Das Infinite-Monkey-Theorem (englisch infinite ‚unendlich‘, monkey ‚Affe‘ und theorem ‚Lehrsatz‘), auch deutsch Theorem der endlos tippenden Affen, besagt, dass ein Affe, der unendlich lange zufällig auf einer Schreibmaschine herumtippt, fast sicher irgendwann alle Bücher in der Bibliothèque nationale de France, der Nationalbibliothek Frankreichs, schreiben wird. In englischsprachigen Ländern heißt es, dass so irgendwann die Werke William Shakespeares entstehen werden.

Eine von mehreren Varianten des Theorems geht von einer unendlichen Anzahl von Affen aus, die gleichzeitig auf Schreibmaschinen herumtippen, und behauptet, dass mindestens einer von ihnen direkt und ohne Fehler die oben genannten Werke eintippen wird.

Die Formulierung des Theorems soll verblüffen und bedient sich daher einer bildlichen Sprache. Das Theorem ist wissenschaftlichen Ursprungs und hat einen mathematisch fundierten Hintergrund. Es verdeutlicht in Form eines Beispiels eine Aussage der Wahrscheinlichkeitstheorie, das Lemma von Borel und Cantelli. Das aus dem Theorem resultierende Gedankenexperiment kann bei der Vorstellung von Unendlichkeit und der Einordnung von Wahrscheinlichkeiten nützlich sein und wird auch zu diesen Zwecken gebraucht.

Die Motive „unendlich viele Affen an Schreibmaschinen“, „ein ewig auf einer Schreibmaschine tippender Affe“ sowie „zufällige Entstehung sinnvoller Texte“ fanden in Literatur und Popkultur Anklang und wurden vielfach benutzt.

Mathematische Behandlung

Das Theorem ist mit Hilfe einfacher Mittel der Wahrscheinlichkeitsrechnung anschaulich zu beweisen. Es folgt eine vereinfachte Darstellung:

Eine Schreibmaschine habe 50 Tasten. Es sei nun vorausgesetzt, dass ein Affe, der willkürlich auf der Tastatur tippt, jede der 50 Tasten mit der gleichen Wahrscheinlichkeit drückt, dass also keine Taste systematisch bevorzugt oder vernachlässigt wird. Die Wahrscheinlichkeit für das Tippen einer bestimmten Taste beträgt dann jeweils 1/50. Außerdem seien die Tastendrücke unabhängig voneinander. Das bedeutet (etwas vereinfacht), dass die Wahrscheinlichkeit für das Drücken einer Taste beim zweiten Anschlag wieder 1/50 ist, egal welche Taste zuvor gedrückt wurde. Für unabhängige Ereignisse ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide gleichzeitig eintreten, gleich dem Produkt aus den Wahrscheinlichkeiten für das Eintreffen der Einzelereignisse.

Das Ereignis A bestehe nun darin, dass ein Affe bei sechsmaligem zufälligem Tippen das Wort „hamlet“ eintippt.

Die Wahrscheinlichkeit, dass der erste getippte Buchstabe ein „h“ ist, beträgt 1/50; ebenso die Wahrscheinlichkeit, dass der nächste Buchstabe ein „a“ ist. Somit ist die Wahrscheinlichkeit für die Buchstabenfolge „ha“ gleich 1/50 · 1/50 (=1/2500). Die Wahrscheinlichkeit ${\displaystyle p_{1}}$ des Ereignisses A, mit den ersten sechs Eingaben die Buchstabenfolge „hamlet“ zu erhalten, ist also ${\displaystyle p_{1}=1/50^{6}.}$ Das komplementäre Ereignis (Gegenereignis) ${\displaystyle {\bar {A}}}$ besteht nun darin, dass bei einer Folge von sechs Buchstaben nicht das Wort „hamlet“ geschrieben wird. Es hat eine Wahrscheinlichkeit von ${\displaystyle {\bar {p}}_{1}=1-p_{1}=1-1/50^{6}}$.

