Biquadratische Gleichung

Folgendes Beispiel nutzt die Substitution, um die Lösungsmenge einer gegebenen biquadratischen Gleichung bzw. die Nullstellen einer ganzrationalen Funktion bzw. eines Polynoms 4. Grades zu bestimmen.

Die Gleichung

${\displaystyle x^{4}+x^{2}-2=0}$

lässt sich durch die Substitution ${\displaystyle t:=x^{2}}$ in

${\displaystyle t^{2}+t-2=0}$

überführen. Diese quadratische Gleichung lässt sich nun mit Standardverfahren wie zum Beispiel mit der p-q-Formel lösen. Man erhält als Lösungen ${\displaystyle t_{1}=1}$ und ${\displaystyle t_{2}=-2}$. Durch Rücksubstitution erhält man für ${\displaystyle x}$ die Gleichungen

${\displaystyle x^{2}=1}$

mit den Lösungen ${\displaystyle x_{1}=1}$ und ${\displaystyle x_{2}=-1}$ sowie

${\displaystyle x^{2}=-2}$

mit den komplexen Lösungen ${\displaystyle x_{3}=i{\sqrt {2}}}$ und ${\displaystyle x_{4}=-i{\sqrt {2}}}$. Die Ausgangsgleichung hat somit als Lösungsmenge ${\displaystyle \{1,-1\}}$ in ${\displaystyle \mathbb {R} }$ bzw. ${\displaystyle \{1,-1,i{\sqrt {2}},-i{\sqrt {2}}\}}$ in ${\displaystyle \mathbb {C} }$.

Gleichung mit Exponentialfunktion

Nun soll die Gleichung

${\displaystyle \exp(2x)-2\,\exp(x)-3=0}$

gelöst werden, wobei ${\displaystyle \exp(x)=e^{x}}$ die natürliche Exponentialfunktion ist. Diese Gleichung lässt sich durch die Substitution ${\displaystyle t:=\exp(x)}$ umformulieren zu

${\displaystyle t^{2}-2t-3=(t-3)(t+1)=0,}$

mit Lösungen ${\displaystyle t_{1}=3,t_{2}=-1,\,}$ wodurch ${\displaystyle x_{1}=\ln(t_{1})=\ln(3)\in \mathbb {R} ,\,\,x_{2}=\ln(t_{2})=\ln(-1)=i\pi \in \mathbb {C} \setminus \mathbb {R} .}$ Somit ist die Lösungsmenge der ursprünglichen Gleichung ${\displaystyle \{\ln(3)\}}$ in ${\displaystyle \mathbb {R} }$ bzw. ${\displaystyle \{\ln(3),\ln(-1)\}=\{\ln(3),i\pi \}}$ in ${\displaystyle \mathbb {C} }$.