Einfacher Fall: planparallele Oberflächen

Es werden zwei zueinander parallele ebene Oberflächen betrachtet. Sie sollen sehr groß gegenüber ihrem Abstand sein (d. h. seitliche Verluste sollen vernachlässigbar bleiben) und unterschiedliche, aber jeweils einheitliche und zeitlich konstante absolute Temperaturen ${\displaystyle T_{1}}$ und ${\displaystyle T_{2}}$ haben. Ihre Absorptions / Emissionsgrade seien ${\displaystyle \varepsilon _{1}}$ und ${\displaystyle \varepsilon _{2}}$, ihre Reflexionsgrade ${\displaystyle r_{1}=1-\varepsilon _{1}}$ und ${\displaystyle r_{2}=1-\varepsilon _{2}}$.

Durch die unterschiedlichen Temperaturen sendet laut Stefan-Boltzmann-Gesetz die Oberfläche 1 Strahlung der Intensität ${\displaystyle M_{1}=\varepsilon _{1}\,\sigma T_{1}^{4}}$ und die Oberfläche 2 Strahlung der Intensität ${\displaystyle M_{2}=\varepsilon _{2}\,\sigma T_{2}^{4}}$ aus.

Wir betrachten zuerst nur die Strahlung der Oberfläche 1, die in der Grafik dargestellt ist:

Die gesamte Strahlung ${\displaystyle \,M_{1}}$ trifft auf Oberfläche 2 mit dem Reflexionsgrad ${\displaystyle \,r_{2}}$, welche den Anteil ${\displaystyle \,\varepsilon _{2}M_{1}}$ absorbiert und den Anteil ${\displaystyle \,r_{2}M_{1}}$ auf Oberfläche 1 mit dem Reflexionsgrad ${\displaystyle \,r_{1}}$ zurückwirft. Diese reflektiert wiederum den Anteil ${\displaystyle \,r_{1}r_{2}M_{1}}$ auf Oberfläche 2, welche davon den Anteil ${\displaystyle \,\varepsilon _{2}r_{1}r_{2}M_{1}}$ absorbiert. Nach weiteren Reflexionen absorbiert Oberfläche 2 die Strahlungsintensitäten ${\displaystyle \,\varepsilon _{2}\,(r_{1}r_{2})^{2}M_{1}}$, ${\displaystyle \,\varepsilon _{2}\,(r_{1}r_{2})^{3}M_{1}}$ usw.

${\displaystyle \,M_{12}}$, die Summe all dieser Anteile, ist die gesamte Strahlung von der Oberfläche 1, die von der Oberfläche 2 absorbiert wurde.

${\displaystyle M_{12}=\varepsilon _{2}\,M_{1}+\varepsilon _{2}\,r_{1}r_{2}M_{1}+\varepsilon _{2}\,(r_{1}r_{2})^{2}M_{1}+\dots =\varepsilon _{2}\,M_{1}[1+r_{1}r_{2}+(r_{1}r_{2})^{2}+\dots ]=M_{1}{\frac {\varepsilon _{2}}{1-r_{1}r_{2}}}}$

Da ${\displaystyle \,r_{1}}$ und ${\displaystyle \,r_{2}}$ kleiner als 1 sind, folgte der letzte Schritt für die unendliche geometrische Reihe in der Klammer aus der Summenformel ${\displaystyle 1+q^{1}+q^{2}+q^{3}+\dots ={\frac {1}{1-q}}\quad (q<1)}$.

Einsetzen von ${\displaystyle \,r_{1}}$ und ${\displaystyle \,r_{2}}$ liefert

${\displaystyle M_{12}=M_{1}{\frac {\varepsilon _{2}}{1-r_{1}r_{2}}}=\varepsilon _{1}\,\sigma T_{1}^{4}{\frac {\varepsilon _{2}}{1-(1-\varepsilon _{1})(1-\varepsilon _{2})}}=\sigma T_{1}^{4}{\frac {1}{{\frac {1}{\varepsilon _{1}}}+{\frac {1}{\varepsilon _{2}}}-1}}}$

Den Rest der ursprünglich ausgesandten Strahlung hat die Oberfläche 1 im Verlauf der Mehrfachreflexion selbst absorbiert.