Deshalb hat das Ereignis, dass bei zwei Versuchen mit jeweils sechs Buchstaben in keinem der beiden das Wort „hamlet“ geschrieben wird, eine Wahrscheinlichkeit von

${\displaystyle {\bar {p}}_{2}={\bar {p}}_{1}\cdot {\bar {p}}_{1}=\left(1-{\frac {1}{50^{6}}}\right)^{2}}$

und das Ereignis, dass bei n Versuchen mit jeweils sechs Buchstaben in keinem das Wort „hamlet“ geschrieben wird, hat die Wahrscheinlichkeit

${\displaystyle {\bar {p}}_{n}=\left(1-{\frac {1}{50^{6}}}\right)^{n}.}$

Die Folge ${\displaystyle ({\bar {p}}_{n})}$ dieser Wahrscheinlichkeiten strebt mit wachsendem n gegen 0. Also strebt die Folge der Wahrscheinlichkeiten ${\displaystyle (p_{n})=(1-{\bar {p}}_{n})}$, bei n Versuchen mit jeweils sechs Buchstaben mindestens einmal „hamlet“ zu tippen, gegen 1. Das wiederum bedeutet, dass ein Affe mit zunehmender Anzahl von Versuchen mit gegen 1 strebender Wahrscheinlichkeit das Wort „hamlet“ tippen wird.

Mit diesen Formeln kann man auch Aussagen über die erforderliche Anzahl von Versuchen treffen, mit denen der Affe mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit Erfolg haben wird. Um z. B. mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 10 Prozent mindestens einmal „hamlet“ getippt zu haben, muss n aus der Ungleichung ${\displaystyle p_{n}\geq 0{,}10}$ bestimmt werden. Es muss also gelten

${\displaystyle 1-\left(1-{\frac {1}{50^{6}}}\right)^{n}\geq 0{,}10}$

bzw. umgestellt

${\displaystyle \left(1-{\frac {1}{50^{6}}}\right)^{n}\leq 1-0{,}10.}$

Durch Logarithmieren (das ist erlaubt, da alle vorkommenden Werte positiv sind) erhält man die Bedingung

${\displaystyle n\cdot \ln \left(1-{\frac {1}{50^{6}}}\right)\leq \ln 0{,}90}$

und nach Division durch ln(1−1/50⁶) (dabei kehrt sich das Ungleichheitszeichen um, da dieser Ausdruck negativ ist).

${\displaystyle n\geq {\frac {\ln 0{,}90}{\ln(1-{\frac {1}{50^{6}}})}}.}$

Daraus folgt ${\displaystyle n\geq 1.646.257.350}$, also werden ca. 1,6 Milliarden Versuche benötigt. Und wenn das gewünschte Resultat mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90 Prozent eintreten soll, müssen mindestens

${\displaystyle n\geq {\frac {\ln 0{,}10}{\ln(1-{\frac {1}{50^{6}}})}}}$

d. h. ${\displaystyle n\geq 35.977.876.618}$ Versuche durchgeführt werden.

Weiterhin kann man nun bestimmen, wie viele Anschläge gemacht werden müssen, um das gewünschte Resultat mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit zu erzielen. Dazu wird vorausgesetzt, dass nach den ersten sechs Anschlägen der zweite Versuch gleich mit dem zweiten Buchstaben beginnt, so dass nur noch ein weiterer Anschlag gemacht werden muss. Dann braucht der Affe für zwei Versuche nur sieben Anschläge, für drei Versuche acht Anschläge und allgemein für n Versuche n+5 Anschläge. Um also mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90 Prozent erfolgreich zu sein, muss er mindestens 35.977.876.618 + 5 Anschläge machen. Bei einer Geschwindigkeit von einem Anschlag pro Sekunde wären das etwa 1.140 Jahre, dann hätte er mit einer Wahrscheinlichkeit von 90 Prozent mindestens einmal das Wort „hamlet“ getippt.

Die obigen Überlegungen kann man leicht verallgemeinern und erhält folgende Formel:

Für die minimale Anzahl n von Versuchen, um auf einer Schreibmaschine mit t Tasten mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens q Prozent eine Buchstabengruppe (in einer bestimmten Reihenfolge) der Länge m zu erhalten, gilt

${\displaystyle n\geq {\frac {\ln(1-{\frac {q}{100}})}{\ln(1-{\frac {1}{t^{m}}})}}.}$

Der oben erfolgte Gedankengang lässt sich auch auf die Variante der Fragestellung übertragen, wieso mit Sicherheit mindestens einer von unendlich vielen Affen den Text auf Anhieb korrekt eintippen wird. Zur Einfachheit habe der Text wiederum eine Länge von 6 Buchstaben. In diesem Fall ist ${\displaystyle {\bar {p}}_{n}}$ nun die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis, dass keiner der ersten n Affen das Wort „hamlet“ beim ersten Versuch korrekt tippt. Diese Wahrscheinlichkeit strebt ebenfalls gegen null, so dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens einer der Affen den gewünschten Text beim ersten Male eintippt (also das Gegenereignis), gegen Eins strebt.

