Taktische Zerlegung

Sei ${\displaystyle {\mathcal {I}}=({\mathfrak {p}},{\mathfrak {B}},I)}$ ein ${\displaystyle 2-(v,k,\lambda )}$-Blockplan, sei weiter ${\displaystyle \{{\mathfrak {p}}_{1},\ldots ,{\mathfrak {p}}_{d}\}}$ eine Partition der Punktmenge ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ und ${\displaystyle \{{\mathfrak {B}}_{1},\ldots ,{\mathfrak {B}}_{c}\}}$ eine Partition der Blockmenge ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$. Man nennt ${\displaystyle \{{\mathfrak {p}}_{1},\ldots ,{\mathfrak {p}}_{d},{\mathfrak {B}}_{1},\ldots ,{\mathfrak {B}}_{c}\}}$ eine taktische Zerlegung von ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$, falls jede der Inzidenzstrukturen

${\displaystyle ({\mathfrak {p}}_{j},{\mathfrak {B}}_{i},I_{\mathrm {Ind} });\;1\leq j\leq d,1\leq i\leq c}$

mit der jeweiligen induzierten Inzidenz ${\displaystyle I_{\mathrm {Ind} }=I\cap \left({\mathfrak {p}}_{j}\times {\mathfrak {B}}_{i}\right)}$ eine taktische Konfiguration ist. Das heißt dann im Einzelnen:

Es gibt nichtnegative ganze Zahlen ${\displaystyle \rho _{ji},\kappa _{ji};\;1\leq j\leq d,1\leq i\leq c}$ mit den Eigenschaften:

1. Durch jeden Punkt von ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{j}}$ gehen genau ${\displaystyle \rho _{ji}}$ Blöcke aus ${\displaystyle {\mathfrak {B}}_{i}}$ und
2. auf jedem Block von ${\displaystyle {\mathfrak {B}}_{i}}$ liegen genau ${\displaystyle \kappa _{ji}}$ Punkte aus ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{j}}$.

Parameter einer taktischen Zerlegung

• Für eine taktische Zerlegung werden die folgenden Bezeichnungen vereinbart:

${\displaystyle m_{i}=|{\mathfrak {B}}_{i}|,n_{j}=|{\mathfrak {p}}_{j}|;\;1\leq j\leq d,1\leq i\leq c}$,

die Mengen ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{j}}$ heißen Punktklassen, die Mengen ${\displaystyle {\mathfrak {B}}_{i}}$ heißen Blockklassen der Zerlegung. Die Zahlen ${\displaystyle \rho _{ji},\kappa _{ji},m_{i},n_{j}}$ heißen die Parameter der taktischen Zerlegung.

Triviale Zerlegungen

Jeder ${\displaystyle 2-(v,k,\lambda )}$-Blockplan ${\displaystyle {\mathcal {I}}=({\mathfrak {p}},{\mathfrak {B}},I)}$ lässt die folgenden beiden trivialen taktischen Zerlegungen zu:

1. ${\displaystyle c=1,d=1,{\mathfrak {p}}_{1}={\mathfrak {p}},{\mathfrak {B}}_{1}={\mathfrak {B}},\rho _{11}=r=b_{1},\kappa _{11}=k=v_{1}}$; hier sind beide Partitionierungen trivial.
2. ${\displaystyle c=b=b_{0},d=v=v_{0}}$, wobei jede Punktklasse genau einen Punkt und jede Blockklasse genau einen Block enthält, die „Klassen“ seien jeweils wie ihr einziges Element nummeriert. Bei dieser Partitionierung und mit dieser Nummerierung gilt

${\displaystyle \rho _{ji}=\kappa _{ji}={\begin{cases}1&((p_{j},B_{i})\in I)\\0&((p_{j},B_{i})\not \in I)\end{cases}}.}$

Auflösungen als Zerlegungen

Jede Auflösung ${\displaystyle \{{\mathfrak {B}}_{1},\ldots ,{\mathfrak {B}}_{c}\}}$ eines Blockplanes entspricht der speziellen taktischen Zerlegung ${\displaystyle \{{\mathfrak {p}}_{1}={\mathfrak {p}},{\mathfrak {B}}_{1},\ldots ,{\mathfrak {B}}_{c}\}}$ mit den Parametern ${\displaystyle \rho _{1i}=\rho _{i},\kappa _{1i}=k;\;1\leq i\leq c.}$

Bahnenzerlegungen

Ist G eine Automorphismengruppe des Blockplanes ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$, also eine Untergruppe G der vollen Automorphismengruppe ${\displaystyle G\leq \mathrm {Aut} ({\mathcal {I}})}$, sind weiter ${\displaystyle \{{\mathfrak {p}}_{1},\ldots ,{\mathfrak {p}}_{d}\}}$ die Punktbahnen sowie ${\displaystyle \{{\mathfrak {B}}_{1},\ldots ,{\mathfrak {B}}_{c}\}}$ die Blockbahnen der Operationen von G auf der Punkt- bzw. Blockmenge, dann ist ${\displaystyle \{{\mathfrak {p}}_{1},\ldots ,{\mathfrak {p}}_{d},{\mathfrak {B}}_{1},\ldots ,{\mathfrak {B}}_{c}\}}$ eine taktische Zerlegung von ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$.

Die Bahnenzerlegung ist wohl der wichtigste Fall einer Zerlegung. Sie spielt sowohl bei der Konstruktion neuer Blockpläne durch Gruppenerweiterung (von geeigneten Automorphismengruppen), als auch bei der Klassifikation von Blockplänen und deren (vollen) Automorphismengruppen eine wichtige Rolle. Damit sind taktische Zerlegungen auch für die Klassifikation endlicher einfacher Gruppen von gewisser Bedeutung: So sind zum Beispiel die sporadischen Mathieugruppen, volle Automorphismengruppen der Wittschen Blockpläne.

Auch die beiden obengenannten trivialen Zerlegungen lassen sich (gewöhnlich) als spezielle Bahnenzerlegungen auffassen:

1. Die erste triviale Zerlegung ${\displaystyle c=1,d=1}$ mit nur einer Punkt- und Blockklasse entsteht als spezielle Bahnenzerlegung und zwar durch die Operation der vollen Automorphismengruppe ${\displaystyle G=\mathrm {Aut} ({\mathcal {I}})}$, sofern diese mindestens einfach transitiv auf der Punktmenge und der Blockmenge operiert.
2. Die zweite triviale Zerlegung mit ${\displaystyle c=b,d=v}$ in lauter einelementige Klassen entsteht als spezielle Bahnenzerlegung und zwar durch die Operation der Einsgruppe ${\displaystyle 1\leq \mathrm {Aut} ({\mathcal {I}})}$.