Die Tanaka-Formel ist eine Resultat aus der stochastischen Analysis über die Darstellung der Lokalzeit eines stetigen Semimartingals bei ${\displaystyle 0}$. Die Formel stammt von dem japanischen Mathematiker Tanaka Hiroshi.

Es existiert eine Verallgemeinerung von Paul-André Meyer.

Tanaka-Formel

Sei ${\displaystyle X=(X_{t})_{t\geq 0}}$ ein stetiges Semimartingal in ${\displaystyle \mathbb {R} }$ und ${\displaystyle L^{0}}$ seine Lokalzeit bei ${\displaystyle 0}$. Weiter definieren wir folgende Vorzeichenfunktion

${\displaystyle \operatorname {sgn} (x-):=1_{(0,\infty )}(x)-1_{(-\infty ,0]}(x).}$

Dann lautet die Tanaka-Formel

${\displaystyle L_{t}^{0}=|X_{t}|-|X_{0}|-\int _{0}^{t}\operatorname {sgn} (X_{s}-)\mathrm {d} X_{s},\quad t\geq 0.}$

Allgemeiner definiert man die Lokalzeit ${\displaystyle L_{t}^{x}}$ an einem Punkt ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ als die Lokalzeit bei ${\displaystyle 0}$ für den Prozess ${\displaystyle X-x}$, dann erhält man folgende Tanaka-Formel

${\displaystyle L_{t}^{x}=|X_{t}-x|-|X_{0}-x|-\int _{0}^{t}\operatorname {sgn} \left((X_{s}-x)-\right)\mathrm {d} X_{s},\quad t\geq 0.}$

Literatur

• Philip E. Protter: Stochastic Integration and Differential Equations. Springer, 2004, ISBN 3-540-00313-4 (englisch). 
• K. L. Chung, R. J. Williams: Introduction to Stochastic Integration. Springer, 2010, ISBN 978-1-4612-8837-4 (englisch). 

Einzelnachweise

1. ↑ Olav Kallenberg: Foundations of Modern Probability. Hrsg.: Springer. 2021, S. 662, doi:10.1007/978-3-030-61871-1.