Welche Eigenschaft muss eine ganze Zahl ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$ haben, damit sie als Summe dreier Kubikzahlen ${\displaystyle x^{3},\ y^{3}}$ und ${\displaystyle z^{3}}$ mit ganzzahligen Basen ${\displaystyle x,y,z\in \mathbb {Z} }$ darstellbar ist?
Wie lauten zu einer gegebenen Zahl ${\displaystyle n}$ mögliche Zahlentripel ${\displaystyle x,\ y}$ und ${\displaystyle z}$, so dass ${\displaystyle n=x^{3}+y^{3}+z^{3}}$ erfüllt ist? Wie viele Lösungen gibt es für eine gegebene Zahl ${\displaystyle n}$?

Die Lösungen dieser diophantischen Gleichung für gegebene ${\displaystyle n}$ ist ein seit 160 Jahren ungelöstes Problem der Zahlentheorie.

Lösungen der Gleichung

Jeweils kleinste Darstellungen für n = 0 bis 107

Folgende Tabelle enthält für ${\displaystyle 0\leq n\leq 107,\ n\in \mathbb {N} _{0}}$ die jeweils kleinsten Lösungen der Gleichung ${\displaystyle n=x^{3}+y^{3}+z^{3}}$ mit ${\displaystyle |x|\leq |y|\leq |z|}$, ${\displaystyle \ x,y,z\in \mathbb {Z} }$:

  Tabelle für ${\displaystyle 0\leq n\leq 107,\ n\in \mathbb {N} _{0}}$ der jeweils kleinsten Lösungen der Gleichung ${\displaystyle n=x^{3}+y^{3}+z^{3}}$ mit ${\displaystyle |x|\leq |y|\leq |z|}$, ${\displaystyle \ x,y,z\in \mathbb {Z} }$

für ${\displaystyle 0\leq n\leq 26}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$ 0 0 0 0 1 0 0 1 2 0 1 1 3 1 1 1 4 keine Lösung 5 6 −1 −1 2 7 0 −1 2 8 0 0 2 9 0 1 2 10 1 1 2 11 −2 −2 3 12 7 10 −11 13 keine Lösung 14 15 −1 2 2 16 0 2 2 17 1 2 2 18 −1 −2 3 19 0 −2 3 20 1 −2 3 21 −11 −14 16 22 keine Lösung 23 24 2 2 2 25 −1 −1 3 26 0 −1 3

für ${\displaystyle 27\leq n\leq 53}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$ 27 0 0 3 28 0 1 3 29 1 1 3 30 −283059965 −2218888517 2220422932 31 Es existiert keine Lösung. 32 33 −2736111468807040 −8778405442862239 8866128975287528 34 −1 2 3 35 0 2 3 36 1 2 3 37 0 −3 4 38 1 −3 4 39 117367 134476 −159380 40 Es existiert keine Lösung. 41 42 12602123297335631 80435758145817515 −80538738812075974 43 2 2 3 44 −5 −7 8 45 2 −3 4 46 −2 3 3 47 6 7 −8 48 −2 −2 4 49 Es existiert keine Lösung. 50 51 602 659 −796 52 23961292454 60702901317 −61922712865 53 −1 3 3

für ${\displaystyle 54\leq n\leq 80}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$ 54 −7 −11 12 55 1 3 3 56 0 −2 4 57 1 −2 4 58 Es existiert keine Lösung. 59 60 −1 −4 5 61 0 −4 5 62 2 3 3 63 0 −1 4 64 0 0 4 65 0 1 4 66 1 1 4 67 Es existiert keine Lösung. 68 69 2 −4 5 70 11 20 −21 71 −1 2 4 72 7 9 −10 73 1 2 4 74 66229832190556 283450105697727 −284650292555885 75 4381159 435203083 −435203231 76 Es existiert keine Lösung. 77 78 26 53 −55 79 −19 −33 35 80 −6 −6 8

für ${\displaystyle 81\leq n\leq 107}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$ 81 10 17 −18 82 −11 −11 14 83 −2 3 4 84 −8241191 −41531726 41639611 85 Es existiert keine Lösung. 86 87 −1972 −4126 4271 88 3 −4 5 89 6 6 −7 90 −1 3 4 91 0 3 4 92 1 3 4 93 −5 −5 7 94 Es existiert keine Lösung. 95 96 14 20 −22 97 −1 −3 5 98 0 −3 5 99 2 3 4 100 −3 −6 7 101 −3 4 4 102 118 229 −239 103 Es existiert keine Lösung. 104 105 −4 −7 8 106 2 −3 5 107 −28 −48 51

Eine umfangreichere Tabelle befindet sich im Diskussionsteil dieses Artikels.