Zur Vollständigkeit sei erwähnt: Die Auswahl der Zeichen der gewünschten Folge (hier „hamlet“) ist für diesen Sachverhalt unbedeutend. Ebenso spielt die Länge der Zeichenfolge (hier sechs) keine Rolle: Bei einer längeren Zeichenfolge ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses (A) zwar geringer, die Annäherung somit langsamer, aber dennoch geschieht die beschriebene Annäherung. Schließlich setzt das Gedankenexperiment zur Durchführung des Zufallsexperimentes als Stilmittel einen symbolischen Affen ein, der den Zufallscharakter repräsentiert. Weiterhin setzt es die große symbolische Länge der genannten Werke ein, um den verblüffenden Effekt auf den Betrachter zu unterstreichen; wie bereits beschrieben ist die Länge der gewünschten Zeichenfolge für die statistische Annäherung an das sichere Ereignis nicht von Bedeutung.

Ein formaler Beweis

Die Tatsache, dass es eine gewisse – wenn auch sehr kleine – positive Wahrscheinlichkeit für das zufällige Schreiben aller Werke Shakespeares gibt, ist der Schlüssel zum Beweis des Infinite-Monkey-Theorems: Bereits aus dem Null-Eins-Gesetz von Kolmogorow und Borel folgt, dass der Limes superior einer unendlichen Folge von unabhängigen Ereignissen eine Wahrscheinlichkeit entweder von eins oder von null haben muss. Übersetzt bedeutet das: Entweder treten unendlich viele dieser Ereignisse fast sicher (also mit Wahrscheinlichkeit eins) oder fast nie (entsprechend der Wahrscheinlichkeit null) ein.

Obwohl das Infinite-Monkey-Theorem keinen formalen Charakter hat, lässt sich – für Zeichenketten im Allgemeinen – eine formale Aussage ableiten:

• Die Wahrscheinlichkeit, dass in einer zufälligen Zeichenfolge unendlicher Länge eine beliebige endliche Zeichenfolge mindestens einmal auftaucht, ist 1. Und nicht nur das: Sie tritt sogar fast sicher unendlich oft auf. Ein Affe würde also bereits genügen, um in unendlich langer Zeit sämtliche Werke Shakespeares unendlich oft zu schreiben.

Diese Aussage folgt relativ leicht aus dem Borel-Cantelli-Lemma. Unterteilt man die zufällige Zeichenfolge unendlicher Länge willkürlich in Blöcke von der Länge der betrachteten Zeichenfolge endlicher Länge, so besitzt das Eintreten jedes Einzelereignisses aus der Folge der (zufälligen, unabhängigen) Ereignisse ${\displaystyle (A_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ dieselbe positive Wahrscheinlichkeit. Die Summe über die unendlich vielen konstanten Summanden ${\displaystyle P(A_{n})}$ ist unendlich.

Das Borel-Cantelli-Lemma sagt dann aus: Ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten der ${\displaystyle A_{n}}$ unendlich und sind die Ereignisse ${\displaystyle A_{n}}$ unabhängig, so ist die Wahrscheinlichkeit des Limes superior der ${\displaystyle A_{n}}$ gleich 1.

Formal ausgedrückt: ${\displaystyle (A_{n})_{n\in \mathbb {N} }{\text{ unabhängig und }}\sum _{n=1}^{\infty }P(A_{n})=\infty \Rightarrow P(\limsup A_{n})=1}$

Der Gedanke, dass bei Betrachtung von unendlichen Zeiträumen ein derart unwahrscheinliches Ereignis mit Sicherheit eintritt, dient hier also zur Veranschaulichung von Unendlichkeit.

Ursprung und Rezeption in der Literatur

Der argentinische Schriftsteller Jorge Luis Borges verfolgt den Ursprung des Gedankenexperimentes in seinem Text „Die vollständige Bibliothek“ (spanischer Titel La biblioteca total) bis in die Antike zurück und schildert folgenden Verlauf: Aristoteles habe in seinem Werk Metaphysik bei der Darstellung der Anschauungen des Leukipp, welcher (mit seinem Schüler Demokrit) als Begründer des Atomismus gilt, geschrieben, dass die Atome untereinander gleich seien und nur durch ihre Anordnung verschiedene Objekte bilden könnten. Er habe das mit der Art verglichen, wie Tragödie und Komödie sich aus den gleichen „Atomen“, den Schriftzeichen, zusammensetzten. Drei Jahrhunderte später habe sich Cicero in seinem Werk De natura deorum („Vom Wesen der Götter“) spottend auf die atomistische Weltanschauung bezogen:

Borges folgt dem Werdegang dieses Argumentes über Blaise Pascal und Jonathan Swift bis in seine Zeit und bemerkt, dass die Aussage sich gewandelt habe: Im Jahr 1939 lautete der Ausspruch ihm zufolge: „Ein halbes Dutzend Affen mit Schreibmaschinen würden, in einigen Unendlichkeiten, alle Bücher des britischen Museums verfassen.“ Borges fügt an dieser Stelle korrigierend hinzu, dass bereits ein unsterblicher Affe ausreichen würde.