Eine analoge Betrachtung liefert die von Oberfläche 2 ausgesandte und von Oberfläche 1 absorbierte Strahlungsintensität${\displaystyle \,M_{21}}$. Die Netto-Strahlungsbilanz ist die Differenz der von beiden Oberflächen absorbierten Strahlungsintensitäten:

${\displaystyle M=M_{12}-M_{21}=\sigma T_{1}^{4}\,{\frac {1}{{\frac {1}{\varepsilon _{1}}}+{\frac {1}{\varepsilon _{2}}}-1}}\,-\,\sigma T_{2}^{4}\,{\frac {1}{{\frac {1}{\varepsilon _{1}}}+{\frac {1}{\varepsilon _{2}}}-1}}=\sigma \,{\frac {1}{{\frac {1}{\varepsilon _{1}}}+{\frac {1}{\varepsilon _{2}}}-1}}\,(T_{1}^{4}-T_{2}^{4})}$

Man erhält also die Nettostrahlungsleistung bei einer Plattenoberfläche ${\displaystyle \,A}$ zu

${\displaystyle P=MA=\sigma \,AE\,\left(T_{1}^{4}-T_{2}^{4}\right)}$

mit dem Strahlungsaustauschgrad

${\displaystyle E:={\frac {1}{{\frac {1}{\varepsilon _{1}}}+{\frac {1}{\varepsilon _{2}}}-1}}}$.

Die von Oberfläche 1 auf Oberfläche 2 übertragene Nettostrahlungsintensität ${\displaystyle \,M}$ ist also aus zwei Gründen geringer als ihre thermische Eigenemission ${\displaystyle \,M_{1}}$. Zum einen wird ein Teil der ausgesandten Strahlungsleistung durch die von Oberfläche 2 ausgehende thermische Emission ${\displaystyle M_{2}=\varepsilon _{2}\,\sigma \,T_{2}^{4}}$ kompensiert. Zum anderen erhält Oberfläche 1 einen Teil ihrer Ausstrahlung durch Oberfläche 2 (unabhängig von deren Temperatur) wieder zurückreflektiert: ${\displaystyle \,E}$ ist kleiner als ${\displaystyle \,\varepsilon _{1}}$ und ${\displaystyle \,\varepsilon _{2}}$. Wird ${\displaystyle \,\varepsilon _{1}}$ und/oder ${\displaystyle \,\varepsilon _{2}}$ verringert, der jeweilige Reflexionsgrad also erhöht, so wird ${\displaystyle \,E}$ schnell sehr klein: die beiden Oberflächen tauschen allein aufgrund ihrer Reflexionseigenschaften kaum mehr Strahlung aus. Sie stellen einen Strahlungsschutzschirm dar, welcher Wärmestrahlung sehr effizient unterbinden kann.

Für praktische Anwendungen ist die Differenz vierter Potenzen unbequem. Sie lässt sich durch zweimalige Anwendung einer binomischen Formel auflösen in

${\displaystyle T_{1}^{4}-T_{2}^{4}=\left(T_{1}^{2}-T_{2}^{2}\right)\left(T_{1}^{2}+T_{2}^{2}\right)=(T_{1}-T_{2})(T_{1}+T_{2})\left(T_{1}^{2}+T_{2}^{2}\right)=(T_{1}-T_{2})\left(T_{1}^{3}+T_{1}^{2}T_{2}+T_{1}T_{2}^{2}+T_{2}^{3}\right)\,.}$

Definiert man eine Temperatur ${\displaystyle \,T_{m}}$ mittels

${\displaystyle 4T_{m}^{3}:=T_{1}^{3}+T_{1}^{2}T_{2}+T_{1}T_{2}^{2}+T_{2}^{3}\,,}$

so lässt sich die Nettoleistung einfach schreiben als

${\displaystyle P=4\,A\,E\,\sigma \,T_{m}^{3}\,(T_{1}-T_{2})}$.

Die Temperatur ${\displaystyle \,T_{m}}$ liegt zwischen ${\displaystyle \,T_{1}}$ und ${\displaystyle \,T_{2}}$. Wenn zwischen den beiden Temperaturen kein großer Unterschied besteht, reicht es oft, für ${\displaystyle \,T_{m}}$ den Mittelwert beider Temperaturen zu verwenden oder sogar ${\displaystyle \,T_{1}}$ oder ${\displaystyle \,T_{2}}$ selbst.

Für praktische Anwendungen der Wärmeisolation lässt sich schlussfolgern, dass, ausgehend von großen${\displaystyle \,\varepsilon _{1}}$ und ${\displaystyle \,\varepsilon _{2}}$, der Wärmetransport durch Verringerung einer Emissivität weitgehend linear mit dieser reduziert wird. Die zweite Emissivität hat bei sehr viel kleinerer erster Emissivität dann nur noch maximal einen Einfluss von einem Faktor zwei auf den Wärmetransport. Der Wärmetransport ist also minimal bei minimalen ${\displaystyle \,\varepsilon _{1}}$ und ${\displaystyle \,\varepsilon _{2}}$, bei stark unterschiedlichen${\displaystyle \,\varepsilon _{1}}$ und ${\displaystyle \,\varepsilon _{2}}$ aber unabhängig davon welche Emissivität größer ist.