Chronologie der Entdeckungen

1954

Miller und Woolet fanden 69 der 78 möglichen Lösungen für ${\displaystyle 1\leq n\leq 100}$ per Brute Force-Suche aller Kombinationen ${\displaystyle |x|\leq |y|\leq |z|\leq 2164}$.

Unbekannt blieben die Lösungen der neun Zahlen ${\displaystyle 30,\ 33,\ 39,\ 42,\ 52,\ 74,\ 75,\ 84}$ und ${\displaystyle 87}$.

Die letzten 5 der 69 gefundenen Zerlegungen lauten:

${\displaystyle 70=11^{3}+20^{3}+(-21)^{3}}$

${\displaystyle 96=14^{3}+20^{3}+(-22)^{3}}$

${\displaystyle 79=(-19)^{3}+(-33)^{3}+35^{3}}$

${\displaystyle 78=26^{3}+53^{3}+(-55)^{3}}$

${\displaystyle 51=602^{3}+659^{3}+(-796)^{3}}$

1963

Gardiner, Lazarus und Stein suchten weiter mit ${\displaystyle |x|\leq |y|\leq 2^{16}}$ und ${\displaystyle 0\leq z-x\leq 2^{16}}$ für ${\displaystyle 1\leq n\leq 1000}$.

Für ${\displaystyle n\leq 100}$ fanden sie folgende weitere Lösung:

${\displaystyle 87=(-1972)^{3}+(-4126)^{3}+4271^{3}}$

Für ${\displaystyle n\leq 1000}$ fanden sie 708 der 778 Lösungen.

Die letzten 5 der 708 gefundenen Zerlegungen lauten:

${\displaystyle 978=8666^{3}+40169^{3}+(-40303)^{3}}$

${\displaystyle 402=37685^{3}+41378^{3}+(-49915)^{3}}$

${\displaystyle 583=(-17419)^{3}+(-48223)^{3}+(48969)^{3}}$

${\displaystyle 227=24579^{3}+51748^{3}+(-53534)^{3}}$

${\displaystyle 971=7423^{3}+55643^{3}+(-55687)^{3}}$

1992

Heath-Brown, Lioen und te Riele fanden folgende weitere Lösung:

${\displaystyle 39=117367^{3}+134476^{3}+(-159380)^{3}}$

1994

Conn and Vaseršteĭn fanden folgende weitere Lösung:

${\displaystyle 84=(-8241191)^{3}+(-41531726)^{3}+41639611^{3}}$

1999

Für ${\displaystyle n\leq 100}$ waren bereits für 75 verschiedene ${\displaystyle n}$ Lösungen bekannt.

Es kamen hinzu:

${\displaystyle 75=4381159^{3}+435203083^{3}+(-435203231)^{3}}$

${\displaystyle 30=(-283059965)^{3}+(-2218888517)^{3}+2220422932^{3}}$

${\displaystyle 52=23961292454^{3}+60702901317^{3}+(-61922712865)^{3}}$

Damit fehlten nur noch die Lösungen für ${\displaystyle n=33,\ 42}$ und ${\displaystyle 74}$.

Für ${\displaystyle n\leq 1000}$ fanden sie 751 der 778 Lösungen.

2007

fehlten nur noch für folgende ${\displaystyle n}$ zwischen ${\displaystyle 1}$ und ${\displaystyle 1000}$ obige Darstellungen:

${\displaystyle 33,\ 42,\ 74,\ 114,\ 165,\ 390,\ 579,\ 627,\ 633,\ 732,\ 795,\ 906,\ 921}$ und ${\displaystyle 975}$

2016

wurde das Problem für ${\displaystyle n=74}$ von Sander Huisman gelöst:

${\displaystyle 74=(-284650292555885)^{3}+66229832190556^{3}+283450105697727^{3}}$

2019

wurde das Problem für ${\displaystyle n=33}$ vom Mathematiker Andrew Booker mittels massivem Computer-Einsatz gelöst:

${\displaystyle 33=8866128975287528^{3}+(-8778405442862239)^{3}+(-2736111468807040)^{3}}$

