Naiver Algorithmus

Der einfachste Algorithmus besteht darin, ein so genanntes Suchfenster von der Länge der Suchmaske über den Text zu schieben. In jeder Position der Suchmaske werden die Symbole der Maske mit denen des darunterliegenden Textes verglichen. Wenn ein nicht übereinstimmendes Symbol gefunden wird, wird das Fenster um eine Position verschoben, und erneut ein Vergleich angestellt; wenn alle Symbole im Fenster übereinstimmen, ist die Suchmaske gefunden worden. Der Algorithmus endet, wenn der ganze Text vom Fenster abgesucht worden ist.

Dieser Algorithmus hat eine Laufzeit von der Ordnung ${\displaystyle \textstyle {\mathcal {O}}(n\cdot m)}$, wenn m die Länge der Suchmaske und n die Länge des Textes ist.

Pseudocode:

Eingabe: Strings T = T1… Tn und P = P1 … Pm
Ausgabe: q die Stellen, an denen P in T auftritt

  for q = 0 to n – m do
    if P[1] = T[q+1] and P[2] = T[q+2] and … and P[m] = T[q+m] then
      write q

Überraschenderweise ist der naive Ansatz in der Praxis sehr schnell, da Fehler in natürlichsprachigen Texten nach 1 bis 2 Zeichen auftauchen. Für die englische Sprache ergibt sich eine Wahrscheinlichkeit von 1.07 Zeichen. Somit ist der naive Ansatz nahezu linear schnell.

Dies wird auch deutlich wenn man sich den ungünstigsten Fall selbst ansieht. Er lautet

Text:   aaa...aab
Muster: ab

Derartige Fälle sind in natürlich sprachlichen Texten äußerst unwahrscheinlich.

Endlicher Automat

Bei dem String-Matching-Algorithmus mit Hilfe von endlichen Automaten wird ein für ein Alphabet ${\displaystyle \Sigma }$ und ein gegebenes Suchmuster der Länge ${\displaystyle m}$ ein Automat ${\displaystyle (Q,\Sigma ,\delta ,q_{0},\{q_{m}\})}$ mit Zustandsmenge ${\displaystyle \textstyle Q=\{q_{i}\mid 0\leq i\leq m\}}$ erstellt. Dabei stellt ${\displaystyle \textstyle i}$ die Anzahl von übereinstimmenden Buchstaben an der aktuellen Stelle vom Anfang des Suchmusters an betrachtet dar. Zur Einfachheit sei ${\displaystyle \textstyle P_{i}}$ das Präfix des Suchmusters bis einschließlich des Buchstabens an der Stelle ${\displaystyle \textstyle i}$. Die Übergangsfunktion ${\displaystyle \delta (q_{i},a)}$ mit ${\displaystyle a\in \Sigma }$ gibt nun für ${\displaystyle 0\leq i\leq m-1}$ wieder einen Zustand ${\displaystyle q_{j}}$ zurück, bei dem ${\displaystyle j}$ die maximale Anzahl von Buchstaben darstellt, mit der ${\displaystyle P_{j}}$ ein Suffix vom Wort ${\displaystyle P_{i}a}$ ist. Also ${\displaystyle \delta (q_{i},a)=q_{max\{j\mid P_{j}{\text{ ist Suffix von }}P_{i}a\}}}$. Ist das Suchmuster gefunden, wird im Endzustand verharrt, also ${\displaystyle \delta (q_{m},a)=q_{m}}$.

Der Vorteil dieses Algorithmus gegenüber dem naiven Algorithmus liegt darin, dass er auch beim Finden eines nicht-passenden Zeichens das erlangte Wissen über den bereits verarbeiteten Teil der Zeichenkette nicht verwirft. Angenommen, wir suchen das Muster anax im Text ananax. Trifft der automatenbasierte Algorithmus bei der Suche auf das Zweite n in ananax, so wird er die ersten beiden Buchstaben verwerfen und beginnend mit ananax weitersuchen. Der naive Algorithmus hingegen hätte den kompletten bereits verarbeiteten Teil verworfen und hätte beginnend mit ananax einen nächsten Versuch begonnen.

Python-Implementation

def is_suffix(suffix, word):
    '''Überprüft ob das suffix ein Suffix von word ist.'''

    return word.endswith(suffix)

def transition(pattern, state, event):
    '''Hier wird die Übergangsfunktion berechnet.'''

    for k in range(state + 1, 0, -1):
        if is_suffix(pattern[:k], pattern[:state] + event):
            return k
    return 0

def create_matcher(alphabet, pattern):
    '''Erzeugt alle Zustände und eine Übergangsfunktions-Tabelle'''

    transition_table = {}
    for state in range(0, len(pattern) + 1):
       for event in alphabet:
            transition_table[(state, event)] = \
                transition(pattern, state, event)
    return transition_table, len(pattern)

def match(matcher, text):
    '''Gibt die gefundenen Treffer im Text mit dem Automaten der aus create_matcher
    erstellt wurde.'''

    transition_table, last_state = matcher
    matches = []
    state = 0
    text_pos = 0
    for text_pos in range(0, len(text)):
        state = transition_table[(state, text[text_pos])]
        if state == last_state:
            matches.append(text_pos - last_state + 1)
    return matches

def find(alphabet, pattern, text):
    matcher = create_matcher(alphabet, pattern)
    return match(matcher, text)

Der Knuth-Morris-Pratt-Algorithmus

Der Knuth-Morris-Pratt-Algorithmus baut auf dem naiven Suchalgorithmus auf. Wesentlicher Unterschied ist, dass das Vergleichsfenster nicht immer um nur eine Position weitergerückt wird, sondern eventuell um mehr als eine Position.

Dazu muss zu Anfang die Suchmaske analysiert werden, so dass bei jeder teilweisen Übereinstimmung, etwa der ersten k Symbole, bekannt ist, ob der Anfang der Suchmaske mit dem Ende der letzten übereinstimmenden Teilmaske übereinstimmt. Die Verschiebung der Suchmaske erfolgt nach der überlappenden Übereinstimmung; zusätzlicher Vorteil ist, dass die schon verglichenen Symbole nicht noch einmal verglichen werden müssen.

Suche im Suffixbaum

Insbesondere wenn der zu durchsuchende Text im Voraus bekannt ist, und in diesem später nach vielen unterschiedlichen Mustern gesucht werden soll, bietet sich die Konstruktion eines Suffixbaums an. Diese Konstruktion kann in ${\displaystyle \textstyle {\mathcal {O}}(n)}$ erfolgen. Anschließend kann jedes Muster ohne erneute Vorbereitung des Texts in ${\displaystyle \textstyle {\mathcal {O}}(m)}$ gesucht werden: Sofern es vorhanden ist, kann man von der Quelle des Suffixbaums den entsprechenden Knoten erreichen, ansonsten schlägt die Suche fehl (es ist kein entsprechender Knoten vorhanden).