytisch lösbar mit dem Ansatz

${\displaystyle x=x_{0}+\varepsilon x_{1}}$

Einsetzen in die Differenzialgleichung und sortieren nach Potenzen von ε, wobei nur Terme erster Ordnung berücksichtigt werden, da ε nach Voraussetzung sehr klein ist, liefert das Differenzialgleichungssystem:

${\displaystyle {\ddot {x}}_{0}+x_{0}=0}$

${\displaystyle {\ddot {x}}_{1}+x_{1}=-{\dot {x}}_{0}^{2}}$

mit den Anfangsbedingungen

${\displaystyle x_{0}(0)=1}$

${\displaystyle {\dot {x}}_{0}(0)=0}$

${\displaystyle x_{1}(0)=0}$

${\displaystyle {\dot {x}}_{1}(0)=0}$.

Die Lösungen unter Berücksichtigung der Anfangsbedingungen sind

${\displaystyle x_{0}(t)=\cos(t)}$

${\displaystyle x_{1}(t)=-{\tfrac {1}{3}}(\cos(t)-1)^{2}}$

und damit ist die Lösung in 1. Störungsordnung

${\displaystyle x(t)=x_{0}(t)+\varepsilon x_{1}(t)=\cos(t)-{\tfrac {1}{3}}\varepsilon \left(\cos(t)-1\right)^{2}}$.

Die Lösung in 2. Störungsordnung erhält man mit dem Ansatz

${\displaystyle x=x_{0}+\varepsilon x_{1}+\varepsilon ^{2}x_{2}}$.

Einsetzen in die Differenzialgleichung liefert für ${\displaystyle x_{0}}$ und ${\displaystyle x_{1}}$ dieselben Gleichungen. Für ${\displaystyle x_{2}}$ findet man:

${\displaystyle {\ddot {x}}_{2}+x_{2}=-2{\dot {x}}_{0}{\dot {x}}_{1}={\tfrac {4}{3}}\sin ^{2}(t)(\cos(t)-1)}$

Dieses Verfahren lässt sich für beliebig hohe Ordnungen von ε fortsetzen.

Beispiel eines singulär gestörten Problems

Die Randwertaufgabe

${\displaystyle \varepsilon u''+u'=-1,\quad u(0)=u(1)=0}$

besitzt die Lösung

${\displaystyle u(x,\varepsilon )=-x+{\frac {1-e^{-x/\varepsilon }}{1-e^{-1/\varepsilon }}}.}$

Mit einer Potenzreihe in ${\displaystyle \varepsilon }$ erhält man keine Approximation der Lösung bei ${\displaystyle x=0}$. Das Problem ist nicht regulär, sondern singulär gestört. Bei ${\displaystyle x=0}$ existiert eine Grenzschicht, in der sich die Lösung extrem schnell ändert (s. Singuläre Störungen).