Symbolklasse

Symbolklassen sind mathematische Objekte aus dem Bereich der partiellen Differentialgleichungen. Sie wurden von Lars Hörmander eingeführt und werden deshalb manchmal auch Hörmander-Klassen genannt. Ihre Elemente sind eine Verallgemeinerung des Symbols eines Differentialoperators.

Symbolklassen

Möchte man Verallgemeinerungen von Differentialoperatoren wie zum Beispiel Pseudodifferentialoperatoren oder Fourier-Integraloperatoren betrachten, so kann man auch Symbole von reellem Grad verwenden beziehungsweise untersuchen. Zu diesem Zweck wurden die Symbolklassen von Lars Hörmander eingeführt.

Definition

Seien $n,N\in \mathbb {N}$ natürliche Zahlen, $X\subset \mathbb {R} ^{n}$ eine offene Teilmenge und $m,\rho ,\delta$ reelle Zahlen mit $0<\rho \leq 1$ und $0\leq \delta <1$ . Dann versteht man unter $S_{\rho ,\,\delta }^{m}(X\times \mathbb {R} ^{N})$ die Menge aller glatten Funktionen $a\in C^{\infty }(X\times \mathbb {R} ^{N})$ , so dass für jede kompakte Menge $K\subset X$ und alle $\alpha ,\beta \in \mathbb {N} \cup \{0\}$ die Ungleichung

\left|{\frac {\partial ^{\beta }}{\partial x^{\beta }}}{\frac {\partial ^{\alpha }}{\partial \xi ^{\alpha }}}a(x,\xi )\right|\leq C_{\alpha ,\beta ,K}(1+|\xi |)^{m-\rho |\alpha |+\delta |\beta |}

für eine Konstante $C_{\alpha ,\beta ,K}$ erfüllt ist. Die Elemente von $S_{\rho ,\,\delta }^{m}$ werden Symbole der Ordnung $m$ und des Typs $(\rho ,\delta )$ genannt. Außerdem werden die Symbolklassen $S^{-\infty }$ und $S^{\infty }$ durch

{\begin{aligned}S^{-\infty }&:=\bigcap _{m\in \mathbb {R} }S_{\rho ,\delta }^{m}\\S_{\rho ,\delta }^{\infty }&:=\bigcup _{m\in \mathbb {R} }S_{\rho ,\delta }^{m}\end{aligned}}

definiert.

Topologisierung

Die besten Konstanten der Ungleichung

\left|{\frac {\partial ^{\beta }}{\partial x^{\beta }}}{\frac {\partial ^{\alpha }}{\partial \xi ^{\alpha }}}a(x,\xi )\right|\leq C_{\alpha ,\beta ,K}(1+|\xi |)^{m-\rho |\alpha |+\delta |\beta |}

das heißt die Konstanten

p_{K,\alpha ,\beta }(a):=\sup _{x\in K;\ \xi \in \mathbb {R} ^{n}}{\frac {\partial ^{\beta }}{\partial x^{\beta }}}{\frac {\partial ^{\alpha }}{\partial \xi ^{\alpha }}}a(x,\xi )(1+|\xi |)^{-m+\rho |\alpha |-\delta |\beta |}

sind Halbnormen. Diese machen die Räume $S^{m}(X\times \mathbb {R} ^{n})$ zu Fréchet-Räumen. Da $\textstyle S^{-\infty }:=\bigcap _{m\in \mathbb {R} }S_{\rho ,\delta }^{m}=\bigcap _{m\in \mathbb {Z} }S_{\rho ,\delta }^{m}$ gilt und der abzählbare Durchschnitt von Fréchet-Räumen wieder ein Fréchet-Raum ist, ist auch $S^{-\infty }$ ein Fréchetraum.

Beispiele

Sei $X\subset \mathbb {R} ^{n}$ eine offene Teilmenge.

Identifiziert man den Raum der reellen Zahlen $\mathbb {R}$ mit dem Raum der konstanten Funktionen, so ist dieser ein Teilraum von $S_{1,0}^{0}(X\times \mathbb {R} ^{N})$ .
Sei

p(x,\xi )=\sum _{|\alpha |\leq k}a_{\alpha }(x)\xi ^{\alpha }

mit Koeffizientenfunktionen

a_{\alpha }\in C^{\infty }(X)

ein Symbol eines Differentialoperators der Ordnung

k\in \mathbb {N} _{0}

. Dann gilt

p\in S_{1,0}^{k}(X\times \mathbb {R} ^{N})

.