September 2019

wurde das Problem für die letzte verbliebene Zahl ${\displaystyle n\leq 100}$, nämlich für ${\displaystyle n=42}$ ebenfalls von Andrew Booker und dem Mathematiker Andrew Sutherland gelöst:

${\displaystyle 42=(-80538738812075974)^{3}+80435758145817515^{3}+12602123297335631^{3}}$

Da ${\displaystyle n=42}$ das letzte ungelöste Problem bis ${\displaystyle n\leq 100}$ für diese Art von Gleichung war, wurde spaßeshalber ein Zusammenhang mit der Antwort 42 aus der mehrfach verfilmten Roman- und Hörspielreihe Per Anhalter durch die Galaxis des englischen Autors Douglas Adams hergestellt.

bis Mitte 2020

wurden, ebenfalls von Andrew Booker und Andrew Sutherland, drei weitere Fälle gelöst:

${\displaystyle 165=(-385495523231271884)^{3}+383344975542639445^{3}+98422560467622814^{3}}$

${\displaystyle 795=(-14219049725358227)^{3}+14197965759741571^{3}+2337348783323923^{3}}$

${\displaystyle 906=(-74924259395610397)^{3}+72054089679353378^{3}+35961979615356503^{3}}$

Eine Darstellung als Summe von drei Kubikzahlen ist somit nur noch für die folgenden acht Werte für ${\displaystyle n\leq 1000}$ unbekannt (Stand: 1. Juni 2020):

${\displaystyle 114,\ 390,\ 579,\ 627,\ 633,\ 732,\ 921}$ und ${\displaystyle 975}$

Momentan ist also die Gleichung ${\displaystyle 114=x^{3}+y^{3}+z^{3}}$ diejenige mit dem kleinsten natürlichen ${\displaystyle n\in \mathbb {N} _{0}}$, für die noch keine ganzzahlige Lösung bekannt ist.

Eigenschaften

• Sei ${\displaystyle n=x^{3}+y^{3}+z^{3}}$ ganzzahlig lösbar. Dann ist eine notwendige Bedingung für ${\displaystyle n}$ die folgende:

${\displaystyle n\not \equiv \pm 4{\pmod {9}}}$

Leider ist nicht bekannt, ob diese Eigenschaft für ${\displaystyle n}$ auch hinreichend ist (dann wäre nämlich das bis dato ungelöste Problem der Zahlentheorie, dem dieser Artikel gewidmet ist, gelöst). Es wurde jedoch von Heath-Brown vermutet, dass die diophantische Gleichung ${\displaystyle n=x^{3}+y^{3}+z^{3}}$ für alle ${\displaystyle n\not \equiv \pm 4{\pmod {9}}}$ unendlich viele ganzzahlige Lösungen hat.

• Es gibt einige spezielle Beziehungen zwischen ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle n}$, wie zum Beispiel die folgenden:

Sei ${\displaystyle n=x^{3}+y^{3}+z^{3}}$ ganzzahlig lösbar. Bei gegebenem ${\displaystyle n}$ gelten die folgenden Bedingungen für ${\displaystyle x}$:

Wenn ${\displaystyle n\equiv +2{\pmod {7}}}$ ist, muss gelten: ${\displaystyle x\equiv 0,+1,+2}$ oder ${\displaystyle +4{\pmod {7}}}$.

Wenn ${\displaystyle n\equiv -2{\pmod {7}}}$ ist, muss gelten: ${\displaystyle x\equiv 0,-1,-2}$ oder ${\displaystyle -4{\pmod {7}}}$.

Wenn ${\displaystyle n\equiv +3{\pmod {7}}}$ ist, muss gelten: ${\displaystyle x\equiv +1,+2}$ oder ${\displaystyle +4{\pmod {7}}}$.

Wenn ${\displaystyle n\equiv -3{\pmod {7}}}$ ist, muss gelten: ${\displaystyle x\equiv -1,-2}$ oder ${\displaystyle -4{\pmod {7}}}$.

Wenn ${\displaystyle n\equiv +2{\pmod {9}}}$ ist, muss gelten: ${\displaystyle x,y,z\not \equiv +2{\pmod {3}}}$.

Wenn ${\displaystyle n\equiv -2{\pmod {9}}}$ ist, muss gelten: ${\displaystyle x,y,z\not \equiv -2{\pmod {3}}}$.