Es werden in Borges’ Text später einige Beispiele angeführt, um den Inhalt der Total Library vorstellbar zu machen: Sie enthielte alles („Everything would be in its blind volumes“), so beispielsweise die detaillierte Geschichte der Zukunft („detailed history of the future“), seine eigenen Träume und Halb-Träume gegen Morgen des 14. Augustes 1934 („dreams and half-dreams at dawn on August 14, 1934“), den Beweis von Fermats letztem Satz („proof of Pierre Fermat’s theorem“) usw. Er schreibt daraufhin, dass aber neben jedem einzelnen Fakt Millionen Zeilen voller Unsinn ständen („but for every sensible line or accurate fact there would be millions of meaningless cacophonies, verbal farragoes, and babblings.“). Borges schließt daraus, dass alle Generationen der Menschheit vergehen würden, bevor die Regale der totalen Bibliothek […] sie je mit einer erträglichen Seite belohnten („but all the generations of mankind could pass before the dizzying shelves – shelves that obliterate the day and on which chaos lies – ever reward them with a tolerable page.“)

In der Erzählung mit dem spanischen Titel La biblioteca de Babel (Die Bibliothek von Babel) verfolgt Borges das Thema der unendlichen Bibliothek weiter und verwendet wiederum die literarisch wie wissenschaftlich relevanten Themen Unendlichkeit, Realität und Kausalität.

Es finden sich an einigen Stellen Verweise auf den englischen Biologen Thomas Henry Huxley (1825–1895). Sieben Monate nach der Publikation von Darwins The Origin of Species im November 1859 führte Huxley beim Treffen der British Association for the Advancement of Science in Oxford am 30. Juni 1860 einen berühmten Disput mit Samuel Wilberforce, dem anglikanischen Bischof von Oxford und Vizepräsidenten dieser Gelehrtenorganisation. Bei diesem Disput soll Huxley den folgenden Ausspruch getätigt haben:

Es ist umstritten, ob Huxley dieses tatsächlich gesagt hat. Einige Autoren nehmen an, dass der Ausspruch Huxley erst später zugesprochen wurde, unter anderem weil der erwähnte typewriter (Schreibmaschine) erst später Verbreitung fand und daher nicht von Huxley für einen plakativen Vergleich herangezogen werden konnte:

Das moderne Bild des Theorems der unendlich vielen Affen findet sich im Artikel Mécanique Statistique et Irréversibilité von Émile Borel aus dem Jahr 1913. Seine Affen repräsentieren als lebendiges Bild die Herstellung einer großen, zufälligen Zeichenfolge für die Darstellung der Statistik.

Der Physiker Arthur Eddington schrieb den folgenden Satz, der verdeutlicht, dass sich in vielen Bereichen der Wissenschaft Anspielungen auf das Gedankenexperiment finden:

Es handelt sich im letzten Satz um eine Anspielung auf den zweiten Hauptsatz der Thermodynamik: Das genannte Sammeln aller Moleküle in einem Behälter ist nach den Regeln der Wahrscheinlichkeit (Mathematik) möglich, jedoch nach dem zweiten Hauptsatz der Thermodynamik (Physik) in einem abgeschlossenen System, wie einem Behälter, nicht (abgesehen von mikroskopischen Systemen).

Bezüge zum Theorem

Literatur

• Elmo, Gum, Heather, Holly, Mistletoe, Rowan (Makaken Monkeys from Paignton Zoo): Notes Towards the Complete Works of Shakespeare. Hrsg.: Geoff Cox. Kahve-Society, London 2002, ISBN 0-9541181-2-X (englisch, viaria.net (Memento vom 20. Januar 2013 im Internet Archive) – Text produced by monkeys from Paignton Zoo using a computer May – June 2002). .
• Herrmann, Hans-Christian von: Literatur und Entropie, Berlin 2014, ISBN 978-3-428-14012-1.