Sei $p(\xi )=(1+|\xi |^{2})^{m/2}$ mit $-\infty <m<\infty$ . Dann gilt $p\in S_{1,0}^{m}(X\times \mathbb {R} ^{N})$ .

Eigenschaften

Die Symbolklassen $S_{\rho ,\delta }^{m}(X\times \mathbb {R} ^{N})$ sind für alle $m\in \mathbb {R} \cup \{-\infty ,\infty \}$ , $0<\rho \leq 1$ und $0\leq \delta <1$ Montel-Räume.
Differenzieren des Symbols nach der zweiten Variablen verbessert (also verringert) die Ordnung. Präzise bedeutet dies, dass die Abbildung

p\mapsto {\frac {\partial ^{\beta }}{\partial x^{\beta }}}{\frac {\partial ^{\alpha }}{\partial \xi ^{\alpha }}}p(x,\xi )\colon S_{\rho ,\delta }^{m}(X\times \mathbb {R} ^{N})\to S_{\rho ,\delta }^{m-\rho |\alpha |}(X\times \mathbb {R} ^{N})

linear und stetig ist.

Multiplizieren zweier Symbole ergibt wieder ein Symbol, es gilt nämlich

(p,{\tilde {p}})\mapsto p(x,\xi ){\tilde {p}}(x,\xi )\colon S_{\rho ,\delta }^{m}(X\times \mathbb {R} ^{N})\times S_{\rho ,\delta }^{m'}(X\times \mathbb {R} ^{N})\to S_{\rho ,\delta }^{m+m'}(X\times \mathbb {R} ^{N})\,.

Diese Abbildung ist bilinear und stetig.

Für $m\leq m'$ gilt $S_{1,0}^{m}\subset S_{1,0}^{m'}$ .
Sei $a\in C^{\infty }(X\times \mathbb {R} ^{N})$ positiv homogen vom Grad m für $|\xi |\geq 1$ , das heißt

a(x,\lambda \xi )=\lambda ^{m}a(x,\xi )

für

\lambda \geq 1

und

|\xi |\geq 1

. Dann gilt

a\in S_{1,0}^{m}(X\times \mathbb {R} ^{N})

.

Sei $X\subset \mathbb {R} ^{N}$ offen und $m<m'$ . Auf beschränkten Teilmengen von $S_{1,0}^{m}(X\times \mathbb {R} ^{N})$ ist die durch $S_{1,0}^{m'}(X\times \mathbb {R} ^{N})$ induzierte Topologie die Topologie der punktweisen Konvergenz.
Sei $m<m'$ . Dann ist $S^{-\infty }(X\times \mathbb {R} ^{N})$ in der $S_{1,0}^{m'}$ -Topologie dicht in $S_{1,0}^{m}(X\times \mathbb {R} ^{N})$ .

Asymptotische Entwicklung eines Symbols

Definition

Sei $a\in S_{\rho ,\delta }^{m}(X\times \mathbb {R} ^{N})$ ein Symbol. Existieren $a_{i}\in S_{\rho ,\delta }^{m_{i}}(X\times \mathbb {R} ^{N})$ mit

m=m_{0}>m_{1}>\ldots >m_{i}\to -\infty \quad i\to \infty \,,

so dass

a-\sum _{j=0}^{N-1}a_{j}\in S_{\rho ,\delta }^{m_{N}}(X\times \mathbb {R} ^{N})

für jede positive Zahl $N\in \mathbb {N}$ gilt. Die formale Reihe $\textstyle \sum _{j=0}^{\infty }a_{j}$ ist eine asymptotische Entwicklung von $a$ und man schreibt

a\sim \sum _{j=0}^{\infty }a_{j}\,.

Eindeutigkeit

Die asymptotisch Entwicklung eines Symbols ist eindeutig modulo Symbole der Klasse $S^{-\infty }(X\times \mathbb {R} ^{N})$ . Präzise formuliert heißt das:

Sei $m_{0}>m_{1}>\ldots >m_{i}\to \infty$ eine Zerlegung mit $i\to \infty$ und sei $a_{i}\in S_{\rho ,\delta }^{m_{i}}(X\times \mathbb {R} ^{N})$ . Dann existiert ein Symbol $a\in S_{\rho ,\delta }^{m_{0}}(X\times \mathbb {R} ^{N})$ , so dass

a\sim \sum _{j=0}^{\infty }a_{j}

gilt. Gibt es ein weiteres Symbol $b$ mit der gleichen asymptotischen Entwicklung, dann gilt $a-b\in S^{-\infty }(X\times \mathbb {R} ^{N})$ .