Wenn ${\displaystyle n\equiv +3{\pmod {9}}}$ ist, muss gelten: ${\displaystyle x,y,z\equiv +1{\pmod {3}}}$.

Wenn ${\displaystyle n\equiv -3{\pmod {9}}}$ ist, muss gelten: ${\displaystyle x,y,z\equiv -1{\pmod {3}}}$.

Jeweils kleinste Darstellungen für n = 0 bis 91 der OEIS entnehmen

Im Folgenden wird beschrieben, wie die kleinsten Lösungen für größere n den Listen Folge A060464 in OEIS ... Folge A060467 in OEIS zu entnehmen sind. Die vier Listen enthalten jeweils in gleicher Abfolge die Werte für n, x, y und z für Werte von n, für die eine Lösung existiert und bekannt ist. Es ist jeweils die Lösung mit ${\displaystyle |x|\leq |y|\leq |z|}$ enthalten.

Folge A060464 in OEIS enthält die ${\displaystyle n}$:

00, 01, 02, 03,  06, 07, 08,

09, 10, 11, 12,  15, 16, 17,

18, 19, 20, 21,  24, 25, 26,

27, 28, 29, 30,  33, 34, 35,

36, 37, 38, 39,  42, 43, 44, …

Folge A060465 in OEIS enthält die ${\displaystyle x}$:

0, 0, 0, 1, −1, 0, 0,

0, 1, −2, 7, −1, −511, 1,

−1, 0, 1, −11, −2901096694, −1, 0,

0, 0, 1, −283059965, −2736111468807040, −1, 0,

1, 0, 1, 117367, 12602123297335631, 2, −5, …

Folge A060466 in OEIS enthält die ${\displaystyle y}$:

0, 0, 1, 1, −1, −1, 0,

1, 1, −2, 10, 2, −1609, 2,

−2, −2, −2, −14, −15550555555, −1, −1,

0, 1, 1, −2218888517, −8778405442862239, 2, 2,

2, −3, −3, 134476, 80435758145817515, 2, −7,

Folge A060467 in OEIS enthält die ${\displaystyle z}$:

0, 1, 1, 1, 2, 2, 2,

2, 2, 3, −11, 2, 1626, 2,

3, 3, 3, 16, 15584139827, 3, 3,

3, 3, 3, 2220422932, 8866128975287528, 3, 3,

3, 4, 4, −159380, −80538738812075974, 3, 8, …

Trivia

• Für ${\displaystyle x,y,z\in \mathbb {Q} }$ existieren immer Lösungen. Für eine gegebene Zahl ${\displaystyle n>0}$ und einen frei wählbaren Parameter ${\displaystyle b=\mathbb {Z} \setminus \{0\}}$ erhält man Lösungen z. B. durch:

${\displaystyle x={\frac {(9b^{6}-30n^{2}b^{3}+n^{4})(3b^{3}+n^{2})+72n^{4}b^{3}}{6bn\ (3b^{3}+n^{2})^{2}}}}$

${\displaystyle y={\frac {30n^{2}b^{3}-9b^{6}-n^{4}}{6bn\ (3b^{3}+n^{2})}}}$

${\displaystyle z={\frac {18nb^{5}-6n^{3}b^{2}}{(3b^{3}+n^{2})^{2}}}}$

• Sobald eine der Basen ${\displaystyle x,y,z}$ ${\displaystyle \in \mathbb {R} }$ sein darf, sind beliebige Lösungen direkt ohne Umwege konstruierbar:

${\displaystyle x^{3}+y^{3}+z^{3}=n\ \longrightarrow \ x={\sqrt[{3}]{n-y^{3}-z^{3}}}}$,   ${\displaystyle n}$ gegeben, ${\displaystyle y,z}$ beliebig