Weblinks

• Den Affen beim Tippen von „Faust“ und „Hamlet“ beobachten. Medienkunst-Projekt der Gruppe J.A.C.S.
• Alfred Schreiber Verrückte Bibliotheken. Die Zeit online, 30. Juni 2006.
• Monkey Theory Proven Wrong. CBS News, 9. Mai 2003 (englisch)
• Monkeys Don’t Write Shakespeare. Wired-Magazin (englisch).
• Notes Towards the Complete Works of Shakespeare. (Memento vom 20. Januar 2013 im Internet Archive) vivaria.net (englisch).
• Parable of the Monkeys „A.k.a. The Topos of the Monkeys and the Typewriters“. angelfire.com; Sammlung von Textverweisen zum Theorem (englisch).

Einzelnachweise und Anmerkungen

1. ↑ Die Fassung auf Gutenberg.org umfasst 132 680 Buchstaben und 199 749 Zeichen insgesamt
2. ↑ Charles Kittel, Herbert Kroemer: Thermal Physics. 2. Auflage. W. H. Freeman Company, 1980, ISBN 0-7167-1088-9, S. 53 (englisch). 
3. ↑ frei übersetzt nach Cicero: De natura deorum II, 37 (§ 93) im lateinischen Original: „[93] Hic ego non mirer esse quemquam, qui sibi persuadeat corpora quaedam solida atque individua vi et gravitate ferri mundumque effici ornatissimum et pulcherrimum ex eorum corporum concursione fortuita? Hoc qui existimat fieri potuisse, non intellego, cur non idem putet, si innumerabiles unius et viginti formae litterarum vel aureae vel qualeslibet aliquo coiciantur, posse ex is in terram excussis annales Enni, ut deinceps legi possint, effici; quod nescio an ne in uno quidem versu possit tantum valere fortuna.“ thelatinlibrary.com
4. ↑ Jorge Luis Borges: La biblioteca total („The Total Library“) Trans. by Eliot Weinberger. In: Sur. No. 59, August 1939. In: Selected Non-Fictions. Penguin, 1999, ISBN 0-670-84947-2.
5. ↑ Jorge Luis Borges: La Biblioteca de Babel. (1941). In: Ficciones. Alianza, Madrid 1971. English translation: The Library of Babel. In: Borges: Labyrinths. Penguin, Harmondsworth 1970.
6. ↑ Course Algorithmic Art & A.I. (Memento vom 5. März 2016 im Internet Archive) des Institute of Artificial Art Amsterdam. Zitat: „Bibliographic research by René Glas, Pepijn van der Meer and Chuntug Taguba“
7. ↑ Arthur Stanley Eddington: The Nature of the Physical World: The Gifford Lectures. Macmillan, New York 1928.
8. ↑ Nicholas Rescher: Studies in Cognitive Finitude. Transaction Pub, 2006, ISBN 3-938793-00-7.
9. ↑ Émile Borel: Mécanique Statistique et Irréversibilité. In: Journal Phys., 5e série, Nr. 3, 1913, S. 189–196.
10. ↑ „Methinks it is like a weasel“, Hamlet, Act 3, Scene 2. (In der Übersetzung von Christoph Martin Wieland ist das die 7. Szene im 3. Akt; aus dem Wiesel wird hier eine Amsel.)
11. ↑ No words to describe monkeys’ play. BBC, 9. Mai 2003
12. ↑ Nevil Shute: On The Beach. Random House, 2010, S. 75; 320 Seiten, books.google.de
13. ↑ „Da draußen sind unendlich viele Affen, die sich mit uns über ihr Hamlet-Drehbuch unterhalten wollen.“ In: Douglas Adams: Per Anhalter durch die Galaxis. Heyne, München 2005, S. 86.
14. ↑ Dilbert writes a poem and presents it to Dogbert:

    DOGBERT: I once read that given infinite time, a thousand monkeys with typewriters would eventually write the complete works of Shakespeare.
    DILBERT: But what about my poem?
    DOGBERT: Three monkeys, ten minutes.

15. ↑ Family Guy – Monkeys Writing Shakespeare. youtube
16. ↑ RFC 2795 – The Infinite Monkey Protocol Suite (IMPS). 1. April 2000 (englisch).
17. ↑ Ken Wilber: Eine kurze Geschichte des Kosmos. Fischer Taschenbuch, Frankfurt 1977, ISBN 3-596-13397-1, S. 48.
18. ↑ Deepak Chopra, Leonard Mlodinow: Schöpfung oder Zufall?: Wie Spiritualität und Physik die Welt erklären – Ein Streitgespräch. Arkana, München 2012, ISBN 978-3-442-34106-1, S. 60.
19. ↑ Richard Dawkins: Der blinde Uhrmacher: Ein neues Plädoyer für den Darwinismus. dtv, München 1986, ISBN 3-423-11261-1, S. 70 ff.