Klassisches Symbol

Ein klassisches Symbol ist ein Spezialfall eines Symbols aus dem Raum $S_{1,0}^{m}.$ Diese erweisen sich im Zusammenhang mit Pseudo-Differentialoperatoren als einfacher zu handhaben. Eingeführt wurde diese Klasse von Funktionen von den Mathematikern Joseph Kohn und Louis Nirenberg.

Ein Symbol $a\in S_{1,0}^{m}(X\times \mathbb {R} ^{N})$ heißt klassisches Symbol und man schreibt dafür $a\in S_{cl}^{m}(X\times \mathbb {R} ^{N})$ , wenn es eine Ausschälfunktion $\phi \in C^{\infty }(\mathbb {R} ^{N})$ gibt und Funktionen $a_{j}\in C^{\infty }(X\times (\mathbb {R} ^{N}\backslash \{0\}))$ , so dass jedes $a_{j}$ positiv homogen von der Ordnung $m-j$ in der Variablen $\xi$ ist. Es muss also

a_{j}(x,t\xi )=t^{m-j}a_{j}(x,\xi )\qquad \forall (x,t,\xi )\in X\times \mathbb {R} ^{N}\times \mathbb {R} _{+}

gelten und außerdem muss

a(x,\xi )-\sum _{j=0}^{k-1}\phi (x)a_{j}(x,\xi )\in S^{m-k}(X\times \mathbb {R} ^{N})

für alle $k\in \mathbb {N}$ gelten. Dies liefert eine asymptotische Entwicklung von $a$ .

Einzelnachweise

↑ Alain Grigis & Johannes Sjöstrand: Microlocal analysis for differential operators: an introduction, Cambridge University Press, 1994, ISBN 0-521-44986-3, Seite 40.
↑ M. A. Shubin: Pseudo-differential operator. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, encyclopediaofmath.org).
1 2 Man Wah Wong: An introduction to pseudo-differential operator. World Scientific, River Edge, N.J. 1999, ISBN 978-981-02-3813-1, S. 29.
↑ Man Wah Wong: An introduction to pseudo-differential operator. World Scientific, River Edge, N.J. 1999, ISBN 978-981-02-3813-1, S. 33.
↑ Man Wah Wong: An introduction to pseudo-differential operator. World Scientific, River Edge, N.J. 1999, ISBN 978-981-02-3813-1, S. 33–36.
↑ J.J. Kohn, L. Nirenberg: On the algebra of pseudo-differential operators, Comm. Pure Appl. Math. 18 (1965), 269–305.

Literatur

Hörmander, Lars - The analysis of linear partial differential operators 1.. Distribution theory and fourier analysis, 2. Edition, Springer-Verlag, 1990, ISBN 3-540-52345-6
Hörmander, Lars - The analysis of linear partial differential operators 3.. Pseudo-differential operators, Springer-Verlag, Berlin, 1994, ISBN 978-3-540-49937-4

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[1] Alain Grigis & Johannes Sjöstrand: Microlocal analysis for differential operators: an introduction, Cambridge University Press, 1994, ISBN 0-521-44986-3, Seite 40.

[2] M. A. Shubin: Pseudo-differential operator. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, encyclopediaofmath.org).

[Wong29-3] 1 2 Man Wah Wong: An introduction to pseudo-differential operator. World Scientific, River Edge, N.J. 1999, ISBN 978-981-02-3813-1, S. 29.

[4] Man Wah Wong: An introduction to pseudo-differential operator. World Scientific, River Edge, N.J. 1999, ISBN 978-981-02-3813-1, S. 33.

[5] Man Wah Wong: An introduction to pseudo-differential operator. World Scientific, River Edge, N.J. 1999, ISBN 978-981-02-3813-1, S. 33–36.

[6] J.J. Kohn, L. Nirenberg: On the algebra of pseudo-differential operators, Comm. Pure Appl. Math. 18 (1965), 269–305.