Weblinks

• W. Conn, L. N. Vaseršteĭn: On Sums of Three Integral Cubes. Contemporary Mathematics 166, März 1992, S. 1–11, abgerufen am 19. September 2019. 
• Roger Heath-Brown, Herman te Riele, Walter M. Lioen: On solving the Diophantine equation x³+y³+z³=k on a vector computer. Mathematics of Computation 61 (203), Juli 1993, S. 235–244, abgerufen am 19. September 2019. 
• Kenji Koyama: Tables of solutions of the Diophantine equation x³+y³+z³=n. Mathematics of Computation 62 (206), April 1994, S. 941–942, abgerufen am 24. September 2019. 
• Eric Rowland: Koyama's table of integer solutions of n=x³+y³+z³. Abgerufen am 24. September 2019 (5417 Lösungen von n=2 bis 999, davon 521 Lösungen von n=2 bis 100). 
• Erik Dofs: Solution of x³+y³+z³=nxyz. Acta Arithmetica LXXIII.3, 1995, S. 201–213, abgerufen am 19. September 2019. 
• Kenji Koyama, Yukio Tsuruoka, Hiroshi Sekigawa: On searching for solutions of the diophantine equation x³+y³+z³=n. Mathematics of Computation 66 (218), April 1997, S. 841–851, abgerufen am 19. September 2019. 
• Eric Rowland: Known families of integer solutions of x³+y³+z³=n. 28. Februar 2005, S. 1–6, abgerufen am 19. September 2019. 
• Michael Beck, Eric Pine, Wayne Tarrant, Kin Yarbrough Jensen: New Integer Representations as the Sum of three Cubes. Mathematics of Computation 76 (259), Juli 2007, S. 1683–1690, abgerufen am 19. September 2019. 
• Sander G. Huisman: Newer Sums of three Cubes. 26. April 2016, S. 1–3, abgerufen am 19. September 2019. 
• Armen Avagyan, Gurgen Dallakyan: A new method in the problem of three cubes. Armenian State Pedagogical University after Khachatur Abovyan, 21. Februar 2018, S. 1–23, abgerufen am 19. September 2019. 

Einzelnachweise

1. 1 2 3 4 5 6 7 8 Armen Avagyan, Gurgen Dallakyan: A new method in the problem of three cubes. Armenian State Pedagogical University after Khachatur Abovyan, 21. Februar 2018, S. 1–23, abgerufen am 18. September 2019. 
2. 1 2 Eric S. Rowland: Known families of integer solutions of x^3+y^3+z^3=n. (psu.edu [PDF]). 
3. ↑ Mark McAndrew: Insanely huge Sum-Of-Three-Cubes für 3 discovered – After 66 year search. Twitter, 16. September 2018, abgerufen am 18. September 2019. 
4. ↑ Hisanori Mishima: Solutions of n=x³+y³+z³, 0 <= n <= 99. Abgerufen am 18. September 2019. 
5. ↑ Tito Piezas III: Integer solutions to the equation a³+b³+c³=30. Abgerufen am 18. September 2019. 
6. 1 2 Sander G. Huisman: Newer Sums of three Cubes. 26. April 2016, S. 1–3, abgerufen am 19. September 2019. 
7. ↑ W. Conn, L. N. Vaseršteĭn: On Sums of Three Integral Cubes. Contemporary Mathematics 166, März 1992, S. 1–11, abgerufen am 19. September 2019. 
8. ↑ Eric Rowland: Koyama's table of integer solutions of n=x³+y³+z³. Abgerufen am 24. September 2019 (5417 Lösungen von n=2 bis 999, davon 521 Lösungen von n=2 bis 100). 
9. ↑ D. J. Bernstein: threecubes. Abgerufen am 29. September 2019 (weitere Lösungen). 
10. ↑ Andrew R. Booker: Cracking the problem with 33. University of Bristol, 2019, S. 1–6, abgerufen am 18. September 2019. 
11. ↑ Lance Fortnow, Bill Gasarch: x³ + y³ + z³ = 33 has a solution in Z. And its big! Computational Complexity.org, 28. April 2019, abgerufen am 18. September 2019. 
12. 1 2 Robin Houston: 42 is the answer to the question “what is (-80538738812075974)³ + 80435758145817515³ + 12602123297335631³?” The Aperiodical, 6. September 2019, abgerufen am 18. September 2019. 
13. ↑ Michelle Starr: Mathematicians Solve '42' Problem With Planetary Supercomputer. science alert, 9. September 2019, abgerufen am 18. September 2019. 
14. ↑ Mathematiker knacken Rätsel um die Zahl 42
15. ↑ D. R. Heath-Brown: The Density of Zeros of formsfor which weak Approximation fails. Band 59, Nr. 200. mathematics of computation, Oktober 1992, S. 613–623 (ams.org [PDF]). 
16. ↑ Kenji Koyama, Yukio Tsuruoka, Hiroshi Sekigawa: On searching for solutions of the diophantine equation x³+y³+z³=n, Property 1 und 2. Mathematics of Computation 66 (218), April 1997, S. 843–844, abgerufen am 28. September 2019.